25.2 用列举法求概率（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

25.2 用列举法求概率 一．选择题（共8小题） 1．某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为（　　） A． B． C． D． 2．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（　　） A． B． C． D． 3．每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．兰州志成中学在3月14日举办的第一届数学文化节中策划了“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（　　） A． B． C． D． 4．如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（　　） A． B． C． D． 5．小航在观看2025年春晚中的魔术表演时，把“勺子”“杯子”“筷子”按照从左到右的顺序随机摆放，最右边是“杯子”的概率为（　　） A． B． C． D． 6．一天晚上，小海帮妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小海只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则颜色完全搭配正确的概率是（　　） A． B． C． D． 7．某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，则该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率是（　　） A． B． C． D． 8．在数学活动课上，老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 9．一张正方形的桌子，有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙两位同学恰好坐在相邻位置的概率是　 　 ． 10．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是　 　 ． 11．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率为　 　 ． 12．某智能垃圾分类回收站内设有可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其它垃圾四种垃圾箱，其中可回收垃圾箱中有2个塑料瓶和2本旧书籍．现系统随机从可回收垃圾箱中抽取两件物品，恰好这两件物品都是塑料瓶的概率是　 　 ． 13．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和1红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球．不放回．再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是　 　 ． 14．某博物馆开设了A，B，C三个安检通道：甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为　 　 ． 15．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神．某班级为响应学校号召，计划从“志愿服务”“公益环保”“勤俭节约”三项活动中随机选取两项进行实践，则恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的概率是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 16．夏津县为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、D仰卧起坐；男生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、E引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目，结合信息回答下列问题． （1）女同学小丽抽中跳远属于　 　 事件． （2）男同学小明抽中50米的概率为　 　 ． （3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率． 17．五一假期档多部热门影片上映，某大型电影院为方便观众入场，在入口处设置了A，B，C，D四个检票口．观众可随机选择一个检票口入场观影． （1）一名观众通过入口时，选择A检票口通过的概率为 　 　 ； （2）当两名观众从不同检票口同时通过入口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻检票口通过的概率． 18．“探险家”是历史上的探险先驱，他们的故事激励着无数人勇往直前． 小明购买了“四大探险家”（马可•波罗、哥伦布、麦哲伦、大卫•利文斯通）的纪念卡片各1张，分别记为A卡、B卡、C卡、D卡．小明打算将其中两张纪念卡片送给小刚，他将这些卡片背面朝上放在桌上（卡片背面设计完全相同）． （1）小刚随机抽取一张卡片，抽到A卡的概率是　 　 ； （2）小刚先随机抽取一张卡片（不放回），然后再随机抽取第二张，求抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 19．为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 8 7 中位数 8 8 优秀率 80% 60% （1）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （2）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1名学生的概率． 20．中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数为 　 　 人，并补全条形统计图； （2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数； （3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率． 21．在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽，现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工以及提高效率，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中，摇匀后放在桌面上，两人轮流摸球，每次摸出一球，不放回，最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）若小智先摸，第一次摸中写有陈景润名字的小球的概率是 　 　 ； （2）若小智先摸，然后小慧再摸，请利用画树状图或列表的方法，求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 25.2 用列举法求概率 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求出恰好选中航模和机器人的概率． 【解答】解：设航模、机器人、计算机编程分别用A，B，C表示， 树状图如下： 由上可得，一共有6种等可能性，其中恰好选中航模和机器人的可能性有2种， ∴恰好选中航模和机器人的概率为， 故选：A． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 2．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的结果有：（A，D），（D，A），共2种， ∴小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 3．每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．兰州志成中学在3月14日举办的第一届数学文化节中策划了“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好选到同一个活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将三个挑战活动分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一个活动的结果有3种， ∴她们恰好选到同一个活动的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4．如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将4张卡片分别记为A，B，C，D，则属于化学变化的是C和D． 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有：（C，D），（D，C），共2种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 5．小航在观看2025年春晚中的魔术表演时，把“勺子”“杯子”“筷子”按照从左到右的顺序随机摆放，最右边是“杯子”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中最右边是“杯子”的有2种结果， 所以最右边是“杯子”的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 6．一天晚上，小海帮妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小海只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则颜色完全搭配正确的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有6种等可能出现的结果，其中其颜色搭配正确的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：设3个茶杯分别为A，B，C，A的杯盖是a，B的杯盖是b，C的杯盖是c， 画树状图如下： 共有6种等可能出现的结果，其中颜色搭配正确的结果有1种， ∴颜色搭配正确的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 7．某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，则该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的结果有：（A，D），（D，A），共2种， ∴该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 8．在数学活动课上，老师将6种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出所有情况再根据概率公式求解即可． 【解答】解：把第一组卡片依次记为A，B，C，第二组卡片依次记为D，E，F，其中B（酒精燃烧）、C（铁棒生锈）和E（牛奶变质）为化学变化， 从每组中随机抽取一张的可能结果为（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F）（C，D），（C，E），（C，F）共9种等可能结果， 其中符合题意的结果数为2，即（B，E）和（C，E），故所求概率为． 故选：A． 【点评】本题主要考查列表法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 二．填空题（共7小题） 9．一张正方形的桌子，有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙两位同学恰好坐在相邻位置的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】设甲坐在任意一个位置上，其相邻位置的有两个，不相邻位置一个，由此确定乙的坐在相邻位置的概率． 【解答】解：设甲坐在任意一个位置上，余下三个位置，有两个相邻位置，故乙坐在相邻位置有2种可能； ∴甲、乙两人坐在相邻位置的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查利用概率公式计算概率，解题关键是先确定甲的位置，进而确定甲、乙相邻的情况数，再利用概率公式求解． 10．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2， 所以两次都摸到相同颜色的小球的概率． 故答案为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 11．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出3次摸球所得总分为5分的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中3次摸球所得总分为5分的结果为：红、红、黑；红、黑、红；黑、红、红，共3个结果； 所以则3次摸球所得总分为5分的概率． 故答案为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 12．某智能垃圾分类回收站内设有可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其它垃圾四种垃圾箱，其中可回收垃圾箱中有2个塑料瓶和2本旧书籍．现系统随机从可回收垃圾箱中抽取两件物品，恰好这两件物品都是塑料瓶的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】通过列表的方式列出所有情况，再利用概率公式进行求解． 【解答】解：设2个塑料瓶分别是A，B和2本旧书籍分别是C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由列表可知：恰好这两件物品都是塑料瓶的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了利用列表法活树状图法求概率，解题的关键是通过列表的方式列出所有情况求概率． 13．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和1红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球．不放回．再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸到的球都是白球的结果数，然后利用概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸到的球都是白球的结果数为2， 所以两次摸到的球都是白球的概率． 故答案为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 14．某博物馆开设了A，B，C三个安检通道：甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【解答】解：根据题意列表如下： 甲乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种， 则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是利用列表法或树状图法求概率，列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键． 15．2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神．某班级为响应学校号召，计划从“志愿服务”“公益环保”“勤俭节约”三项活动中随机选取两项进行实践，则恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意得到共有3种等可能的情况：志愿服务，公益环保；志愿服务，勤俭节约；公益环保，勤俭节约；恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的只有1种情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意共有3种等可能的情况：志愿服务，公益环保；志愿服务，勤俭节约；公益环保，勤俭节约； 恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的只有1种情况， ∴恰好选中“公益环保”和“勤俭节约”的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，掌握其性质是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 16．夏津县为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、D仰卧起坐；男生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、E引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目，结合信息回答下列问题． （1）女同学小丽抽中跳远属于　随机　 事件． （2）男同学小明抽中50米的概率为　　 ． （3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率． 【答案】（1）随机． （2）． （3）． 【分析】（1）根据事件的分类进行判断即可； （2）根据概率公式即可得出答案； （3）用列表法或树状图法得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）女同学小丽抽中跳远属于随机事件； 故答案为：随机． （2）男同学的抽测项目共有四个：A、B、C、E．小明抽中项目C50米的概率为； 故答案为：． （3）列表得： 女同学男同学 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 树状图如下： 用列表法或是树状图法都可以得出共有16种等可能出现的结果，其中女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的情况有3种：AA，BB，CC， 故女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率为． 【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 17．五一假期档多部热门影片上映，某大型电影院为方便观众入场，在入口处设置了A，B，C，D四个检票口．观众可随机选择一个检票口入场观影． （1）一名观众通过入口时，选择A检票口通过的概率为 　　 ； （2）当两名观众从不同检票口同时通过入口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻检票口通过的概率． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选择A检票口通过的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两名乘客选择相邻检票口通过的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选择A检票口通过的结果有1种， ∴选择A检票口通过的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两名乘客选择相邻检票口通过的结果有：（A，B），（B，A），（B，C），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴两名乘客选择相邻检票口通过的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 18．“探险家”是历史上的探险先驱，他们的故事激励着无数人勇往直前． 小明购买了“四大探险家”（马可•波罗、哥伦布、麦哲伦、大卫•利文斯通）的纪念卡片各1张，分别记为A卡、B卡、C卡、D卡．小明打算将其中两张纪念卡片送给小刚，他将这些卡片背面朝上放在桌上（卡片背面设计完全相同）． （1）小刚随机抽取一张卡片，抽到A卡的概率是　　 ； （2）小刚先随机抽取一张卡片（不放回），然后再随机抽取第二张，求抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到A卡的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到A卡的结果有1种， ∴小刚随机抽取一张卡片，抽到A卡的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的结果有：（A，B）（B，A），共2种， ∴抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 8 7 中位数 8 8 优秀率 80% 60% （1）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （2）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1名学生的概率． 【答案】（1）七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下： ∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率， ∴七年级学生的党史知识掌握得较好； （2）两个年级能达优秀的总人数可能会有700人； （3）． 【分析】（1）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解； （2）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可； （3）根据题意列表，然后求出所有的等可能的结果数，然后求出恰好每个年级都有一个的结果数，然后计算即可． 【解答】解：（1）七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下： ∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率， ∴七年级学生的党史知识掌握得较好； （2）从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有500×80%＝400人， 八年级达到优秀的人数可能有500×60%＝300人， 所以两个年级能达优秀的总人数可能会有700人； （3）把七年级的学生记作A，八年级的三名学生即为B、C、D，列表如下： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由表知，一共有12种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是6， 两人中恰好是七八年级各1人的概率是． 【点评】本题主要考查了统计与概率，用样本估计总体，列表或画树状图求概率，中位数的定义等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数为 　60　 人，并补全条形统计图； （2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数； （3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率． 【答案】（1）60；补全条形统计图见解答． （2）约495人． （3）． 【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得随机抽取的学生人数；求出D类的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用900乘以样本中B类和D类的人数所占的百分比之和，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中A和B的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）随机抽取的学生人数为21÷35%＝60（人）． 故答案为：60． D类的人数为60﹣15﹣21﹣3﹣9＝12（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）900495（人）． ∴估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人． （3）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B的结果有2种， ∴恰好选中A和B的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 21．在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小智和小慧计划从古代的赵爽、刘徽，现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工以及提高效率，小智和小慧决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中，摇匀后放在桌面上，两人轮流摸球，每次摸出一球，不放回，最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料． （1）若小智先摸，第一次摸中写有陈景润名字的小球的概率是 　　 ； （2）若小智先摸，然后小慧再摸，请利用画树状图或列表的方法，求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由盒子中的小球可知，共有4种等可能的结果，其中第一次摸中写有陈景润名字的小球的结果有1种，然后根据概率公式即可直接得出答案； （2）将赵爽、刘徽、陈景润、陈省身分别记为A，B，C，D，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）由盒子中的小球可知，共有4种等可能的结果，其中第一次摸中写有陈景润名字的小球的结果有1种， ∴若小智先摸，第一次摸中写有陈景润名字的小球的概率是． 故答案为：； （2）将赵爽、刘徽、陈景润、陈省身分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有8种， 所以两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $