校本作业55三角函数的化简与求值-福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2024级厦外高一数学校本作业55——三角函数式的化简与求值 班级： 姓名： 座号： 作业目标： 1.能灵活运用三角函数公式解决综合运用问题. 基础巩固： 一、选择题： 1.函数y=的最小正周期为 (　　) A. B.π C.2π D.3π 2.已知sin 2α=,则cos2= (　　) A.- B.- C. D. 3.若函数f(x)=asin x+bcos x在x=处取得最大值4,则= (　　) A.1 B. C.2 D.3 4.若cos=,则sin 2α的值为 (　　) A.- B. C. D.- 5.的值为 (　　) A.1 B. C. D.2 6.函数f(x)=(1+cos 2x)·sin2x(x∈R)是 (　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 7.若cos=,则sin的值为 (　　) A.- B. C.- D. 8.若函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a为实常数)在区间上的最小值为-4,则a的值等于 (　　) A.4 B.-6 C.-4 D.-3 9.(多选题)已知函数f(x)=sin x·sin-的定义域为[m,n](m<n),值域为,则n-m的值可能是 (　　) A. B. C. D. 二、填空题： 10.在平面直角坐标系xOy中,角θ的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点(-1,-),则cos=　　　　.  11.已知sin -cos =,<α<π,则tan =　　　　.  12.已知,,则sin θ+cos θ的值是　　　　.  13.化简:tan 70°cos 10°(tan 20°-1)=　　　　.  14.函数y=sin+cos(x∈R)的最小值是　　　　,最大值是　　　　.  【答题卡】 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选项 2、 填空题 10._________________________ 11._________________________ 12._________________________ 13._________________________ 14._________________________ 三、解答题： 1 学科网（北京）股份有限公司 15.已知cos(π-α)=,α∈(-π,0). (1)求sin α的值; (2)求cos2+sin·sin的值. 16.已知函数f(x)=sin+2sin2 (x∈R). (1) 求函数f(x)的最小正周期; (2) 求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 17.证明:=tan+. 思维探索： 18.已知，为锐角，且，，则（ ） A． B． C． D． 19.若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 20.在数学史上，为了三角计算的简便并追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．则下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C．函数在上单调递增 D．函数的最小值为 参考答案： 1.C　[解析] y===tan ,其最小正周期T==2π. 2.D　[解析] cos2α-====. 3.B　[解析] 由题意知解得所以=,故选B. 4.C　[解析] 因为cosα+=,所以cos α-sin α=,则(cos α-sin α)2=,故sin 2α=. 5.C　[解析] 原式====. 6.D　[解析] 由题意,得f(x)=(1+cos 2x)(1-cos 2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos 4x).又f(-x)=f(x),所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数,故选D. 7.A　[解析] 令θ=α+,则-2α=-2θ,故sin-2α=sin-2θ=cos 2θ=2cos2θ-1=-,故选A. 8.C　[解析] f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a=2sin2x++a+1.当x∈0,时,2x+∈,,∴f(x)min=2×-+a+1=-4,∴a=-4. 9.AB　[解析] f(x)=sin x·sinx+-=sin xsin x+cos x-=(1-cos 2x)+sin 2x-=sin 2x-cos 2x=sin2x-,因为f(x)的值域为-,,所以sin2x-∈-1,,所以2x-∈2kπ-,2kπ+,k∈Z,故x∈kπ-,kπ+,k∈Z,所以(n-m)max=kπ+-kπ-=,(n-m)min=kπ+-kπ-=,故选AB. 10.-1　[解析] ∵角θ的终边过点(-1,-),∴θ的终边在第三象限,根据三角函数的定义知sin θ=-,cos θ=-,∴cos2θ+=cos 2θ cos-sin 2θsin=(2cos2θ-1)·-2sin θ·cos θ·=--=-1. 11.2　[解析] ∵sin-cos2=,∴1-sin α=,∴sin α=.∵<α<π,∴cos α=-,∴tan ===2. 12.-　[解析] cos+θ·cos-θ=sin-θcos-θ=sin-2θ=cos 2θ=,所以cos 2θ=.因为θ∈,π,所以2θ∈,2π,θ+∈π,,所以sin 2θ=-,且sin θ+cos θ=sinθ+<0,所以(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1-=,所以sin θ+cos θ=-. 13.-1　[解析] 原式=·cos 10°··-1=·cos 10°·=·cos 10°·=-·=-1. 14.-1　1　[解析] 令x+=α,则x+=α+,∴y=sin α+cosα+=sin α+cos αcos -sin αsin =sin α+cos α=sinα+,∴ymin=-1,ymax=1. 15.解:(1)∵cos(π-α)=-cos α=,∴cos α=-. ∵α∈(-π,0),∴sin α=-=-. (2)cos2-+sin3π+·sin-=1+cos-α+-sin ·-cos =+sin α+sin ·cos =+sin α+sin α=+sin α=+-=. 16.解:(1)∵f(x)=sin2x-+2sin2x- =sin 2x-+1-cos 2x- =2sin 2x--cos 2x-+1=2sin2x--+1=2sin2x-+1, ∴f(x)的最小正周期T==π. (2)当f(x)取得最大值时,sin2x-=1, 令2x-=2kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z, ∴f(x)取最大值时x的集合为xx=kπ+,k∈Z. 17.证明:===tan+,得证. 18.【答案】C 【分析】 首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式求出，最后利用二倍角公式解得. 【详解】 解：依题意，为锐角，tan，， 又，为锐角，得，，； ， 得：， 因此，， 故选：C. 19.【答案】C 【分析】 利用诱导公式、两角和公式可得，再利用弦化切即得. 【详解】 ∵， ∴ 故选：C. 20.【答案】C 【分析】 根据题给的定义，分别对四个选项进行分析，根据题意和诱导公式进行化简，即可判断A选项；根据定义进行化简求得，再利用二倍角公式和齐次式进行化简，从而可判断B选项；根据定义和辅助角公式进行化简，进而利用整体代入法求得余弦型函数的单调增区间，即可判断C选项；根据定义和辅助角公式进行化简，从而可求出最小值，即可判断D选项. 【详解】 解：对于A，， ，故A选项错误； 对于B，由，得， 因为 ， 所以，故B选项错误； 对于C，， 则，得， 所以在上单调递增，故C选项正确； 对于D，因为， 所以最小值为0，故D选项错误． 故选：C. $