5.7 三角函数的应用（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

5.7　三角函数的应用 课程标准 核心素养 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过对三角函数的应用的学习，提升“数学建模”“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养. [对应学生用书P117] 知识点　A, ω， φ的物理意义 在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义. 振幅 A 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 T＝ 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 f＝＝ 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx＋φ 其中 φ 为初相 [微体验] 1．思考辨析 (1)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.(　　) (2)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin A．(　　) s时，电流强度I为，则当t＝ 答案　(1)×　(2)√ 2．函数y＝2sin的周期、振幅、初相依次是(　　) A．4π，－2，　 B．4π，2， C．π，2，－　 D．π，－2， B　[∵A＝2，ω＝.]＝4π，振幅A＝2，初相φ＝，∴周期T＝ 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次． 解析　观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次． 答案　0.8 [对应学生用书P118] 探究一　三角函数模型在物理学中的应用 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解　列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0[来源:学科网ZXXK] －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin cm. ，所以小球开始振动时的位移是2＝2，得s＝4sin (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [方法总结] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝ [跟踪训练]　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220来表示，求： sin (1)开始时的电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解　(1)当t＝0时，E＝110 V. (V)，即开始时的电压为110 (2)T＝(s)，即时间间隔为0.02 s. ＝ (3)电压的最大值为220 s时第一次取得最大值．，即t＝＝ V，当100πt＋ 探究二　三角函数模型在实际生活中的应用 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8∶00到20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝t＋1(0≤t≤24)． cos，函数解析式为y＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为 (2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午9：00至下午3：00.t＜2kπ＋＜t＞0,2kπ－t＋1＞1，coscos [变式探究1]　若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ 解　由y＝， t＞t＋1＞1.25得coscos 2kπ－，k∈Z，即12k－2＜