校本作业56三角函数的运用-福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2024级厦外高一数学校本作业56—三角函数的运用 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1.简谐运动y=2sin的振幅、频率和初相分别为 (　　) A.2,, B.2,, C.2,, D.2,, 2.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h,低潮时水深9 m,高潮时水深15 m.每天潮涨潮落时,该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图像可以近似地看成函数的图像,其中0≤t≤24,且当t=3时涨潮到一次高潮,则该函数的解析式可以是 (　　) A. B. C. D. 3.如图是一个质点做简谐运动的图像,则下列判断正确的是 (　　) A.该质点的振动周期为0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时的运动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为0 4.如图,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,已知振幅为3 cm,周期为3 s,若物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为 (　　) A. B. C. D. 5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*) B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N*) C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N*) D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*) 6.下表是某市某年月平均温度(℃)的数据统计表: 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均 温度 (℃) -5.9 -3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 -2.4 则适合这组数据的函数模型是 (　　) A. B. C. D. 7.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足：,已知第一、二季度的平均单价如表所示，则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 (　　) A.10 000元 B.9500元 C.9000元 D.8500元 8.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成关于x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.如图所示,一个半径为10 m的圆形水轮按逆时针方向每分钟转4圈,水轮的中心O距水面5 m.记水轮上的点P到水面的距离为d(单位:m,P在水面下时d为负数),则d(m)与时间t(s)之间满足关系式,且当P点从水面上浮现时开始计，下面结论正确的是 (　　) A. B. C. D. 三、填空题 10.简谐运动的初相和频率分别为和,则它的周期为　　　　,相位是　　　　.  11.弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间t(s)时与离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式.给出下列三种说法:①小球开始时在平衡位置上方 cm处;②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处;③经过2π s小球重复振动一次.其中正确的说法是　　　　.(填序号)  12.一种波的波形为函数的图像,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图像的最高点),则正整数t的最小值是　　　　.  13.如图,某游乐园内摩天轮的中心O距地面的高度为50 m,摩天轮匀速转动.摩天轮上的一点P自最低点A起,经过t min后,点P的高度,那么在摩天轮转动一圈的过程中,点P距地面的高度在70 m 以上的时间将持续　　　　min.  14.如图是某地夏季某天从8~14时的用电量的变化曲线,且用电量y与时间x近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)这段时间的最大用电量为　　　　万千瓦时,最小用电量为　　　　万千瓦时;   (2)这段曲线对应的函数解析式为　　　　　　　.   四、解答题 15.如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t=月份-1); (2)估计当年3月1日动物种群数量. 16.一半径为2米的圆形水轮如图所示,水轮的中心O距离水面1米.已知水轮按逆时针做匀速转动,每3秒转一圈,当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时. (1)在水轮所在平面中,以过O且与水平面平行的直线为x轴,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,试将点P距离水面的高度h(单位:米)表示为时间t(单位:秒)的函数. (2)在水轮转动的任意一圈内,有多长时间点P距水面的高度超过2米? 17.某成人网吧全天24小时对外开放,在通常情况下,网吧的工作人员固定,但在每天的两个人员活动高峰期,需增加一名机动工作人员帮助管理.下面是网吧工作人员经过长期统计而得到的一天中时间t(时)与网吧活动人数y(个)的关系表. t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(个) 100 150 100 50 100 150 100 50 100 (1)选用一个函数模型来近似描述这个网吧的人数与时间的函数关系. (2)若网吧的活动人数达到140时需机动工作人员进入网吧帮助管理,该机动工作人员应何时进入网吧?每天在网吧需要工作多长时间?(sinπ≈0.8) 参考答案： 1.C　[解析] 由题意知A=2,f===,初相为-. 2.A　[解析] 根据题意得,ω===(T为函数的最小正周期),排除选项C,D.当t=3时,3sint+12=3sin×3+12=15,符合题意,-3sint+12=-3sin×3+12=9,不符合题意,排除选项B.故选A. 3.D　[解析] 由题中图像及简谐运动的有关知识知,周期T=0.8 s,振幅A=5 cm,当t=0.1 s或t=0.5 s时,运动速度v=0.故选D. 4.D　[解析] 设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(ω>0),则A=3,周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=+2kπ,k∈Z,结合选项可知选D. 5.A　[解析] 方法一:由f(3)=9可排除D;由f(7)=5可排除B;由A==2可排除C.故选A. 方法二:由题意,可得A==2,b=7,f(x)的最小正周期T==2×(7-3)=8.∴ω=,∴f(x)=2sinx+φ+7.当x=3时,y=9,∴2sin+φ+7=9,即sin+φ=1.∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=2sinx-+7(1≤x≤12,x∈N*). 6.C　[解析] 由表知,当x=1时,函数取得最小值,结合选项分析可知选C. 7.C　[解析] 因为y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9500=10 000,当x=2时,500sin(2ω+φ)+9500=9 500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sinx+π+9500,当x=3时,y=9000. 8．B　[解析] 根据题意知,|OM|=|OP||cos x|=|cos x|,则点M到直线OP的距离为|OM||sin x|=|cos xsin x|,∴f(x)=|cos xsin x|=|sin 2x|,故选B. 9.ABD　[解析] 由题意知A=10,k=5,周期T==15,所以ω==,所以d=10sint+φ+5.又当t=0时,d=0,所以10sin φ+5=0,所以sin φ=-,又-<φ<,所以φ=-.故选ABD. 10.　3πx-π　[解析] 因为频率f=,所以T==,所以ω==3π,所以相位为ωx+φ=3πx-π. 11.①②③　[解析] 当t=0时,s=2sin0+=,故①正确;smin=-2,故②正确;函数的最小正周期T=2π,故③正确.综上所得正确的说法是①②③. 12.7　[解析] 函数y=-sinx的最小正周期T=4,且当x=3时,y取得最大值1,因此t≥7.所以正整数t的最小值是7. 13.4　[解析] 由题意得40sint-+50>70,即cost<-,得+2kπ<<+2kπ,k∈Z,∴4+12k<t<8+12k,k∈Z,∴点P距地面的高度在70 m以上的时间将持续4 min. 14.(1)50　30　(2)y=10sinx++40,x∈[8,14]　[解析] (1)由题图得,这段时间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时. (2)观察图像可知,8~14时的图像是y=Asin(ωx+φ)+b在半个周期内的图像,∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.∵×=14-8,∴ω=,∴y=10sinx+φ+40.将(8,30)代入上式,得sinπ+φ=-1,又|φ|<,∴φ=,∴所求解析式为y=10sinx++40,x∈[8,14]. 15.解:(1)设y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0), 则解得 又函数的最小正周期T=2×(6-0)=12, ∴ω==,∴y=100sint+φ+800. 又当t=6时,y=900,∴900=100sin×6+φ+800, ∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,取φ=-, ∴y=100sint-+800(0≤t≤11,t∈N*). (2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750, 即当年3月1日动物种群数量约是750. 16.解:(1)设y轴与水面交点为B,如图所示. 由OB=1,OP0=2,得∠BOP0=,∠xOP0=. 设h=2sinωt-+1(ω>0),则T==3,解得ω=, 所以点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h=2sint-+1(t≥0). (2)由h=2sint-+1≥2,得sint-≥. 令t∈[0,3],则t-∈-,, 所以≤t-≤,解得≤t≤, 又 -=1,所以在水轮转动的任意一圈内,有1秒时间点P距水面的高度超过2米. 17.解:(1)以时间为横坐标,活动人数为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示. 根据图像,可考虑用函数y=Asin(ωt+φ)+h描述网吧的人数与时间之间的对应关系. 从图像和数据可以得出函数关系为y=50sint+100,t∈[0,24]. (2)令50sint+100=140,得sint=0.8, 可得t≈1.771,再由正弦函数的单调性、周期性得,当t∈[1.771,4.229]或t∈[13.771,16.229]时,140≤y≤150, 即机动人员这段时间内应在网吧工作,每天需要工作近5个小时. 学科网（北京）股份有限公司 $