校本作业53 两角和与差正弦、余弦和正切公式-福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2024级厦外高一数学校本作业53——两角和与差正弦、余弦和正切公式 班级： 姓名： 座号： 作业目标： 1.能熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活利用公式解决化简、求值、求角问题；2.能熟记辅助角公式、知道它的推导过程及功能，并能解决相关问题. 基础巩固： 一、选择题： 1.sin 75°= (　　) A. B. C. D. 2.sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°= (　　) A.- B. C.- D. 3.已知点P(1,a)在角α的终边上,tan=－ ,则实数a的值是 (　　) A.2 B. C.-2 D.－ 4.函数f(x)=cos－cos是 (　　) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数 5.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α= (　　) A. B. C. D. 6.若α是锐角,且满足sin=,则cos α的值为 (　　) A. B. C. D. 7.若sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于 (　　) A.1 B.-1 C.0 D.±1 8.函数f(x)=sin x-cos的值域为 (　　) A.[-2,2] B.[-,] C.[-1,1] D. 9.已知锐角α,β满足=sin(2α+β),则下列等式恒成立的是 (　　) A.sin 2α=sin β B.sin 2α=cos β C.cos 2α=-sin β D.cos 2α=-cos β 二、填空题： 10.若cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=－ ,且450°<β<540°,则sin(60°-β)=　　　　.  11.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)=　　　　,α+β=　　　　.  12.已知tan=－ ,则sin αcos α的值是　　　　.  13.下列式子的结果为的有　　　　.(填序号)   ①tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°; ②2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°); ③. 14. 若关于x的方程sin x－cos x=c有实数解,则c的取值范围是　　　　.  【答题卡】 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选项 2、 填空题 10._________________________ 11._________________________ 12._________________________ 13._________________________ 14._________________________ 1 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题： 15.若0<α<,<β<0,cos=, cos=,求cos的值. 16.已知tan(α-β)=,tan β=－ ,且α,β∈(0,π), 求2α－β的值. 17.在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC的形状. 思维探索： 18.已知，，且，， ． 19.已知函数在上有且只有3个零点，则实数的最大值为________. 20.已知锐角，且，则的最小值为_________． 作业53参考答案： 1.A　[解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=. 2.D　[解析] sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°=cos 50°cos 10°-sin 50°sin 10°=cos(50°+10°)=cos 60°=,故选D. 3.C　[解析] ∵tanα+===-,∴tan α=-2,∵点P(1,a)在角α的终边上,∴tan α==a,∴a=-2. 4.D　[解析] 因为f(x)=cosx+-cosx-=cos x-sin x-cos x+sin x=-sin x,所以函数f(x)的最小正周期为=2π.因为f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.故选D. 5.D　[解析] tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===. 6.B　[解析] 因为α是锐角,且sinα-=>0,所以α-也为锐角,所以cosα-===,故cos α=cosα-+=cosα-cos -sinα-sin =×-×=. 7.C　[解析] ∵sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α=0,∴sin(α+2β)+sin(α-2β)=sin αcos 2β+cos αsin 2β+sin αcos 2β-cos αsin 2β=2sin αcos 2β=0. 8.B　[解析] 因为f(x)=sin x-cosx+=sin x-cos x+sin x=sin x-cos x=sinx-,所以函数f(x)的值域为[-,].故选B. 9.B　[解析] 由题意得,sin[(2α+β)+α]=sin(2α+β)cos α,∴cos(2α+β)sin α=0,又α,β是锐角,∴2α+β=,即2α=-β,∴sin 2α=cos β,cos 2α=sin β,故选B. 10.-　[解析] ∵cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos[(α+β)-α]=cos β=-,且450°<β<540°,∴sin β=,∴sin(60°-β)=×-×=-. 11.-1　　[解析] 因为(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1,故tan(α+β)==-1.因为α+β∈(0,π),所以α+β=. 12.　[解析] 由tan-α==-,解得tan α=2,∴sin αcos α===. 13.①②③　[解析] ①tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=tan 60°·(1-tan 25°·tan 35°)+tan 25°tan 35°=; ②2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°)=2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin(35°+25°)=; ③==tan 60°=. 14.[-2,2]　[解析] 关于x的方程sin x-cos x=c有解,即关于x的方程c=2sinx-有解,∵x为实数,∴2sinx-∈[-2,2],故-2≤c≤2. 15.解:∵cos+α=-,∴cos+α=. ∵0<α<,∴<α+<,∴sin+α=. ∵-<β<0,∴<-<, 又cos-=,∴sin-=, ∴cosα+=cos+α--=cos+αcos-+sin+αsin-=×+×=. 16.解:∵tan(α-β)=,tan β=-, ∴tan α=tan[(α-β)+β]===<1, 又α∈(0,π),∴0<α<,∴0<2α<. ∵tan β=-<0,β∈(0,π), ∴<β<π,∴-π<2α-β<0. 又tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]===1, ∴2α-β=-. 17.解:因为tan A=tan[180°-(B+C)]=-tan(B+C)===-,且0°<A<180°,所以A=120°. 因为tan C=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)===, 且0°<C<180°,所以C=30°, 所以B=180°-120°-30°=30°. 故△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 18.【答案】 【分析】 由题可求得，，由两角差的余弦公式即可得出所求. 【详解】 ，， ，， ，， ，， 所以 即. 19.【答案】 【分析】 利用三角恒等变换，将函数转化为，令得：，根据在上有且只有3个零点，利用整体代换，由 求解. 【详解】 ， ， ， 令得：， 因为，所以， 因为在上有且只有3个零点， 所以， 解得. 所以实数的最大值为. 故答案为： 20.【答案】 【分析】 利用诱导公式以及三角形的内角和将转化为的表示，结合已知条件有，利用换元法以及二次函数的性质求解出最小值. 【详解】 因为， 所以， 因为，所以， 又为锐角三角形，所以，所以， 令，所以， 又，所以， 所以当时，即时，有最小值， 故答案为：. $