9.1.2 分层随机抽样+9.1.3 获取数据的途径 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案围绕分层随机抽样（定义、比例分配、计算、适用条件）及获取数据的途径展开，通过对比简单随机抽样与分层随机抽样的区别与联系搭建知识支架，衔接基础抽样方法与实际数据获取的学习脉络。 结合生活实例设计课堂练习，从抽样判断、计算到操作步骤，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过抽样比、平均数估计训练数学思维，明确数据获取途径提升数据观念与应用意识，助力学生高效掌握重点。

9.1.2 分层随机抽样 9.1.3 获取数据的途径 【知识点概况】 一、分层随机抽样 一般地，按 变量把总体划分成若干个 ，每个个体 一个子总体，在每个子总体中独立地进行 ，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为 ，这样的抽样方法称为分层随机抽样. （1）每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为 . （2）如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为，两层抽取的样本量分别为，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为. 则 ， .由于可用每层的样本平均数估计每层的总体平均数，故可用 估计总体平均数. （3）在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用 估计 . 二、分层随机抽样的适用条件 分层随机抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持 与 的一致性，这对提高样本的代表性非常重要.当总体是有差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样的方法. 三、获取数据的途径 获取数据的基本途径有 、 、 、 等. 思考：简单随机抽样与分层随机抽样有何区别与联系？ 【课堂练习】 一、分层随机抽样的判断 【例1】某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（ ） A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.其他抽样方法 【例2】某地区的大一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人，计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、西部、中部这三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.随机数法 B.按性别分层随机抽样 C.抽签法 D.按地区分层随机抽样 总结：选择抽样方法的思路：（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层随机抽样.（2）若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样，当总体中的个体数较小时，宜用抽签法；当总体中个体数较大、样本量较小时，宜用随机数法. 【练习】 1.现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样方法是（ ） A.①简单随机抽样，②分层随机抽样 B.①分层随机抽样，②简单随机抽样 C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层随机抽样 2.某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ） A.高一学生被抽到的可能性最大 B.高二学生被抽到的可能性最大 C.高三学生被抽到的可能性最大 D.每位学生被抽到的可能性相等 二、分层随机抽样的计算 【例3】甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三所学校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法，抽取一个容量为90的样本，应在甲、乙、丙三所学校分别抽取学生（ ） A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，10人 D.30人，50人，10人 【例4】交通管理部门为了解机动车驾驶员对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区作分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（ ） A.101 B.808 C.1212 D.2012 【例5】为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为（ ） A.1.57m B.1.56m C.1.55m D.1.54m 总结：（1）在利用分层随机抽样抽取样本时，要保证每层的个体被抽到的可能性相等，所以涉及求样本容量、某一层的样本容量、总体或各层的个体数时，都要用到抽样比.（2）分层随机抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都等于抽样比. 【练习】 1.在1000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，若用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球（ ） A.33个 B.20个 C.5个 D.10个 2.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） 年级 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z A.24 B.48 C.16 D.12 3.某大学有2万名学生，其中女生占70%，按性别分层随机抽样，并分别在男生、女生中各随机抽取100人进行调查，得到男生的月平均开销为1200元，女生的月平均开销为1000元，试估计全校学生月平均开销. 三、分层随机抽样的操作步骤 【例6】某城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层随机抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽多少家？写出抽样过程. 总结：（1）对于个体差异较为明显的总体，以分层随机抽样法抽取样本，所得样本的代表性较好，在按比例确定各层抽取个数后，在各层中可以采用简单随机抽样法，甚至可以再次使用分层随机抽样法. （2）利用分层随机抽样抽取样本的操作步骤为：①将总体按一定标准进行分层；②计算抽样比；③按抽样比确定各层应抽取的样本容量；④在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）；⑤最后将每一层抽取的个体汇总合成样本. 【练习】 1.一个地区共有5个乡镇，人口共有3万人，其人口比例为3:2:5:2:3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与地理位置及水土有关，应采取什么抽样方法？并写出具体过程. 四、获得数据的途径 【例7】为了研究近些年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据.他获取这些数据的最好途径是（ ） A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 【例8】下列哪些数据一般是通过试验获取的（ ） A.1988年济南市的降雨量 B.2019年新生儿人口数量 C.某学校高一年级同学的数学测试成绩 D.某种特效中成药的配方 获得数据的基本途径 适用类型 注意问题 通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效的利用背景信息，选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误 通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量 通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备，通过长久的持续观察获取数据 通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真 【练习】“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大、最灵敏的单口径射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（ ） A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 【课后练习】 1.分层随机抽样适合的总体是（ ） A.总体容量较大 B.样本量较大 C.总体中个体有差异 D.任何总体 2.（多选题）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质检部门要抽取46辆进行检验，则（ ） A.应采用分层随机抽样法抽取 B.应采用抽签法抽取 C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆 D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 3.某校要从高一、高二、高三共2018名学生中选取50名组成志愿团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样的方法从2018名中剔除18人，剩下的2000人再按分层随机抽样的方法进行抽取，则每人入选的概率（ ） A.都相等且为 B.都相等且为 C.不全相等 D.均不相等 4.某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层随机抽样的方法共抽取10亩进行统计，如果所抽取的山地比平地的2倍多1亩，则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为 . 5.某大型企业针对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁及以上的人数 100 100 400 （1）从所有参与调查的人中用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值 （2）从支持B方案的人中用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁以下的人数是多少？年龄在35岁及以上的人数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $