第21章 专题特训一 二次函数中的最值问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

14 专题特训一　二次函数中的最值问题 ▶ “答案与解析”见P8 类型一 二次函数与线段有关的最值问题 1. (2024·广安)如图,抛物线y=- 2 3x 2+bx+ c与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C, 点A 的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0). (1) 求此抛物线对应的函数表达式. (2) P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点, 过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D,过 点P作y轴的垂线,垂足为E,请探究2PD+ PE 是否有最大值.若有最大值,求出最大值 及此时点P 的坐标;若没有最大值,请说明 理由. (第1题) 2. (2023·西宁)如图,在平面直角坐标系中,直 线l与x 轴交于点A(6,0),与y 轴交于点 B(0,-6),抛物线经过点A,B,且对称轴是 直线x=1. (1) 求直线l对应的函数表达式. (2) 求抛物线对应的函数表达式. (3) P 是直线l下方抛物线上的一动点,过点 P 作PC⊥x轴,垂足为C,交直线l于点D, 过点P 作PM⊥直线l,垂足为M.求PM 长 的最大值及此时点P 的坐标. (第2题) 类型二 二次函数与面积有关的最值问题 3. (2024·徐州)如图,A,B 为一次函数y= -x+5的图象与二次函数y=x2+bx+c 的图象的公共点,点A,B 的横坐标分别为 0,4.P 为二次函数y=x2+bx+c的图象上 的动点,且位于直线AB 的下方,连接PA, PB.求: (1) b,c的值. (2) △PAB 的面积的最大值. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 15 4. (2024·宣城模拟)如图,抛物线c:y=ax2+ bx+2与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点, 与y 轴交于点C.M(m,0)为动点,且0< m<4,过点M 作EM⊥AB 于点M,交抛物 线于点E,交直线BC 于点F. (1) 求抛物线c对应的函数表达式及顶点 坐标. (2) 若MF=EF,求m 的值. (3) 连接CE,BE,CM,求四边形CMBE 面 积的最大值. (第4题) 类型三 二次函数与图象变化有关的最值问题 5. (2024·江西模拟)已知二次函数 y=kx2-6kx+5k(k>0)经过A,B 两定点(点A 在点B 的左侧),顶点 为P. (1) 求定点A,B 的坐标. (2) 把二次函数y=kx2-6kx+5k的图象 在直线AB 下方的部分向上翻折,将向上翻 折得到的部分与原二次函数图象位于直线 AB 上方的部分的组合图象记作图象W,求 向上翻折部分对应的函数表达式. (3) 在(2)的条件下,已知△ABP 的面积 为8. ① 当1≤x≤4时,求图象W 中y 的取值 范围. ② 若直线y=m 与图象W 从左到右依次交 于C,D,E,F 四点,若CD=DE=EF,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 (3) 由y=x2+mx-2m=x2+ m(x-2),可知当x=2时,无论m 取 何值,y都等于4. ∴ 定点H 的坐标为(2,4). 如图,当点H 在抛物线的对称轴的左 侧时,过点A 作AD⊥AH,交HP 的 延长线于点D,分别过点D,H 作x轴 的垂线,垂足分别为E,G. ∴ ∠HAD =∠DEA=∠AGH = 90°,HG=4,OG=2. ∵ 点A 的坐标为(1,0), ∴ OA=1. ∴ AG=OG-OA=1. ∵ ∠HAD=90°,∠AHD=45°, ∴ ∠ADH=45°. ∴ AH=AD. ∵ ∠DAE+ ∠HAG= ∠AHG+ ∠HAG=90°, ∴ ∠DAE=∠AHG. ∴ 易得△ADE≌△HAG. ∴ DE=AG=1,AE=HG=4. ∴ OE=OA+AE=5. ∴ 点D 的坐标为(5,-1). 同理,当点H 在抛物线的对称轴的右 侧时,点D 的坐标为(-3,1). ① 当点D 的坐标为(5,-1)时,易得 直线DH 对应的函数表达式为y= -53x+ 22 3. ∵ 点 P -m2 ,-m 2+8m 4 在直线 y=- 5 3x+ 22 3 上, ∴ -m 2+8m 4 =- 5 3 · -m2 + 22 3 ,解得m1=-4,m2=- 22 3. ∵ 当m=-4时,点P 的坐标为(2, 4),与点H 重合, ∴ m1=-4不合题意,舍去. ② 当点D 的坐标为(-3,1)时,易得 直线DH 对应的函数表达式为y= 3 5x+ 14 5. ∵ 点 P -m2 ,-m 2+8m 4 在直线 y= 3 5x+ 14 5 上, ∴ -m 2+8m 4 = 3 5 · -m2 +145, 解得 m3=-4(不合题意,舍去), m4=- 14 5. 综上所述,m 的值为-145 或-223. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-145x+ 28 5 或y=x2- 22 3x+ 44 3. (第14题) 专题特训一　二次函数中的 最值问题 1. (1) ∵ 抛物线y=- 2 3x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于 点C,点A 的坐标为(-1,0),点B 的 坐标为(3,0), ∴ y= - 2 3 (x+1)(x-3)= -23x 2+43x+2. (2) 有最大值. 当x=0时,y=- 2 3x 2+43x+ 2=2, ∴ C(0,2). 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+2. 将B(3,0)代入,得3k+2=0,解得 k=-23. ∴ 直线 BC 对应的函数表达式为 y=- 2 3x+2. 由题意,设P x,-23x 2+43x+2 (0<x<3). ∴ 易得D x,-23x+2 . ∴ 2PD+PE=2 -23x2+43x+ 2+23x-2 +x=-43x2+5x. ∴ 当 x= - 5 2× -43 =158 时, 2PD+PE 有最大值,最大值为7516 ,此 时P 158 ,69 32 . 2. (1) 设直线l对应的函数表达式为 y=mx+n(m≠0). ∵ 直线l与x 轴交于点A(6,0),与 y轴交于点B(0,-6), ∴ 6m+n=0, n=-6, 解得 m=1 , n=-6. ∴ 直线l对应的函数表达式为y= x-6. (2) 设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-h)2+k(a≠0). ∵ 抛物线的对称轴是直线x=1, ∴ y=a(x-1)2+k. ∵ 抛物线经过点A,B, ∴ 25a+k=0, a+k=-6, 解得 a=14 , k=-254. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= 1 4 (x-1)2-254. (3) ∵ A(6,0),B(0,-6), ∴ OA=OB=6. 在△AOB 中,∠AOB=90°, ∴ ∠OAB=∠OBA=45°. ∵ PC⊥x轴,PM⊥直线l, ∴ ∠PCA=∠PMD=90°. 在Rt△ADC中, ∵ ∠PCA=90°,∠OAB=45°, ∴ ∠ADC=45°. ∴ ∠PDM=∠ADC=45°. ∴ ∠DPM=45°. 由勾股定理,易得PM= 22PD. ∵ y= 1 4 (x-1)2-254= 1 4x 2- 1 2x-6 , ∴ 设Pt,14t 2-12t-6 (0<t<6). ∴ D(t,t-6). ∴ PD=t-6- 14t 2-12t-6 = -14t 2+32t=- 1 4 (t-3)2+94. ∵ -14<0 , ∴ 当t=3时,PD 长的最大值是94 , 此时PM 最大,PM= 22PD= 2 2× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 9 4= 92 8 . 当t=3时,14t 2-12t-6= 1 4×9- 1 2×3-6=- 21 4 , ∴ P 3,-214 . ∴ PM 长的最大值是928 ,此时点P 的坐标为 3,-214 . 3. (1) 当x=0时,y=-x+5=5;当 x=4时,y=-x+5=1. ∴ A(0,5),B(4,1). 将A(0,5),B(4,1)代入y=x2+ bx +c,得 c=5, 16+4b+c=1, 解 得 c=5, b=-5. (2) 由(1),得y=x2-5x+5. ∴ 设P(m,m2-5m+5)(0<m<4). 如图,作PE∥OA,交AB 于点E,则 E(m,-m+5). ∴ PE=4m-m2. ∴ S△PAB = 1 2 (4m-m2)×(4- 0)=-2(m-2)2+8. ∴ 当m=2时,S△PAB 取得最大值,最 大值为8. (第3题) 4. (1) 在y=ax2+bx+2中,令x= 0,得y=2. ∴ C(0,2). 由题意,得y=a(x+1)(x-4)= a(x2-3x-4). 把C(0,2)代入,得-4a=2,解得 a=-12. ∴ 抛物线c 对应的函数表达式为 y=- 1 2x 2+32x+2=- 1 2 x- 3 2 2 +258. ∴ 顶点坐标为 3 2 ,25 8 . (2) 由B(4,0),C(0,2),易得直线BC 对应的函数表达式为y=- 1 2x+2. ∵ M(m,0), ∴ 易得F m,-12m+2 , E m,-12m 2+32m+2 . ∵ MF=EF, ∴ -12m+2=- 1 2m 2+32m+2- -12m+2 ,解 得 m1 =1,m2 = 4(舍去). ∴ m 的值为1. (3) 由(2),知 M(m,0),则F m, -12m+2 ,E m,-12m2+32m+2 . ∴ S四边形CMBE =S△BCE +S△BMC = 1 2FE ·BO+12BM ·CO=12× -12m 2+32m+2+ 1 2m-2 ×4+ 1 2× (4-m)×2=-m2+3m+ 4=-(m-1.5)2+254≤ 25 4. ∴ 四 边 形 CMBE 面 积 的 最 大 值 为25 4. 5. (1) 二次函数可化为y=k(x-1)· (x-5), ∴ 该函数图象恒过点(1,0),(5,0). ∴ 定点A 的坐标为(1,0),定点B 的 坐标为(5,0). (2) ∵ 直线AB 就是x轴, ∴ 翻折前与翻折后的图象关于x 轴 对称. ∴ 向上翻折部分对应的函数表达式 为y=-kx2+6kx-5k(1≤x≤5). (3) ① ∵ A(1,0),B(5,0), ∴ 对称轴为直线x=1+52 =3. 将x=3代入y=kx2-6kx+5k,得 y=-4k. ∵ △ABP 的面积为8, ∴ (5-1)×|-4k|×12=8. ∴ k=±1. ∵ k>0, ∴ k=1. ∴ 图象W 向上翻折部分对应的函数表 达式为y=-x2+6x-5(1≤x≤5). ∵ 1≤x≤4,顶点在AB 之间的图象 W 上,该段图象开口向下,对称轴为 直线x=3, ∴ 当x=3时,y最大值=4;当x=1时, y最小值=0. ∴ 当1≤x≤4时,图象W 中y 的取 值范围是0≤y≤4. ② ∵ 直线y=m 与图象W 从左到右 依次交于C,D,E,F 四点, ∴ y=x2-6x+5的图象与直线y= m 交于点C,F,可得x2-6x+5=m. ∴ x1+x2=- -6 1=6 ,x1x2=5-m. ∴ CF=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= 62-4(5-m). ∵ y=-x2+6x-5的图象与直线 y=m 交于点D,E, ∴ -x2+6x-5=m,易得 DE= 62-4(5+m). ∵ CD=DE=EF, ∴ CF=3DE,即 62-4(5-m)= 3× 62-4(5+m).两边同时平方, 解得m=165. 21.3　二次函数与一元 二次方程 1. D 2. D 3. C 4. D 5. -1≤x≤4 根据图象确定不等式ax2+ bx+c>mx+n解集的方法 先画出函数y1=ax2+bx+c 与y2=mx+n 的图象,并确定(计 算)两个图象交点的横坐标,再根 据图象的上下关系(图象在上方即 函数值较大),得出不等式的解集. 6. (1) 由图象可知,与x 轴交于点 (-1,0),(3,0). ∴ 方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1=-1,x2=3. (2) 由图象可知,不等式ax2+bx+ c<0的解集为-1<x<3. (3) 由图象可知,当0≤x≤3时,函数 值y的取值范围是-4≤y≤0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9