3.2.2奇偶性（3知识点+10题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数奇偶性的概念 1.偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 3.函数奇偶性的图像对称性的拓展 (1)函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ (2)函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c 知识点2 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 1.定义法. (1)判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)的关系.对∀x∈D，若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数. (2)若∃x0∈D，f≠f且f≠-f(x0)，则函数f(x)为非奇非偶函数. 若对∀x∈D，f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 2.图象法： 3.性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 知识点3 函数奇偶性的应用 1.利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 2.根据函数的奇偶性求函数的解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 思路方法总结 函数的奇偶性与单调性的综合应用 类型1　比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 5.比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2　解不等式 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 典例·举一反三 题型一 函数奇偶性的判断 1．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 2．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 3．已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由偶函数定义可判断“”与“函数是偶函数”的关系. 【详解】由“”，不能得到“函数是偶函数”， 由“函数是偶函数”可得“”， 则“”是“函数是偶函数”的必要不充分条件. 故选：B 4．判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 5．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 题型二 奇偶性的图象特征 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可. 【详解】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 7．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得. 【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A 8．函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 9．已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的函数值的正负即可判断. 【详解】由图知，的定义域为，的定义域为， 令时，或，且， 设，则函数的定义域为，关于原点对称， 因为为偶函数，为奇函数，所以， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 对于选项A，因为是奇函数，图象关于原点对称，故A错误； 对于选项B，因为是奇函数，图象关于原点对称，故B错误； 对于选项C，当时，，，所以，故C错误； 对于选项D，由图知，当时，，当时，，结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确. 故选：D. 10．函数的大致图象为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】研究函数的奇偶性，可排除1 个选项，再研究函数的单调性，函数的零点等性质可得结论． 【详解】满足，即是偶函数，排除B； 又时，，函数在上递减，在上递增，排除AD，只有C满足． 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，一般用排除法，可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性，研究函数图象的特殊点，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除3个选项，剩下一个正确选项． 题型三 根据奇偶性求值 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【答案】A 【分析】由奇函数的定义知，可知，再根据时的解析式，即可求得，从而求解即可. 【详解】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A 12．已知是定义在上的奇函数，且当时，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再利用奇函数即可求出. 【详解】解：当时， 所以 又是定义在上的奇函数 所以 故选：B. 13．已知函数是奇函数，且，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数定义可得，代入可求得结果. 【详解】为奇函数          故选： 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，关键是能够准确得到函数所满足的关系式，属于基础题. 14．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】根据偶函数定义，求等价于求，即可解出. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 当，，所以. 故选：B. 15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 题型四 根据奇偶性求解析式 16．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 18．已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义计算即可. 【详解】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 19．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 20．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 题型五 抽象函数的奇偶性 21．设函数的定义域为,对任意,恒有成立,且,则是 （填“奇”或“偶”）函数. 【答案】偶 【分析】利用赋值法令,求出,再令,求出与之间的关系即可得到结论. 【详解】因为对任意,恒有成立, 令,,得到, 于是, 而,因此. 令,得, 所以, 得, 即. 所以函数是偶函数. 故答案为：偶 22．设函数对任意，都有，证明：为奇函数． 【答案】证明见解析 【分析】根据函数满足，通过赋值，求得，再继续赋值，使表达式产生与，代入，整理得，可证明结论成立. 【详解】证明：函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数对任意，都有， 令，则，得， 令，则， 所以， 即，所以为奇函数． 23．已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 24．已知函数满足． (1)求的值； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，即可求出； （2）令，结合，即可得证； （3）根据所给条件求出，，，，，，，即可得解； 【详解】（1）解：因为，令，则，所以； （2）解：因为，令，则，又，所以，即； （3）解：因为且，所以，，，，，，所以，； 25．已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1)，； (2)是奇函数，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法求解即可； （2）令可得，然后可判断. 【详解】（1）因为函数对一切实数都有成立，， 所以当时，即， 令可得，所以，即 （2）令可得，所以， 所以，即，， 所以函数是奇函数. 题型六 已知奇偶性求参数 26．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 27．已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 28．已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 29．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 30．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 题型七 奇函数 常数的应用 31．f（x）=x5+ax3+bx-8且f（-2）=0，则f（2）等于 A．-16 B．-18 C．-10 D．10 【答案】A 【详解】本题考查函数的奇偶性 令，则 由得 由得，所以 则 所以 故正确答案为 32．已知，且，则的值为 A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】直接代入解析式即可求解，另解：由得函数是奇函数，则，从而得出结论． 【详解】∵且，∴，∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是函数中的一部分具有奇偶性的应用，奇函数的性质是互为相反数的自变量对应的函数值也互为相反数，属于基础题． 33．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 34．已知,且,那么等于(    ) A．16 B．－16 C．－24 D．－32 【答案】D 【分析】把原函数写成一个奇函数加常数的形式，然后利用奇函数的性质获解 【详解】设,则 所以 因为 所以 所以,即 故选：D 35．若关下的函数的最大值为，最小值为，．则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可. 【详解】解：设， 因为 所以函数是奇函数，函数最大值为，最小值为，且， 令函数最大值为，最小值为， 则，，，故， ，， 故选：B 题型八 根据奇偶性比较大小 36．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由于偶函数的定义域为，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化，即可求解. 【详解】为上的偶函数， ∴， 又当时，是增函数， ∴． 故选：AB. 37．定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 38．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以. 故选：B 39．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 40．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意得到在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，得到，，结合函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 且两函数在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增， 所以，， 所以，，， 所以B、C正确，A错误； 若，则，D错误. 故选：BC 题型九 已知奇偶性解不等式 41．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 42．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性得到，当时，，结合单调性，求出，同理得到当时，，故， 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 所以， 因为在上单调递减，当时，， 故， 因为是定义在上的奇函数，故在上单调递减， 又，当时，， 故， 综上，的解集为. 故选：D 43．已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式. 【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为. 又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减. 由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得. 故选：A. 44．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性和奇偶性的定义列不等式组求解即可. 【详解】由当时得在单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增，故在上单调递增， 由得， 所以，解得， 故原不等式的解集为， 故选：A 45．已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 题型十 综合题型 46．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 【答案】(1)实数的值为 (2)证明见解析. 【分析】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解. （2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证. 【详解】（1）由已知函数在上是偶函数， 则有，即， 即，即， 又时均成立，解得. 于是实数的值为. （2）由已知得，解出，则. 证明如下： 任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 47．已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 48．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【分析】（1）由已知条件代入数值计算，即可得答案； （2）根据偶函数的定义即可判断结论； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 将代入，得到，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 49．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数为偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【详解】（1）令，则有， 由，得，即，所以． 令，，则，即， 因为，所以，所以； （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； （3）令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 50．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数奇偶性的概念 1.偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 3.函数奇偶性的图像对称性的拓展 (1)函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ (2)函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c 知识点2 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 1.定义法. (1)判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)的关系.对∀x∈D，若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数. (2)若∃x0∈D，f≠f且f≠-f(x0)，则函数f(x)为非奇非偶函数. 若对∀x∈D，f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 2.图象法 3.性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 知识点3 函数奇偶性的应用 1.利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 2.根据函数的奇偶性求函数的解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 思路方法总结 函数的奇偶性与单调性的综合应用 类型1　比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 5.比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2　解不等式 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 典例·举一反三 题型一 函数奇偶性的判断 1．根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 2．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 3．已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 5．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 题型二 奇偶性的图象特征 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 8．函数在上的图象大致是（    ） A．B．C． D． 9．已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 10．函数的大致图象为 A．B．C． D． 题型三 根据奇偶性求值 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 12．已知是定义在上的奇函数，且当时，，（    ） A． B． C． D． 13．已知函数是奇函数，且，则 A． B． C． D． 14．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 15．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 题型四 根据奇偶性求解析式 16．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 18．已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 19．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 20．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 题型五 抽象函数的奇偶性 21．设函数的定义域为,对任意,恒有成立,且,则是 （填“奇”或“偶”）函数. 22．设函数对任意，都有，证明：为奇函数． 23．已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 24．已知函数满足． (1)求的值； (2)求证：； (3)若，求的值． 25．已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 题型六 已知奇偶性求参数 26．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 27．已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 29．已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 30．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 题型七 奇函数 常数的应用 31．f（x）=x5+ax3+bx-8且f（-2）=0，则f（2）等于 A．-16 B．-18 C．-10 D．10 32．已知，且，则的值为 A．2 B．4 C． D． 33．已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 34．已知,且,那么等于(    ) A．16 B．－16 C．－24 D．－32 35．若关下的函数的最大值为，最小值为，．则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 根据奇偶性比较大小 36．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则（    ） A． B． C． D． 37．定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 38．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 39．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 40．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在单调递增，则（    ） A． B． C． D． 题型九 已知奇偶性解不等式 41．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 43．已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 44．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 45．已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 题型十 综合题型 46．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 47．已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 48．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 49．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 50．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $