22.1.3 二次函数y=a(x-h)² + k的图象和性质（讲义）2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数y=a(x-h)² + k 的图象和性质（讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解二次函数y=a(x-h)²+k的形式特征，知道a，h，k对函数图象的影响。 2. 能说出二次函数y=a(x-h)²+k的图象的顶点坐标和对称轴。 3. 能根据a的符号判断二次函数y=a(x-h)²+k的开口方向，并能比较函数值的大小或判断函数的增减性（在对称轴两侧）。 4. 初步学会根据二次函数y=a(x-h)²+k的表达式，描述其图象的特征；或根据图象的顶点等特征，写出二次函数的表达式（顶点式）。 知识点梳理 1. 二次函数的顶点式：y=a(x-h)² + k (a≠0) 我们把形如 y=a(x-h)² + k (其中a，h，k是常数，且a不等于0)的函数，叫做二次函数的顶点式。 2. y=a(x-h)² + k与y=ax²的联系与区别 · 联系：它们的图象都是抛物线，形状由a决定。当a的绝对值相等时，抛物线的开口大小和形状完全相同。 · 区别：y=ax²的顶点在原点(0,0)，而y=a(x-h)² + k的顶点位置发生了平移。 3. 二次函数y=a(x-h)² + k的图象性质 我们可以通过将y=ax²的图象进行平移得到y=a(x-h)² + k的图象： · 左右平移：y=ax² → y=a(x-h)² (1) 当h>0时，抛物线y=ax²向右平移h个单位长度，得到y=a(x-h)²的图象。 (2) 当h<0时，抛物线y=ax²向左平移|h|个单位长度，得到y=a(x-h)²的图象。 (3) 口诀：左加右减（针对h） (即括号内x减去一个正数h，图象向右移；x减去一个负数，相当于x加上它的绝对值，图象向左移)。 · 上下平移：y=a(x-h)² → y=a(x-h)² + k (1) 当k>0时，抛物线y=a(x-h)²向上平移k个单位长度，得到y=a(x-h)² + k的图象。 (2) 当k<0时，抛物线y=a(x-h)²向下平移|k|个单位长度，得到y=a(x-h)² + k的图象。 (3) 口诀：上加下减（针对k） (即整个函数表达式后面加上一个正数k，图象向上移；加上一个负数，相当于减去它的绝对值，图象向下移)。 4. 二次函数y=a(x-h)² + k的性质总结 对于二次函数 y=a(x-h)² + k (a≠0)： · 开口方向： (1) 当a>0时，抛物线开口向上。 (2) 当a<0时，抛物线开口向下。 · 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为 (h, k)。这也是“顶点式”名称的由来。 · 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点 (h, k) 且垂直于x轴的直线，其方程为 x = h。 · 函数的增减性与最值： (1) 当a>0时： · 对称轴左侧（即x < h时），y随x的增大而减小。 · 对称轴右侧（即x > h时），y随x的增大而增大。 · 当x = h时，函数取得最小值，最小值为 y = k。 (2) 当a<0时： · 对称轴左侧（即x < h时），y随x的增大而增大。 · 对称轴右侧（即x > h时），y随x的增大而减小。 · 当x = h时，函数取得最大值，最大值为 y = k。 · 开口大小：|a|的大小决定抛物线开口的宽窄。|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。（此条性质与y=ax²相同，因为a的绝对值未变，平移不改变抛物线的形状和开口大小） 知识点总结 1. 二次函数顶点式：y=a(x-h)² + k (a≠0)，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标。 2. 对称轴：直线x = h。 3. a的作用： (1) 决定开口方向：a>0开口向上；a<0开口向下。 (2) 决定开口宽窄：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 4. h的作用：决定抛物线的左右平移。对称轴为x=h，顶点的横坐标为h。（左加右减） 5. k的作用：决定抛物线的上下平移。顶点的纵坐标为k。（上加下减） 6. 最值：当x=h时，y有最大（或最小）值k。（a<0时为最大值，a>0时为最小值） 巩固练习 一、选择题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像的对称轴为直线 B．图像的顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 3．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 4．抛物线的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 5．已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则 ， ， 的大小关系是（　　） A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜ 6．将抛物线 平移后与抛物线 y= 重合，抛物线 上的点A(2，3)同时平移到点 A'，则点 A'的坐标为(　　) A．(3，4) B．(1，2) C．(3，2) D．(1，4) 7．在平面直角坐标系中，抛物线 y= 与 x 轴相交于(a，0)，(b，0)两点，其中a<b.现在将此 抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴相交于(c，0)，(d，0)两点，其中c<d，则下列叙述正确的是(　　) A．a+b=c+d，b-a<d-c B．a+b=c+d，b-a>d-c C．a+b<c+d，b-a<d-c D．a+b<c+d，b-a>d-c 8．已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 9．将下图所示的抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是(　　) A．y=(x-1)2+1 B．y=(x+1)2+1 C．y=2(x-1)2+1 D．y=2(x+1)2+1 二、填空题 10．二次函数的图象与y轴交于点（0，1），则b的值为　 　． 11．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为　 　． 12．将抛物线向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为　 　． 13．已知，当x　 　时，函数值y随x的增大而减小 14．请写出一个开口向上，经过点的抛物线的解析式　 　． 15．若二次函数在x=时，有最小值，且函数的图象经过点(0，2)，则此函数的表达式为　 　 16．已知，是抛物线上的两点，其对称轴是直线，若时，总有，同一坐标系中有，，且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是　 　． 三、解答题 17．已知抛物线L1：y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1，0)． （1）求抛物线L1的函数表达式． （2）将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． （3）把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L2，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1>y2，求n的取值范围． 18．如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1，0)及点B. （1）求的值，点的坐标。 （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围. （3）点是图像上一点，到轴距离小于3，根据图像，直接写出的取值。 19．如图，直线 交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)． （1）求k的值和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得 PAB的周长最小，并求出最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知抛物线 的图象与 轴有两个公共点． （1）求 的取值范围，写出当 取其范围内最大整数时抛物线的解析式； （2）将（1）中所求得的抛物线记为 ， ①求 的顶点 的坐标； ②若当 时， 的取值范围是 ，求 的值； （3）将 平移得到抛物线 ，使 的顶点 落在以原点为圆心半径为 的圆上，求点 与 两点间的距离最大时 的解析式，怎样平移 可以得到所求抛物线？ 参考答案 1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．A 7．A 8．D 9．C 10．0 11．​​​​​​​ 12． 13．＜-1 14． 15．y=(x-)2- 16． 17．（1）解：把A(1，0)代入y=a(x+1)2-4，可得：a(1+1)2-4=0， 解得：a=1， ∴y=(x+1)2-4=x2+2x-3． ∴抛物线L1的函数表达式为：y=x2+2x-3 （2）解：抛物线L1：y=(x+1)2-4的顶点坐标为(-1，-4)， 将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点坐标为(-1，-4+m)， ∵点(-1，-4+m)关于原点的对称点为(1，4-m)， ∴把(1，4-m)代入y=x2+2x-3， 可得：12+2×1-3=4-m， 解得：m=4 （3）解：把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，拋物线L3的函数表达式为y=(x-n+1)2-4， ∵点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上， ∴y1=(1-n+1)2-4=(2-n)2-4，y2=(3-n+1)2-4=(4-n)2-4． ∵y1>y2， ∴(2-n)2-4>(4-n)2-4， 解得：n>3， ∴n的取值范围是n>3 18．（1）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴点坐标， ∵对称轴，、关于对称轴对称， ∴点坐标， （2）由图象可知，满足的的取值范围为或． （3）∵点 是图像上一点，到轴距离小于3， ∴ 当时，解得： 当时，解得：或 根据图像可知， 点是图像上一点，到x轴距离小于3， 所以x的取值为： 19．（1）解：当x=0时，y=3， ∴点B坐标为（0，3）， ∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)， ∴设抛物线的解析式为 ， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ，即 ， 当y=0时， ， 解得： ， ， ∵点A在x轴负半轴， ∴A（-1，0），C（3，0）， 把A（-1，0）代入 得：-k+3=0， 解得：k=3． （2）解：如图，连接BC，交对称轴于点P， ∵抛物线的解析式为 ， ∴对称轴为直线x= ， ∵抛物线与x轴交于点A、C， ∴A、C关于对称轴对称， ∴PA=PC， ∴PA+PB=PB+PC=BC， ∴△PAB的周长的最小值为AB+BC， ∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0）， ∴OA=1，OB=3，OC=3， ∴AB+BC= = ， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴ ， 解得：k=-1， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=-1+3=2， ∴点P坐标为（1，2）． ∴△PAB周长的最小值为 ，点P坐标为（1，2）． （3）解：设点Q坐标为（1，m）， ∵A（-1，0），B（0，3）， ∴AB= = ，QA= = ，QB= = ， ①当QA=AB时， ∴ = ， 解得：m= ， ∴Q1（1， ），Q2（1， ）， ②当QB=AB时， ∴ = ， 解得：m=6或m=0， ∵直线AB的解析式为y=3x+3， ∴x=1时，y=6， ∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形， ∴Q3（1，0）， ③当QA=QB时， ∴ = ， 解得：m=1， ∴Q4（1，1）， 综上所述：存在点Q，使 ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，0），Q4（1，1）． 20．（1）解：由题意可得： ， 解得： 且 当 取最大整数时，其值为2，此时函数解析式为： （2）解：①由 ，顶点 的坐标为 . ②抛物线C1的对称轴为 ， ∴当 时， 随 的增大而增大． ∵当 时， 的取值范围是 ， ∴ ， ∴ 或 （舍去）． ∴ ． （3）解：由弦的性质，当线段 经过圆心 时， 距离最大，此时点 位于第二象限． 由 ， 可求得直线 的解析式为： ， 设 ，PQ在直线 上， ， 圆 半径为 ， ， 解之得 （舍去）或者 ，故 ． ∴ 的解析式为： ． 将抛物线记为 向左平移 再向上平移 即可得到抛物线记为 学科网（北京）股份有限公司 $