专题02 二次函数中常考最值问题　训练 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级上册

专题02 二次函数中常见最值问题 本专题为二次函数常考的最值问题，分成六种类型，共24小题，帮助学生们对二次函数最值常考题型的理解和应用 一、基础最值 1.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（　　） A．600m B．400m C．300m D．200m 【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600， ∴当t＝20时，s取得最大值，最大值为600， ∴飞机着陆后滑行的最远距离为600m， 故选：A． 2.在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 【解答】解：由表格可知，和时均有， ∴对称轴为：   观察表格，时，即顶点为， 设二次函数的顶点式为：   由表格中，，代入顶点式得：   ， 即， 解得  ， ∴二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小， ， 当时，取得最小值，为． 故答案为：． 3.若，则的最大值是 ． 【解答】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 4.函数的最小值为 ． 【解答】解： 令， 则 ∵， ∴当时，y有最小值， 故答案为． 二、范围内最值 1.已知二次函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 2.若函数当时，该函数的最小值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 【解答】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，该函数取最小值，． 故选B． 3.已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是 ． 【解答】解：∵， ∴当时，y有最小值为1， 把代入表达式，得， 解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ∴， 故答案为：． 4.在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【解答】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点为； （2）解：由题意知，抛物线的解析式， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为， 即， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时， 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最大值为：； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于，，都有， 则， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， 对称轴为：直线， ∴在抛物线上的对称点为， 若对于，，都有， 则， 的取值范围为：或． 三、含参最值 1.当时，二次函数的最大值为8，则 ． 【解答】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 2.在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 【解答】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线在时的最大值为3， 当时，开口向上， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 当时，开口向下， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 综上所述或． 故选：B． 3.已知抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值，并写出函数表达式； (2)，在该抛物线上： ①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标； ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【解答】（1）解：由题意得，，， ∴ ∴二次函数为或． （2）解：①由题意得，解得． ∴， ∴． ②∵， ∴， ∴．    （ⅰ）当时，当时函数取到最大值，最小值是9， ∴， 得， （ⅱ）当时，当时函数取到最大值，时函数取到最小值， ∴， ∴， ∴ 综上所述，m的值为或． 4.已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【解答】（1）解：将点和点代入中得， ，解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴二次函数对称轴为：， ∵， ∴此时函数有最小值， ∵自变量x满足时， 当时，， 当时，， ∴自变量x满足时，y的取值范围为：； （3）解： ①设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为（）， 对称轴为 当，即时，当时，y有最小值，不合题意； 当，即时，当自变量满足时，y随x的增大而减小， 由可知y无最小值，不合题意； ②设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为（）， 对称轴为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即， 解得：（舍去）， 综上所述：的值为． 四、线段，面积的最值 1.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，经过点，直线l经过点A，B． (1)求直线l的表达式； (2)点是抛物线上一点，其中，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 【解答】（1）解：∵抛物线与y轴交于点A，经过点， ∴，， ∴， 设直线l的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）∵过点作垂直于x轴的直线，交直线l于点N， ∴点N的纵坐标为，点M的纵坐标为， ∵抛物线开口向上，抛物线与直线l交于点，， ∴当时，点N在点M的上方， ∴， ∴线段的长有最大值，最大值为． 2.如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的函数表达式 (2)若是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．用含的代数式表示线段的长，并求线段的长的最大值． 【解答】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点， ∴， ∵经过两点， ∴，解得：， ∴． （2）解：设， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∴． ∵， ∴当时，线段的长的最大值为4． 3.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； (3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标； 【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小； ∵、两点关于对称， ∴抛物线的对称轴为直线 当时，， ∴ ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时， ∴ （3）如图2所示：设， 过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，，面积的最大值为，此时． 五、线段和差最值 1.如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是 ．    【解答】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 2.如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【解答】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； 【解答】（1）解：∵直线与坐标轴交于A、B两点， 当，则；当，则，解得， ∴，， 代入和到，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线与x轴的交点为A、C两点，点M是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小； 如图，连接交对称轴于点M， 代入到，则， ∴点M的坐标为． 4.如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． (1)求与的值． (2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【解答】（1）解：将代入正比例函数，解得：， 点的坐标为， 将代入，得：，解得：． （2）解：由（1）得：抛物线， 抛物线的对称轴是，顶点是， 点C关于x轴的对称点的坐标为． 如图，连接交轴于点，此时最小． 设直线的表达式是， 把，代入， 得：，解得：， 直线的表达式是． 令，则，解得：， 点的坐标是． 六、应用题中的最值 1.某市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果篮莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为：y 且第12天的售价为32元/十克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝　　 ，n＝　　 ； （2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ （3）在销售蓝莓的前20天中（不包含第20天），当天利润不低于870元的共有多少天？ 【解答】解：（1）当第12天的售价为32元/千克，代入y＝mx﹣76m得， 32＝12m﹣76m， 解得m， 当第26天的售价为25元/千克时，代入y＝n， 则n＝25， 故答案为：m，n＝25； （2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）＝4x+16， 当1≤x＜20时， W＝（4x+16）（x+38﹣18）＝﹣2x2+72x+320＝﹣2（x﹣18）2+968， ∴当x＝18时，W最大＝968， 当20≤x≤30时，W＝（4x+16）（25﹣18）＝28x+112， ∵28＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝30时，W最大＝952， ∵968＞952， ∴当x＝18时，W最大＝968． 答：销售蓝莓第18天时，当天利润最大，最大为968元． （3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320＝870， 解得x1＝25，x2＝11， ∵抛物线W＝﹣2x2+72x+320的开口向下， ∴11≤x≤25时，W≥870， ∴11≤x＜20， ∵x为正整数， ∴有9天利润不低于870元， ∴当天利润不低于870元的天数共有9天． 2.一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 　　 米． 【解答】解：∵铅球落到地面时运行的水平距离为10米， ∴抛物线经过点（10，0）， ∴10210+c＝0， 解得：c， ∴yx2x， 当x＝0时，y． ∴铅球刚出手时离地面的高度是米． 故答案为：． 3.如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 【解答】解：（1）由题意，得：BC＝12﹣3x， ∴S＝AB⋅BC＝x（12﹣3x）＝﹣3x2+12x； ∵0＜BC≤5， 即0＜12﹣3x≤5， 解得：， ∴x值的取值范围为：； （2）当S＝9时， 即﹣3x2+12x＝9， 解得：x1＝1，x2＝3， ∵， ∴x＝3， 即AB的长是3米； （3）S＝﹣3x2+12x＝﹣3（x﹣2）2+12， ∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，对称轴为：x＝2， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，S取的最大值，最大值为：， ∴当AB的长是米时，围成的花圃面积最大． 4.【问题背景】某商品的生产成本为每件20元．经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如表所示： 时间t/天 1 3 6 10 36 … 日销售量m/件 94 90 84 76 24 … 未来40天内，前20天每天的销售单价y1t+25（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的销售单价y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2t+40（21≤t≤40，且t为整数）． 【问题解决】 （1）根据表中所给数据，用初中所学函数知识直接写出一个m（件）与t（天）之间的函数关系式； （2）预测未来40天中哪一天的日销售利润最大？最大销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，公司决定每件商品让利a元（a＜4），通过销售记录发现．前20天中日销售利润随时间t（天）的增大而增大，直接写出a的取值范围． 【解答】解：（1）∵根据表格知道日销售量与时间t是均匀减少的， ∴确定m与t是一次函数关系，设函数关系式为：m＝kt+b， ∴当t＝1，m＝94；当t＝3，m＝90， ∴， 解得：， ∴m＝﹣2t+96 （1≤t≤40，且t为整数）； （2）设日销售利润为W元，当1≤t≤20时，W＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）（t﹣14）2+578（1≤t≤20）， ∵0， ∴当x＝14时，W有最大值578元； 当21≤t≤40时，W＝（﹣2t+96）（40﹣20）＝（t﹣44）2﹣16 （21≤t≤40）， ∵1＞0， ∴当t＝21时，W有最大值513元， ∵578＞513， 综上所述，当t＝14时日获利润最大，且为578元； （3）W＝（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）t2+（14+2a） t+480﹣96a， ∴函数W的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为t＝14+2a， ∵1≤t≤20，且t为整数，W随t的增大而增大， ∴t＝14+2a≥20， 解得a≥3， 又∵a＜4， ∴3≤a＜4， ∴a的取值范围是3≤a＜4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数中常见最值问题 本专题为二次函数常考的最值问题，分成六种类型，共24小题，帮助学生们对二次函数最值常考题型的理解和应用 一、基础最值 1.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（　　） A．600m B．400m C．300m D．200m 2.在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 3.若，则的最大值是 ． 4.函数的最小值为 ． 二、范围内最值 1.已知二次函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.若函数当时，该函数的最小值是（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 3.已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是 ． 4.在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 三、含参最值 1.当时，二次函数的最大值为8，则 ． 2.在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 3.已知抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值，并写出函数表达式； (2)，在该抛物线上： ①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标； ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 4.已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 四、线段，面积的最值 1.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，经过点，直线l经过点A，B． (1)求直线l的表达式； (2)点是抛物线上一点，其中，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 2.如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的函数表达式 (2)若是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．用含的代数式表示线段的长，并求线段的长的最大值． 3.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标； (3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标； 五、线段和差最值 1.如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是 ．    2.如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； 4.如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． (1)求与的值． (2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 六、应用题中的最值 1.某市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果篮莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为：y 且第12天的售价为32元/十克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）． （1）m＝　　 ，n＝　　 ； （2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ （3）在销售蓝莓的前20天中（不包含第20天），当天利润不低于870元的共有多少天？ 2.一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 　　 米． 3.如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 4.【问题背景】某商品的生产成本为每件20元．经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如表所示： 时间t/天 1 3 6 10 36 … 日销售量m/件 94 90 84 76 24 … 未来40天内，前20天每天的销售单价y1t+25（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的销售单价y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2t+40（21≤t≤40，且t为整数）． 【问题解决】 （1）根据表中所给数据，用初中所学函数知识直接写出一个m（件）与t（天）之间的函数关系式； （2）预测未来40天中哪一天的日销售利润最大？最大销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中，公司决定每件商品让利a元（a＜4），通过销售记录发现．前20天中日销售利润随时间t（天）的增大而增大，直接写出a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $