27.2.2 相似三角形的性质 课件-2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，系统讲解对应线段、周长比等于相似比及面积比等于相似比平方。通过合作探究推导对应高的比，引导学生仿照探究中线、角平分线的比，搭建递进式学习支架。 其亮点是互动探究与分层练习结合，“合作探究”培养推理能力，典例及中考题体现应用意识，帮助学生用数学思维思考、语言表达。结构清晰，教师易实施，学生能构建知识体系。

第 1 页：封面 标题：27.2.2 相似三角形的性质 副标题：人教版九年级数学下册 配图：两个相似三角形（△ABC∽△A'B'C'，标注相似比 k），用彩色线条标注对应边、对应角，旁注 “对应角相等”“对应边成比例”“周长比 = k”“面积比 = k²” 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识与技能： 掌握相似三角形的基本性质（对应角相等、对应边成比例），理解相似比的意义 推导并掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系（周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方） 能运用相似三角形的性质解决角度计算、线段长度求解、周长与面积计算等问题 过程与方法： 通过测量、计算、推理等探究活动，经历相似三角形性质的推导过程，提升逻辑推理与归纳总结能力 对比相似三角形与全等三角形的性质，体会 “特殊到一般” 的数学思想 情感态度： 感受相似三角形性质的系统性与实用性，增强几何解题的信心 在小组合作探究中，培养团队协作意识与严谨的数学思维 第 3 页：复习回顾与情境引入 复习旧知： 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定方法：SSS、SAS、AA 相似比：相似三角形对应边的比（记为 k），全等三角形的相似比 k=1 情境引入： 实例：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=1:2，已知 AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm，∠A=60°。 思考 1：△A'B'C' 的对应角是多少？对应边长度是多少？ 思考 2：△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比是多少？ 引入课题：今天我们将深入探究相似三角形的性质，重点分析周长比、面积比与相似比的关系。 第 4 页：探究一：相似三角形的基本性质（对应角、对应边） 性质推导： 由相似三角形的定义直接可得： 性质 1：相似三角形的对应角相等（如△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'） 性质 2：相似三角形的对应边成比例（如△ABC∽△A'B'C'，则\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，k 为相似比） 动手验证： 画△ABC（∠A=50°，∠B=60°，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm） 画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比 k=2 测量△A'B'C' 的对应角与对应边，验证 “对应角相等、对应边成比例” 小练习： 已知△ABC∽△DEF，∠A=70°，∠B=50°，AB=5cm，DE=10cm，求∠D、∠E 的度数及相似比 k。（答案：∠D=70°，∠E=50°，k=1:2） 第 5 页：探究二：相似三角形的周长比与相似比的关系 推导过程： 设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\) 则 AB=k・A'B'，BC=k・B'C'，AC=k・A'C' △ABC 的周长\(C_{ABC}=AB+BC+AC=k·A'B'+k·B'C'+k·A'C'=k(A'B'+B'C'+A'C')=k·C_{A'B'C'}\) 故\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\) 性质总结： 性质 3：相似三角形的周长比等于相似比 实例验证： 若△ABC 的周长为 12cm，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=3，则△A'B'C' 的周长 = 12×3=36cm 小练习： 已知△ABC∽△DEF，周长比为 2:3，若△ABC 的周长为 18cm，求△DEF 的周长。（答案：27cm） 第 6 页：探究三：相似三角形的面积比与相似比的关系 推导过程： 设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，分别作△ABC、△A'B'C' 的高 AD、A'D'（D 在 BC 上，D' 在 B'C' 上） 由 AA 判定，△ABD∽△A'B'D'（∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'=90°），故\(\frac{AD}{A'D'}=k\) △ABC 的面积\(S_{ABC}=\frac{1}{2}·BC·AD\)，△A'B'C' 的面积\(S_{A'B'C'}=\frac{1}{2}·B'C'·A'D'\) 则\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}·BC·AD}{\frac{1}{2}·B'C'·A'D'}=\frac{BC}{B'C'}·\frac{AD}{A'D'}=k·k=k²\) 性质总结： 性质 4：相似三角形的面积比等于相似比的平方 实例验证： 若△ABC 的面积为 8cm²，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=2，则△A'B'C' 的面积 = 8×2²=32cm² 易错提醒： 面积比是相似比的 “平方”，而非相似比本身（如相似比为 1:3，面积比为 1:9，而非 1:3） 第 7 页：相似三角形性质的综合梳理 性质列表（以△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k 为例）： 性质类型 具体内容 数学表达式 对应角 对应角相等 ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 对应边 对应边成比例 \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\) 周长 周长比 = 相似比 \(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\) 面积 面积比 = 相似比的平方 \(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=k²\) 与全等三角形的对比（全等三角形是相似比 k=1 的特殊情况）： 全等三角形：对应角相等、对应边相等、周长相等、面积相等 相似三角形：对应角相等、对应边成比例、周长比 = k、面积比 = k² 第 8 页：性质应用（基础例题） 例 1：角度与边长计算 已知△ABC∽△DEF，∠A=60°，∠B=70°，AB=4cm，DE=8cm，BC=5cm，求∠D、∠E 的度数及 EF 的长度。 解析： 对应角相等：∠D=∠A=60°，∠E=∠B=70° 相似比 k=\(\frac{AB}{DE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) 对应边成比例：\(\frac{BC}{EF}=k=\frac{1}{2}\)，故 EF=BC×2=5×2=10cm 例 2：周长与面积计算 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=2:3，△ABC 的周长为 20cm，面积为 16cm²，求△A'B'C' 的周长与面积。 解析： 周长比 = k，故△A'B'C' 的周长 = 20×\(\frac{3}{2}\)=30cm 面积比 = k²，故△A'B'C' 的面积 = 16×(\(\frac{3}{2}\))²=16×\(\frac{9}{4}\)=36cm² 第 9 页：性质应用（综合例题） 例 3：复杂图形中的面积计算 如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，且\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，△ADE 的面积为 4cm²，求△ABC 的面积。 解析： 由 DE∥BC，得△ADE∽△ABC（AA） 相似比 k=\(\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\) 面积比 = k²=\(\frac{1}{9}\)，设△ABC 的面积为 S，则\(\frac{4}{S}=\frac{1}{9}\)，解得 S=36cm² 例 4：实际应用 —— 相似三角形模型 如图，小明用自制的相似三角形模型测量树高，已知模型的高为 10cm，底边长为 15cm，测得模型与树的水平距离为 20m，树的影子顶端与模型影子顶端的水平距离为 5m，求树的高度。 解析： 模型与树相似（AA，太阳光为平行光线，夹角相等） 相似比 k=\(\frac{模å��åº�è¾¹é�¿}{æ �ç��å½±é�¿}=\frac{0.15}{5}=0.03\)（单位统一：15cm=0.15m） 树高 = 模型高 ÷k=0.1÷0.03≈3.33m（或用对应边成比例：\(\frac{模å��é«�}{æ �é«�}=\frac{模å��å½±é�¿}{æ �å½±é�¿}\)，解得树高 = \(\frac{0.1Ã�5}{0.15}\)≈3.33m） 第 10 页：巩固练习 选择题： （1）已知△ABC∽△DEF，相似比为 1:2，若△ABC 的面积为 3，则△DEF 的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 （2）两个相似三角形的周长比为 3:4，则它们的面积比为（ ） A. 3:4 B. 9:16 C. \(\sqrt{3}:\sqrt{4}\) D. 6:8 填空题： （1）△ABC∽△A'B'C'，∠A=50°，∠B=60°，则∠C'=____； （2）若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，BC=4，则 EF=，相似比 k=。 解答题： 如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是两三角形的高，若 AB=4，A'B'=6，AD=3，求 A'D' 的长度及两三角形的面积比。 第 11 页：课堂小结 知识梳理： 相似三角形的核心性质：对应角相等、对应边成比例、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方 关键关系：相似比是连接边、周长、面积的桥梁，面积比需注意 “平方” 关系 思想方法： 转化思想：将复杂图形中的面积、周长问题转化为相似比的计算 类比思想：对比全等三角形与相似三角形的性质，理解 “特殊与一般” 的关系 易错点回顾： 混淆 “周长比” 与 “面积比”，忘记面积比是相似比的平方 在复杂图形中，未明确相似三角形的对应关系，导致比例计算错误 第 12 页：布置作业 基础作业：教材对应习题，完成 3 道角度 / 边长计算题和 2 道周长 / 面积计算题 提升作业： （1）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AD=6，E 是 AD 上一点，AE=2，连接 BE 并延长交 AC 于 F，若△AEF 的面积为 1，求△ABC 的面积； （2）已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE=2:3，△ABC 的周长与△DEF 的周长之差为 10cm，求两个三角形的周长。 实践作业：用硬纸板制作两个相似三角形（相似比 k=1:2），测量并计算它们的周长比与面积比，验证相似三角形的性质 2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 27.2.2 相似三角形的性质 第二十七章 相似 a i T u j m i a N g 复习引入 1. 相似三角形的判定方法有哪些？ ◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. ◑平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似. ◑三边成比例的两个三角形相似. ◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ◑两角分别相等的两个三角形相似. ◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似. 情景导入 2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素? 如果两个三角形相似，那 么，对应的这些要素 有什么关系呢？ 高 中线 角平分线 周长 面积 情景导入 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 相似三角形对应线段的比 A B C A' B' C' 合作探究 探究新知 ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B'． 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°． ∴△ABD∽△A'B'D'． A' B' C' D' ∴ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比． C A B D 探究新知 仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比. 试一试： 探究新知 类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳： 探究新知 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH. ∴ (相似三角形对应 角平分线的比等于相似比). ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C 典例精析 探究新知 1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 ______ . 2. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3 : 4，若 BC 边上 的高 AD = 12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______. 2 : 3 2 : 3 16 cm 练一练 探究新知 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 想一想： 如果 △ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'. 从而 归纳： 相似三角形周长的比等于相似比. 探究新知 相似三角形面积的比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的面积比是多少？ 合作探究 A B C A' B' C' 探究新知 由前面的结论，我们有 D' D A B C A' B' C' 分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′. 故 探究新知 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 归纳： 探究新知 1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 相似比 2 … k 周长比 … 面积比 10000 … 试一试： 2 4 100 100 k k2 2. 把一个三角形变成和它相似的三角形： (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍. 25 10 考试考法 3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm. (1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长 分别是______________； (2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________. 100 cm、40 cm 50 cm2、8 cm2 考试考法 解：在△ABC 和△DEF 中， ∵ AB = 2DE，AC = 2DF， 又 ∵∠D =∠A， A B C D E F ∴ 例 2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A =∠D. 若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求△DEF 的边 EF 上的高和面积. ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 1∶2. 考试考法 ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 A B C D E F 考试考法 如果两个相似三角形的面积之比为 2∶7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_____. 练一练 考试考法 例 3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求 四边形 BCDE 的面积. 　 ∴△ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解：∵∠BAC =∠DAE，且 ， 考试考法 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2. ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). B C A D E 考试考法 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 练一练 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE∽△ABC． ∴ 即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 考试考法 又∵ EF∥AB， A B C D F E ∴ △EFC∽△ABC ，相似比为 ∴ 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 考试考法 1. 判断对错： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍． ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍． ( ) √ × 考试考法 D 返回 1． 考试考法 25 返回 A 2． 已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为2：3，则它们的周长比为(　　) 考试考法 26 B 返回 3． 如果两个相似三角形的对应高线的长度之比为a：b，对应的角平分线的长度之比为b：a，那么(　　) A．a>b B．a＝b C．a<b D．a，b的大小无法比较 考试考法 27 4． [2024沈阳期末]如图是学生用具三角尺ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，其中△DEF∽△ABC，AB长为12 cm，DF长为3 cm，则这个三角尺中△DEF与△ABC的面积比为(　　) 考试考法 28 【点拨】 【答案】B 返回 考试考法 5． 考试考法 30 【点拨】 返回 考试考法 6． 5 考试考法 32 【点拨】 考试考法 返回 考试考法 7． 如图，△CAD∽△CBA，AC：BC＝1：2，D为BC边上的一点．若△ACD的面积为3，则△ABD的面积为(　　) A．6 B．8 C．9 D．12 考试考法 35 【点拨】 【答案】C 返回 考试考法 8． 如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于(　　) 考试考法 37 【点拨】 考试考法 【答案】B 返回 考试考法 9． [2024石家庄桥西区模拟]如图，在△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5，已知直尺宽为3，则△ABC中BC边上的高为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 考试考法 40 【点拨】 【答案】D 返回 考试考法 10． 5 (答案不唯一) 在△ABC中，AC＝6，P是AB上一点，Q是AC上一点，直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，且△APQ和△ABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么AB边的长度可以是________． 考试考法 42 相似三角形的性质 相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形性质的运用 相似三角形的周长的比等于相似比 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，△ABC与△A″B″C″的相似比为，则△A′B′C′与△A″B″C″的相似比为(　　) A． B． C． D． A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： A．1： B．1：4 C．1：2 D．1：3 ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴在Rt△ABC中，AC＝AB＝×12＝6(cm)． ∴DF：AC＝3：6＝1：2. ∵△DEF∽△ABC，∴S△DEF：S△ABC＝1：4. [2024乐山]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝________． ∵AD∥BC， ∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离． ∴＝＝. ∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB.∴＝＝＝. 如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形．如果△DEF，△GHI是该网格中与 △ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大，△GHI的面积S2最小，那么的值等于________． 由图可知AB＝，BC＝2，AC＝. 如图所示，作出△DEF，△GHI， ∴DE＝，DF＝，FE＝5. ∴＝＝＝.∴△DEF∽△BAC. ∴＝＝. 同理可得GH＝1，HI＝，GI＝， 且△HGI∽△BAC，∴＝＝. ∴S△HGI：S△BAC：S△DEF＝1：2：5.∴＝5. ∵△CAD∽△CBA，AC：BC＝1：2， ∴＝＝.∵△ACD的面积为3， ∴△ABC的面积为12.∴△ABD的面积为9. A．2 B．3 C．4 D． 设A′B′交BC于点E，A′C′交BC于点F. 由题意得，S△ABC＝16，S△A′EF＝9， 易得S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8. ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′， ∴A′E∥AB.∴△DA′E∽△DAB. ∴＝，即＝＝， 解得A′D＝3或A′D＝－(不符合题意，舍去)．故选B. 过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F，则AF⊥DE. ∵点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5， ∴BC＝16－8＝8，DE＝14.5－10.5＝4. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝. ∵直尺宽为3，∴FH＝3.∴＝.∴AH＝6. ∴△ABC中BC边上的高为6. $