1.5.2 点到直线的距离课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“点到直线的距离”，涵盖公式推导（坐标法、面积法）、两平行线间距离公式及应用。通过回顾两点间距离公式，以具体点到直线距离为例，从特殊到一般构建推导过程，形成知识支架帮助学生理解公式来源。 其亮点在于融合数学思维与几何直观，坐标法推导培养逻辑推理，面积法推导发展空间观念，追问特殊情况深化理解。设置等腰三角形证明例题，引导用数学语言表达几何关系，助学生掌握公式本质提升探究能力，也为教师提供层次分明、可操作性强的教学方案。

1.5.2 点到直线的距离 第1章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离. 学习目标 作者编号：32200 两点间距离公式 特别地，点P(x，y)与坐标原点的距离是 知识回顾 … … … 作者编号：32200 如何求点P(2，4)到直线l：5x＋4y－7＝0的距离？ 如图，过点P作PE⊥l，垂足为E，则点P到直线l的距离就是线段PE的长. 方法1：通过求点E的坐标，用两点间距离公式求PE. 由PE⊥l，可知PE所在直线的斜率为， ∴PE所在直线的方程为y－4＝(x－2)，即4x－5y＋12＝0， 联立方程组，解得垂足E的坐标为， 由两点间距离公式得点P到直线AB的距离为. 新知探究 … … … 作者编号：32200 如何求点P(2，4)到直线l：5x＋4y－7＝0的距离？ 方法2：通过构造三角形，利用面积关系求点P到直线l的距离． 如图，过点P分别作y轴、x轴的垂线，交直线l于点M，N，通过Rt△PMN的面积求PE. 可求出M(－，4)，N(2，－)， ∴PM＝|－－2|＝，PN＝|－－2|＝， 由勾股定理得， 由三角形面积公式可知. 新知探究 … … … 作者编号：32200 讨论：已知直线l:Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)外一点，求点P到直线l的距离. 作 <m></m> ，交直线 <m></m> 于点 <m></m> ，由直线 <m></m> 的斜率为 <m></m> ，可得 <m></m> 的垂线</m> 的斜率为 <m></m> ，即可求出垂线 <m><m></m> 的方程， 再联立 <m><m></m> 与直线 <m></m> 的方程，解得点 <m></m> 的坐标， 最后利用两点间的距离公式求出 </m> ，即点 <m><m>到直线 <m></m> 的距离． 这种求点P到直线l距离的思路十分清晰，但运算量较大，那么有没有更好的方法？ 新知探究 … … … 作者编号：32200 如图，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，过点P分别作y轴，x轴的平行线，交l于点M(x1，y0)，N(x0，y2)， 由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得x1＝，y2＝， ∴PM＝|x1－x0|＝||，PN＝|y2－y0|＝||， 由三角形面积公式可知， 即点P到直线l的距离为. 讨论：已知直线l:Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)外一点，求点P到直线l的距离. 新知探究 … … … 作者编号：32200 1.点到直线的距离公式 点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离 <m></m> （其中 <m></m> , <m></m> 不全为0）. 知识梳理 作者编号：32200 追问1：点到直线的距离公式中，直线l的方程是哪种形式？如果是斜截式方程，如何求？ 在点到直线的距离公式中，直线l的方程是一般式. 若直线l的方程为y＝kx＋b(斜截式)，则可化为kx－y＋b＝0，故P(x1，y1)到直线l的距离d＝. 作者编号：32200 追问2：点到直线的距离对于A=0或B=0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？ 仍然适用 ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，即y＝－， d＝，适合公式； ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－， d＝ ③当P0点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝＝0，适合公式. 作者编号：32200 例1 分别求点P(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0； (2)3x=2. 解：(1)根据点到直线的距离公式得. (2)∵直线3x=2平行于y轴，∴. 新知探究 … … … 作者编号：32200 思考交流：根据点到直线距离的求法，如何求两条平行线之间的距离？ 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因此，可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离. d 新知探究 … … … 作者编号：32200 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， ∵点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，∴Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 追问：怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(A2＋B2≠0)? 新知探究 … … … 作者编号：32200 2.两平行线间的距离公式 两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)间的距离为 知识梳理 作者编号：32200 例2 求平行直线3x+4y-6＝0与ax+8y-4＝0之间的距离. 解：由，得a＝6， ∴第二条直线的方程为6x+8y-4＝0，即3x+4y-2＝0， ∴两平行线间的距离为. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 证：设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴，过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系， 设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则C(－a，0)， 则直线AB的方程为，即bx＋ay－ab＝0， 直线BC的方程为，即bx－ay＋ab＝0， 设底边上任意一点P(x，0)(－a≤x≤a)， 则点P到直线AB的距离为， 新知探究 … … … 作者编号：32200 点P到直线BC的距离为， 点A到直线BC的距离为， ∴， 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 新知探究 … … … 作者编号：32200 1.点到直线的距离公式 2.两条平行直线间的距离公式 两条平行线的距离： 点到直线直线的距离： 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A.3 B. C.1 D. 2.两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2，则c等于(　　) A.0或40 B.10或30 C.－20或10 D.－20或40 B B 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.若直线l经过点(-1，-2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　) A.3x-4y-5＝0 B.x＝-1 C.3x-4y-5＝0或y＝-1 D.3x-4y-5＝0或x＝-1 4.若直线l平行于直线3x+y-2＝0，且原点到直线l的距离为，则直线l的方程是(　　) A.3x+y±10＝0 B.3x+y± ＝0 C.x-3y±10＝0 D.x-3y± ＝0 D A 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $