2025-2026学年北师大版数学九年级上册第一次月考模拟试卷（A）卷

2025年秋季学期第一次月考模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：特殊平行四边形、一元二次方程 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．下列方程中属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 3．在一个不透明的口袋中装有2个白球和3个红球，它们除颜色外其他完全相同，随机摸出两个球的颜色一样的概率为（　　） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 5．如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 6．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．关于x的方程的根的情况，正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个正根和一个负根 D．没有实数根 8．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 10．学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 12．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为 ． 14．如图，在四边形中，，要使四边形为矩形，还需补充的条件可以是： （写1个即可）． 15．某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示： 种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 … 发芽种子个数 94 188 281 349 435 531 625 719 812 902 … 发芽种子频率（结果保留两位小数） 0.94 0.94 0.94 0.87 0.87 0.89 0.89 0.90 0.90 0.90 … 根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有 颗． 16．如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 18．如图所示，平行四边形的对角线和相交于点，平分； (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 19．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2， （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值． 20．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 21．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 22．如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 23．高州盛产岭南三大水果—香蕉、龙眼、荔枝，有“水果之乡”之美誉，更是被称作“全国水果第一县”．作为“水果之乡”，高州盛产的荔枝，品种多种多样，有妃子笑、白糖罂、桂味、黒叶等等．高州某中学开展了对荔枝品种妃子笑、白糖罂、桂味、黒叶喜爱的调查，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题： (1)该次调查了多少名学生？ (2)求出喜爱白糖罂的学生人数，并补全条形统计图； (3)若从调查喜爱荔枝品种的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生去参加荔枝知识竞赛，求恰好抽到2名男生的概率． 24．(12分)阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 25．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次月考模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：特殊平行四边形、一元二次方程 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．下列方程中属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 3．在一个不透明的口袋中装有2个白球和3个红球，它们除颜色外其他完全相同，随机摸出两个球的颜色一样的概率为（　　） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 5．如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 6．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．关于x的方程的根的情况，正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个正根和一个负根 D．没有实数根 8．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 10．学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 12．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为 ． 14．如图，在四边形中，，要使四边形为矩形，还需补充的条件可以是： （写1个即可）． 15．某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示： 种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 … 发芽种子个数 94 188 281 349 435 531 625 719 812 902 … 发芽种子频率（结果保留两位小数） 0.94 0.94 0.94 0.87 0.87 0.89 0.89 0.90 0.90 0.90 … 根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有 颗． 16．如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 18．(10分)如图所示，平行四边形的对角线和相交于点，平分； (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 19．(10分)关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2， （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值． 20．(10分)某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 21．(10分)用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 22．(12分)如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1) 求证：； (2)连接，若，求的长． 23．(12分)高州盛产岭南三大水果—香蕉、龙眼、荔枝，有“水果之乡”之美誉，更是被称作“全国水果第一县”．作为“水果之乡”，高州盛产的荔枝，品种多种多样，有妃子笑、白糖罂、桂味、黒叶等等．高州某中学开展了对荔枝品种妃子笑、白糖罂、桂味、黒叶喜爱的调查，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题： (1)该次调查了多少名学生？ (2)求出喜爱白糖罂的学生人数，并补全条形统计图； (3)若从调查喜爱荔枝品种的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生去参加荔枝知识竞赛，求恰好抽到2名男生的概率． B ， ， ，B ， ， ，B ， ， ，B B B， B， B， 24．(12分)阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 25．(12分)已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次月考模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：特殊平行四边形、一元二次方程 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．下列方程中属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握一元二次方程的定义并能熟练运用求解． 根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再进行判断即可． 【详解】解：是一元一次方程，故A不符合题意； 是一元二次方程，故B符合题意； 含有两个未知数，它不是一元二次方程，故C不符合题意； 含有字母的项的最高次数是三次，它不是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：B． 2．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 3．在一个不透明的口袋中装有2个白球和3个红球，它们除颜色外其他完全相同，随机摸出两个球的颜色一样的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．列举出所有情况，看摸出两球颜色相同的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：列表得： 红 红 红 白 白 白 （红，白） （红，白） （红，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （红，白） （白，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） ∵一共有种情况，摸出两球颜色相同的有8种情况， ∴摸出两球颜色相同的概率是， 故答案为：C． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，命题真假的判定，熟练掌握和运用各特殊四边形的判定方法是解决本题的关键． 根据特殊平行四边形的判定定理即可一一判定． 【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题； B.一组对边平行，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故该命题错误，是假命题； C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题； D.对角线相等的菱形是正方形，故该命题正确，是真命题； 故选：D． 5．如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 6．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”这一知识点，据此即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴． 故选：C 7．关于x的方程的根的情况，正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个正根和一个负根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟记根的判别式． 先写出各项系数，再求出判别式，根据符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， 所以关于x的方程没有实数根， 故选：D． 8．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 9．已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 10．学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年共植树400棵，第三年共植树676棵”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即x的值为． 故选：B． 11．如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质与直角坐标系中坐标的求解，解题的关键是求解出正方形的边长． 由面积可求解出正方形的边长，由此可求解坐标． 【详解】解：正方形的面积为25， ∴， 解得， 即正方形的边长为5， ∵正方形的两边与坐标轴的正半轴重合， ∴点C的坐标为． 故选：C ． 12．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感．如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染了个人，第二轮传染了个人，根据题意列方程即可． 【详解】解：每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染了个人，第二轮传染了个人， 由题意可知， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，要使四边形为矩形，还需补充的条件可以是： （写1个即可）． 【答案】∠BAD=90°(或AC=BD) 【分析】根据矩形的判定定理可解，常用的方法有三种： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析判断． 【详解】解：因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD， 所以四边形ABCD是平行四边形， 要判断平行四边形ABCD是矩形， 根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等． 故填：∠BAD=90°(或AC=BD)． 15．某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示： 种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 … 发芽种子个数 94 188 281 349 435 531 625 719 812 902 … 发芽种子频率（结果保留两位小数） 0.94 0.94 0.94 0.87 0.87 0.89 0.89 0.90 0.90 0.90 … 根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有 颗． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即概率．由表格可知发芽种子频率的稳定值为，所以发芽种子概率，不发芽种子概率，即可求解． 【详解】解：由题可知：发芽种子概率， 所以不发芽种子概率， 故这种植物种子不发芽的有颗． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，E，F分别是的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：5 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 18．(10分)如图所示，平行四边形的对角线和相交于点，平分； (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】这道题考查平行四边形和菱形的性质与判定，角平分线的定义，勾股定理以及求菱形的面积，判定四边形是菱形是解题关键． （1）由平行四边形和平分倒角得到，则，即可证明平行四边形是菱形； （2）由菱形的性质可以得到，由可得到，即可得到，由勾股定理求出，根据菱形的性质即可求出、，即可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解法1：四边形是菱形，， ，， 平分， ， 中，， ，， ，， 平行四边形的面积， 解法2：四边形是菱形，， ，，， 为等边三角形， ， ， 中， ，， ， 菱形的面积． 19．(10分)关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2， （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值． 【答案】（1）k＜；（2）k＝0 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2 ∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0 ∴k＜ ； （2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k  ，x1•x2＝k2 ∵x1+x2+x1x2﹣1＝0 ∴1﹣2k+k2﹣1＝0 ∴k＝0或2 ∵由（1）得，k＜ ∴k＝2舍去 ∴k＝0． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根的判别式和根与系数的关系等知识点，熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解题的关键． 20．(10分)某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 21．(10分)用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)米 (2)能；15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 22．(12分)如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． （2）解：由（1）得， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 23．(12分)高州盛产岭南三大水果—香蕉、龙眼、荔枝，有“水果之乡”之美誉，更是被称作“全国水果第一县”．作为“水果之乡”，高州盛产的荔枝，品种多种多样，有妃子笑、白糖罂、桂味、黒叶等等．高州某中学开展了对荔枝品种妃子笑、白糖罂、桂味、黒叶喜爱的调查，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题： (1)该次调查了多少名学生？ (2)求出喜爱白糖罂的学生人数，并补全条形统计图； (3)若从调查喜爱荔枝品种的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生去参加荔枝知识竞赛，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)50名 (2)10名；图见解析 (3) 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的相关计算以及画树状图或列表法求概率的应用． （1）根据黑叶的人数为5人，占总数的，求出结果即可； （2）先求出喜爱白糖罂的人数，然后补全条形统计图即可； （3）先列出表格，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：该次调查的学生总人数为：（名）； （2）解：喜爱白糖罂的人数：（名）， 补全条形统计图，如图所示： （3）解：把三个男生分别记为，，，女生记为B，列表： B ， ， ，B ， ， ，B ， ， ，B B B， B， B， 共有12种情况，刚好抽到两个都是男生的有6种， ∴． 24．(12分)阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，一元二次方程根的判别式，熟练运用换元法解方程是解题的关键． （1）设，把方程化为，求出，再代入，求出的值； （2）设，把方程转为，求出，再代入，求出的值； （3），将原方程化为关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，； （2）解： 整理得， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：， ∴原方程的解为：，，． （3）解：， 令， 则， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，此时，舍， 故答案为：． 25．(12分)已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次月考模拟试卷（A）卷 九年级 数学 1、 单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C D A C D C C B C D 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13． 14．∠BAD=90°(或AC=BD)． 15．． 16．5 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分) 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，；(5分) （2）解：， ， ∴或， 解得：，．(10分) 18．(10分) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形；(5分) （2）四边形是菱形，， ，， 平分， ， 中，， ，， ，， 平行四边形的面积，(10分) 19．(10分) 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2 ∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0 ∴k＜ ；(5分) （2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k  ，x1•x2＝k2 ∵x1+x2+x1x2﹣1＝0 ∴1﹣2k+k2﹣1＝0 ∴k＝0或2 ∵由（1）得，k＜ ∴k＝2舍去 ∴k＝0．(10分) 20．(10分) 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为；(5分) （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元．(10分) 21．(10分) 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米；(4分) （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15．(10分) 22．(12分) 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴．(6分) （2）解：由（1）得， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，．(12分) 23．(12分) 【详解】（1）解：该次调查的学生总人数为：（名）；(2分) （2）解：喜爱白糖罂的人数：（名）， 补全条形统计图，如图所示： (6分) （3）解：把三个男生分别记为，，，女生记为B，列表： B ， ， ，B ， ， ，B ， ， ，B B B， B， B， 共有12种情况，刚好抽到两个都是男生的有6种， ∴．(12分) 24．(12分) 【详解】（1）解：， 设，则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，；(4分) （2）解： 整理得， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：， ∴原方程的解为：，，．(8分) （3）解：， 令， 则， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，此时，舍， 故答案为：．(12分) 25．(12分) 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，；(4分) （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ；(8分) （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是．（12分) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $