精品解析：河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期9月统一摸底考试数学试题

石家庄市第一中学2026届高三年级统一摸底考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的实部为0}，，，i为虚数单位，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出集合，，，求出补集即可得解. 【详解】由的实部为0} 则，， 所以， 故选：A. 2. 设i为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数对应的点得，再利用复数的除法运算求,然后计算. 【详解】由题意知，， 所以， 所以， 故选：B. 3. 作用于原点的两个力，，为使它们平衡需要增加力，则力的大小为 A. B. C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，先求力坐标，再求模． 【详解】解：由题意有， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，考查了向量的坐标运算，考查了根据坐标求向量的模，属于基础题． 4. 已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与正切函数相交后形成的线段长为,由可得,再将代入求值即可 【详解】由题意,可知,所以,即, 所以, 故选:A 【点睛】本题考查正切型函数图象的性质,考查求正切函数值 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得，即求. 【详解】由抛物线， 则，即准线，焦点， 所以焦点到准线的距离是. 故选：B 6. 已知函数，则的值等于 A. 4 B. 3 C. 2 D. 无意义 【答案】C 【解析】 【详解】 故选 7. 在四面体中，，若直线与平面所成角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解. 【详解】由，得，，两两垂直. 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，设， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 则；， 设直线与平面所成角为， 则，，解得， ∴. 故选：B. 8. 已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，二次求导，可得当时，，由有且只有个正整数解，即有且只有个正整数解，求导可知至多有一个解，则需满足，，，再根据导数可得在上单调递减，即可证当时，，即可得参数范围. 【详解】由， 可得， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以当时，， 即当时，，单调递增， 所以当时，， 所以若不等式的解集中只含有个正整数， 即不等式的解集中只含有个正整数， 又的定义域为，且， 则， 设，则， 当时，， 所以在上单调递减，且至多有一个解， 所以若有且只有个正整数解 则需满足，解得， 现证当时，在上恒成立， 由时，， 即当时，，单调递减， 所以当时，， 综上所述， 故选：C. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 的系数为10 B. 第4项的二项式系数为10 C. 没有常数项 D. 各项系数的和为32 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式得，再合理赋值即可判断各选项. 【详解】展开式第项， ， 对A，令，即时，，的系数为，A错； 对B，第4项的二项式系数，B对； 对C，因为，则展开式中无常数项，C对； 对D，时，各项系数和不是，则D错， 故选：BC. 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形正弦定理来判断A选项，利用坐标来计算斜率得到相等关系可求离心率，可判断B选项，利用基本不等式可判断C选项，利用双曲线的切线方程来研究交点坐标，可判断D选项. 【详解】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 渐近线为，在中， 由正弦定理可知， 显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大， 即，随着的增大分别减小与增大且均为正数， 的值随着的增大而减小，故A正确； 对于B，由，则，因为左顶点为，右顶点为， 即，所以，，故B正确； 对于C，显然，且，，故C错误； 对于D，可设双曲线， 在点处的切线方程为， 联立可得， 联立可得， 点为线段的中点，即，故D正确； 故选：ABD. 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角A，C，B满足关系 C. 外接圆半径为 D. 中线CD的长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用判断ABCD的结论，从而得解． 【详解】现有△ABC满足sinA：sinB：sinc＝2：3：， 所以a：b：c＝2：3：， 设a＝2t，b＝3t，ct，t＞0， 利用余弦定理cosC， 由于C∈（0，π）， 所以C． 所以A+B，故A+B＝2C，所以△ABC三个内角A，C，B成等差数列，故B正确； 利用S△ABC， 所以absinC•2t•3t•，解得t＝1． 所以：a＝2，b＝3，c， 所以△ABC的周长为5，故A正确； 利用正弦定理 2R，△ABC外接圆半径R为，故C错误； 如图所示： 利用正弦定理，解得sinA，所以cosA， 利用余弦定理：CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cosA＝92×3， 解得CD，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查运算能力和转换能力及思维能力． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案. 【详解】由导数的几何意义可得，， 又在切线上， 所以，则=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题. 13. 《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则球心必在该直线上，设出球心，借助球心到各顶点距离相等，结合勾股定理计算即可得半径，运用球的体积公式即可得球的体积. 【详解】连接，分别取、、中点、、，连接、、， 由底面是正方形，平面，和均为等边三角形， 故，底面，又，故， 则，故， 由为底面正方形中心，，故羡除外接球球心在直线上， 连接、、，设半径为，，则, 由底面，平面，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故，故， 又，故有，即， 又， 故有，解得， 故，即， 则这个几何体的外接球的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题，关键在于借助题目条件，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则该几何体的外接球球心必在该直线上，设出该点位置，从而可结合勾股定理计算出该球半径，即可得解. 14. 双曲线的虚轴长为______，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】写出双曲线的标准方程，进而确定其虚轴长、左焦点，根据圆心、半径写出圆的标注方程，即得答案. 【详解】由，得，则，，故， 所以双曲线的虚轴长为，左焦点的坐标为， 则所求圆的标准方程为． 故答案为：； 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*. （1）求λ的值及通项公式an； （2）求数列的前n项和Sn. 【答案】（1）λ=2，an=2n-1；（2）Sn=2n+2-n2-2n-4. 【解析】 【分析】 （1）设等差数列{an}的公差为d，然后退项相减便可得出结果； （2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法求出前n项和. 【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0， 由2an+1=λan+4(n∈N*)， ① 得2an=λan-1+4(n∈N*，n≥2)， ② 两式相减得，2d=λd，又d≠0，所以λ=2. 将λ=2代入①可得2an+1=2an+4，即2d=4，所以d=2. 又a1=1，所以an=1+(n-1)×2=2n-1； （2）由（1）可得=2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1)， 所以Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]==2n+2-n2-2n-4. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，延长BC至M，使得，，且． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，由可得，，，再根据正弦定理求解即可； （2）设，则，在中，由余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 则, 又，则，即， 所以，则， 由于，则，，， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 则，则. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 所以. 17. 如图（1）所示，在中，，，，E为AC中点.过点E作，垂足为现将沿EF翻折至，如图（2）所示，连接PB，PC，过点P作，垂足为G，且 （1）若平面平面，求证：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 在图（1）中，，，所以，， 为AC的中点，，所以，， ，所以G为AB的中点，所以， 在图（2）中，平面PEG，平面PEG， 所以平面， 平面，平面平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知易证，可得平面，利用线面平行的性质可得结论； （2）利用已知可证平面，过在平面内作，以为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面PEC的一个法向量和平面PBC的一个法向量，利用向量法可求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在图（2）中，因为，，，PF、平面PBF， 所以平面PBF， 又平面EFBC，所以平面平面EFBC， 因为平面平面，，所以平面 由（1）知，即，又，所以， 过在平面内作， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PEC的法向量为， 则， 令，解得，所以 设平面PBC的法向量为， 则， 令，解得，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知函数 且函数有两个极值点. （1）求的范围; （2）若函数的两个极值点为且，求 的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）函数极值点问题转化为导函数零点问题处理.构造函数，通过函数的单调性与最值及图象趋势，找到方程有两个正实数根的充要条件； （2）整体换元法，令，再结合（1）结论得，将都转化为表示，从而将多元最值问题转化为一元函数问题，构造函数，求其最大值即可. 【小问1详解】 由题得，， 令， 则函数有两个极值点，即方程有两个正实数根. 因为， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， 且当时，，时，. 所以方程有两个正实数根， 只需，解得， 即函数有两个极值点时，的范围为. 【小问2详解】 由且，令，则， 由（1）知，， 即， 则， 即，解得， 所以. 则， 令， 则， 令， 则 所以函数在上单调递增， 又，所以， 则. 当时，， 所以在上单调递增， 则当时，. 即的最大值为. 19. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程． （3）若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 【答案】（1） （2） （3）为定值，且定值为12， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点和，，的数量关系即可求出，，即得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，即可根据三角形面积公式，代入化简求解斜率. （3）根据,的切线方程为，计算原点到切线的距离，由两点距离公式可得和，对化简计算即得． 【小问1详解】 设，， ，故， 点在椭圆上，则， ，故得，即 解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，，若直线的斜率不存在， 则，代入椭圆方程可得，故，此时,故直线有斜率， 直线的斜率为，则的方程为， 由消去得，，① 显然，设,，,，则， 于是，, 化简可得，即， 解得， 所以直线的方程为 【小问3详解】 由于椭圆上一点，的切线方程为． 依题意，设椭圆上的点,，则过点,的切线方程为， 即，原点到切线的距离为． 由两点间距离公式可得，， 同理， 则， 故为定值． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2026届高三年级统一摸底考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的实部为0}，，，i为虚数单位，则为（ ） A. B. C. D. 2. 设i为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 作用于原点的两个力，，为使它们平衡需要增加力，则力的大小为 A. B. C. 5 D. 25 4. 已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 A. 0 B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知函数，则的值等于 A. 4 B. 3 C. 2 D. 无意义 7. 在四面体中，，若直线与平面所成角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知，，若不等式的解集中只含有个正整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 的系数为10 B. 第4项的二项式系数为10 C. 没有常数项 D. 各项系数的和为32 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 11. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ） A. 周长为 B. 三个内角A，C，B满足关系 C. 外接圆半径为 D. 中线CD的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______． 13. 《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为______． 14. 双曲线的虚轴长为______，以的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准方程为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*. （1）求λ的值及通项公式an； （2）求数列的前n项和Sn. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，延长BC至M，使得，，且． （1）求的值； （2）求的面积． 17. 如图（1）所示，在中，，，，E为AC中点.过点E作，垂足为现将沿EF翻折至，如图（2）所示，连接PB，PC，过点P作，垂足为G，且 （1）若平面平面，求证：； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知函数 且函数有两个极值点. （1）求的范围; （2）若函数的两个极值点为且，求 的最大值. 19. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程． （3）若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $