函数的概念、定义域、解析式及值域 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质：函数的概念、函数的定义域、函数的解析式、函数的值域讲义 函数的概念与性质：函数的概念、函数的定义域、函数的解析式、函数的值域讲义 考点目录 函数的概念 函数的定义域 函数的解析式 分段函数 函数的图像 函数的值域 相等函数 考点一 函数的概念 【知识点解析】 1.函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 其中，叫做自变量，的范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 2.函数的定义重点解读 (1) 函数三要素：定义域、值域、对应法则. (2) 对应关系：建立定义域与值域之间的链接关系，可以理解为一个加工工具，输入自变量，经过对应关系的加工，输出因变量，从而实现从定义域到值域的一一对应.对应关系可以用解析式、图像、表格等表示. (3) 初中阶段利用解析式表示一般表示为解析式，高中一般表示为解析式，括号中的既可以是数，也可以是代数式.比如初中常见的函数，高中可以写成，此时. (4) 函数是一个从定义域到值域的对应关系，每一个自变量有位移的函数值与之对应，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系不一定是函数关系. (5) 一一对应：若从集合到集合能构成函数，则集合中元素的应用关系可以是一对一、多对一，但不能是一对多（一个对应一个，但一个不一定对应一个）.并且集合不能有剩余的元素，而集合中可以有多余元素. 3.抽象函数与复合函数 (1) 抽象函数：没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. (2) 复合函数：若函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，称函数为和在上的复合函数，其中叫做中间变量，叫做内层函数，叫做外层函数.比如，函数，内层函数，外层函数. 【例题分析】 考向一 函数关系的判断 1．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】根据函数的概念，对于任意的都有唯一的与之对应，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 考向二 函数求值 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. 2.（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【详解】令，则， 得． 故选：A． 考向三 抽象函数与复合函数 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】由得， 令，则，得； 令，则，得； 令，则，得. 故选：A. 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】令，则， 令，，则． 故选：C 考点二 函数的定义域 【知识点解析】 1.已知解析式求定义域 当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： (1)分式的分母不为； (2)偶次根式的被开方数为非负数； (3)要求； (4)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合； (5)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 2.抽象函数的定义域 (1)对于、这两个函数中，的和的的取值范围相同； (2)已知的定义域为，求的定义域，其实质是由，求出的取值范围； (3)已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围； (4) 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围，再由的取值范围为，得到，求出的取值范围. 3.定义域必须写成集合或区间的形式. 【例题分析】 考向一 已知解析式求定义域 1．（25-26高三上·天津·开学考试）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】要使原函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，，即， 解得. 故函数的定义域是. 故答案为： 3．（24-25高一下·北京房山·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 4．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】要使得函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 考向二 抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 故答案为： 2．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 3．（24-25高一上·湖北荆门·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 即，可得， 所以的定义域为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，得，所以的定义域为， 故答案为：. 6．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 考向三 定义域的含参问题 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 故答案为： 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 4．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得对任意恒成立， 所以， 解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 考点三 函数的解析式 【知识点解析】 1.待定系数法求函数解析式 (1)常见函数的解析式 一次函数解析式： 二次函数解析式： 反比例函数解析式： (2) 如果已知函数的类型，可采用待定系数法，设出函数解析式，根据已知条件代入联立方程组求解参数。 2.换元法求函数解析式 换元法，已知，求 ，令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求解析式； 3.配凑法求函数解析式 配凑法，已知，求，从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意的取值范围的限定． 4.解方程组法求函数解析式 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于与的方程组，消去解出即可．常见的有与，与． 【例题分析】 考点一 待定系数法求函数解析式 1．（25-26高三上·陕西渭南·开学考试）已知是一次函数且，则的解析式 . 【答案】 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 【答案】 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山西·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为是二次函数，可设， 所以， 所以，解得，所以， 又，所以，解得， 所以. （2）由，得， 整理得，则， 又，所以， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 考点二 换元法求函数解析式 1．（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，则， 故， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知，则 ． 【答案】 【详解】令，则，故，故 故答案为： 4．（24-25高一上·贵州安顺·期末）若，则 . 【答案】 【详解】令，则，所以， 得到， 故答案为：. 考点三 配凑法求函数解析式 1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B 考点四 解方程组法求函数解析式 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 3．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. （2）因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 考点四 分段函数 【知识点解析】 1.分段函数的定义：对于自变量的不同的取值范围有不同的对应关系的函数. 2.注意事项：对于分段函数 (1)定义域：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)值域：分段函数的值域是各段函数值域的并集. (3)对分段函数求值时，需注意分类讨论. 3.几类常见的分段函数 (1)取整函数：（代表不大于的最大整数），如，. (2)含绝对值符号的函数：. (3)狄利克雷函数：. (4)自定义函数 【例题分析】 考点一 已知自变量求函数值 1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】，所以， 故选：D. 2．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，. 故选：B 3．（24-25高一下·湖南娄底·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】. 故选：C. 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据题意，. 故选：B 考点二 分段函数中的含参问题 1．（25-26高三上·山东菏泽·阶段练习）已知，若，，则 【答案】或 【详解】当时，. 若，则，解得. 若，则，解得或（舍去）. 故答案为：或. 2．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数，，则 . 【答案】 【详解】由题意得： 则有， 故答案为：. 4．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 考点五 函数的图像 【知识点解析】 1.描点法画函数的图像 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量的值，再计算出与之相对应的函数值，并用表格的形式表示出来. (2)描点：把表格中的点在平面直角坐标系中描出来. (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 2.函数图像的平移变换 (1) 函数图像向左平移个单位得函数的图像. (2) 函数图像向右平移个单位得函数的图像. (3) 函数图像向上平移个单位得函数的图像. (4) 函数图像向下平移个单位得函数的图像. 比如：函数可以看成函数先向右平移1个单位，再向上平移2个单位. 3.函数图像的对称变换 (1) 函数图像关于对称得函数的图像. (2) 函数图像关于对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. 4.函数图像的翻折变换 (1) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (2) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 【例题分析】 考点一 分段函数的图像 1．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【详解】（1），. （2）函数的图像为： （3）当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 当时，由可得，解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数 (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象；    (2)求不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时： 0 1 2 2 3 2 -1 当： 2 5            图像如下：    （2）令则 当时，，           所以，解得，           所以；           当时，，           解得，所以；           综上，或        所以的解集为. 4．（24-25高一上·江西景德镇·期中）已知函数 (1)求，； (2)作出函数在区间内的图象. 【答案】(1)， (2)图象见解析 【详解】（1）. ， 又，. （2）函数在区间内的图象如下： 考点二 实际问题的图像 1．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东·期中）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会， 所以小海同学离起点的位移s先增大，后不变，可排除B， 之后小海同学不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a），听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进， 所以之后s随t的增大先减小，再增大，故排除AC． 故选：D． 3．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 4．（24-25高一上·江苏苏州·期中）如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 考点三 图像的平移、对称与翻折 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【详解】函数的图象向右平移1个单位得到， 再将得图象向上平移1个单位得到. 故选：B. 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】， 故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到. 故选：A 3．（24-25高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】    因为，可得函数的大致图像如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像. 故选：C 考点六 函数的值域 【知识点解析】 ※求函数的值域必须先明确函数的对应法则和定义域. 1.单调性法求值域： (1)一次函数 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. (2)二次函数 当，函数开口向上，函数在 上单调递减，函数在 上单调递增； 当，函数开口向下，函数在 上单调递增，函数在 上单调递减. (3)反比例函数 当时，函数在上单调递减，在 上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在 上单调递增. 2.配方法求值域：转化为二次函数，利用二次函数求值；常转化为型如：的形式； 3.换元法求值域：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 4.分离常数法求值域：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了； ① ，再利用的范围求解 ② ③ ④ ，再利用的范围求解 5.判别式法求值域 令 ，即可求出的范围。 6.基本不等式法求值域：根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。 【例题分析】 考向一 单调性法求值域 1．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 【答案】 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 4．（24-25高一上·重庆万州·期中）求下列函数的值域. (1)，. (2)，. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以的值域为 （2）二次函数的开口向下，对称轴为， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 所以的值域为. 考向二 换元法求值域 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 【答案】 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 2．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的值域是 . 【答案】 【详解】易知函数的值域为， 再根据反比例函数性质可得的值域即为. 故答案为： 3．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数，则的值域是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 令，则且， 令，，则， 所以，当且仅当时取等号，即， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】令，则且， 故，所以当时，. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）解：设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 考向三 分离常数法求值域 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 而，则， 所以函数的值域是. 故答案为： 3．（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】, 由于，故， 故值域为， 故答案为： 4．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【详解】因为， 又，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】，因为， 所以，当时等号成立，所以． 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数的值域为． 故答案为：． 考向四 判别式法求值 1．（24-25高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 考向五 基本不等式法求值域 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. 考点七 相等函数 【知识点解析】 1.相等函数的定义：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一函数. 2.注意事项 (1) 判断函数是否相等，应先判断定义域是否相同，再判断对应法则是否相同. (2) 未判定函数定义域是否相同的情况下，不能对解析式进行化简，因为化简解析式可能会对定义域造成影响. 比如 的定义域为，上下同除之后，函数的定义域为. (3) 函数是否相等跟自变量与因变量用什么字母表示没关系，只关注定义域与对应关系. 比如函数与定义域均为，对应关系均为函数值为自变量的平方，所以这两个是相同函数. 【例题分析】 1．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习·多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习·多选）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对； 对于C选项，函数、的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对； 对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，有，解得或，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错. 故选：BC. 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末·多选）下列各组函数中，表示同一函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，，两个函数对应关系和定义域均相同，故A正确； 对于B选项，两个函数对应法则不同，B错误； 对于C选项，定义域为R，定义域为，两个函数定义域不同，C错误； 对于D选项，，两个函数对应关系和定义域均相同，所以D正确． 故选：AD 4．（24-25高一上·陕西西安·期中·多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 课后提升训练 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知函数，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】函数，则. 故选：C 2．（25-26高一上·河南·开学考试）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将抛物线向上平移3个单位长度,所得到的抛物线为，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：A． 3．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 4．（24-25高二下·云南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 5．（24-25高二下·云南·期末）设函数，则（   ） A．10 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【详解】. 故选：A 6．（24-25高一上·四川广安·开学考试）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 7．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习·多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 8．（25-26高一上·山东德州·开学考试·多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 9．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习·多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A：因为，令，解得， 所以，故A正确； 对于B：因为，所以能够取到所有的正数， 所以，即的值域为，故B正确； 对于C：定义域为， 又， 因为且，所以且， 所以且， 所以的值域为，故C错误； 对于D：因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即的值域为，故D正确. 故选：ABD 10．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为 . 【答案】 【详解】当时，，∴； 当时，，∴，∴. 故答案为：. 11．（24-25高一上·四川广安·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 【答案】 【详解】由函数的定义域是， 则对，有，解得， 故的定义域是. 故答案为：. 12．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）已知函数，在给出的坐标系中画出函数的图象，并求的值；    （2）已知，求的函数解析式； 【答案】（1）答案见解析，；（2） 【详解】（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征即可画出分段函数的图象，如图所示：    因为，所以，所以. （2）解法一（换元法）：令，则， 代入原式有， 所以. 解法二（配凑法）：， 因为， 所以 14．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 15．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）由题意得， 所以函数的定义域为． （2），显然． 故函数的值域为． 16．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象过点和点. (1)求实数a，b的值； (2)写出的定义域，并求的值域. 【答案】(1)， (2)定义域为，值域为 【详解】（1）由，得，，， 上两式联立，解得，. （2）由（1）知，故，得， 所以的定义域为； 法一：由得， 令，则， 当时，，； 当时，，则关于的方程必有实根且为正实数根， 则，，所以， 所以的值域为. 法二：，时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以的值域为. 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的概念与性质：函数的概念、函数的定义域、函数的解析式、函数的值域讲义 函数的概念与性质：函数的概念、函数的定义域、函数的解析式、函数的值域讲义 考点目录 函数的概念 函数的定义域 函数的解析式 分段函数 函数的图像 函数的值域 相等函数 考点一 函数的概念 【知识点解析】 1.函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 其中，叫做自变量，的范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 2.函数的定义重点解读 (1) 函数三要素：定义域、值域、对应法则. (2) 对应关系：建立定义域与值域之间的链接关系，可以理解为一个加工工具，输入自变量，经过对应关系的加工，输出因变量，从而实现从定义域到值域的一一对应.对应关系可以用解析式、图像、表格等表示. (3) 初中阶段利用解析式表示一般表示为解析式，高中一般表示为解析式，括号中的既可以是数，也可以是代数式.比如初中常见的函数，高中可以写成，此时. (4) 函数是一个从定义域到值域的对应关系，每一个自变量有位移的函数值与之对应，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系不一定是函数关系. (5) 一一对应：若从集合到集合能构成函数，则集合中元素的应用关系可以是一对一、多对一，但不能是一对多（一个对应一个，但一个不一定对应一个）.并且集合不能有剩余的元素，而集合中可以有多余元素. 3.抽象函数与复合函数 (1) 抽象函数：没有给出具体解析式的函数称为抽象函数. (2) 复合函数：若函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，称函数为和在上的复合函数，其中叫做中间变量，叫做内层函数，叫做外层函数.比如，函数，内层函数，外层函数. 【例题分析】 考向一 函数关系的判断 1．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图所示各图中反映了变量是的函数是（   ） A．  B．  C．   D．   2．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A．B．C． D． 考向二 函数求值 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 考向三 抽象函数与复合函数 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-2 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 考点二 函数的定义域 【知识点解析】 1.已知解析式求定义域 当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： (1)分式的分母不为； (2)偶次根式的被开方数为非负数； (3)要求； (4)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合； (5)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 2.抽象函数的定义域 (1)对于、这两个函数中，的和的的取值范围相同； (2)已知的定义域为，求的定义域，其实质是由，求出的取值范围； (3)已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围； (4) 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围，再由的取值范围为，得到，求出的取值范围. 3.定义域必须写成集合或区间的形式. 【例题分析】 考向一 已知解析式求定义域 1．（25-26高三上·天津·开学考试）函数的定义域是 ． 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的定义域是 ． 3．（24-25高一下·北京房山·期末）函数的定义域为 ． 4．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）函数的定义域是 . 考向二 抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 2．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 3．（24-25高一上·湖北荆门·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 4．（24-25高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则的定义域为 . 5．（25-26高二上·云南·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 6．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 考向三 定义域的含参问题 1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 考点三 函数的解析式 【知识点解析】 1.待定系数法求函数解析式 (1)常见函数的解析式 一次函数解析式： 二次函数解析式： 反比例函数解析式： (2) 如果已知函数的类型，可采用待定系数法，设出函数解析式，根据已知条件代入联立方程组求解参数。 2.换元法求函数解析式 换元法，已知，求 ，令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求解析式； 3.配凑法求函数解析式 配凑法，已知，求，从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意的取值范围的限定． 4.解方程组法求函数解析式 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于与的方程组，消去解出即可．常见的有与，与． 【例题分析】 考点一 待定系数法求函数解析式 1．（25-26高三上·陕西渭南·开学考试）已知是一次函数且，则的解析式 . 2．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 . 3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 4．（24-25高一上·山西·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式. 考点二 换元法求函数解析式 1．（24-25高一上·广西玉林·期中）若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知，则 ． 4．（24-25高一上·贵州安顺·期末）若，则 . 考点三 配凑法求函数解析式 1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点四 解方程组法求函数解析式 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 2．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 3．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 考点四 分段函数 【知识点解析】 1.分段函数的定义：对于自变量的不同的取值范围有不同的对应关系的函数. 2.注意事项：对于分段函数 (1)定义域：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)值域：分段函数的值域是各段函数值域的并集. (3)对分段函数求值时，需注意分类讨论. 3.几类常见的分段函数 (1)取整函数：（代表不大于的最大整数），如，. (2)含绝对值符号的函数：. (3)狄利克雷函数：. (4)自定义函数 【例题分析】 考点一 已知自变量求函数值 1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 2．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南娄底·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二 分段函数中的含参问题 1．（25-26高三上·山东菏泽·阶段练习）已知，若，，则 2．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数若，则 . 3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数，，则 . 4．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 考点五 函数的图像 【知识点解析】 1.描点法画函数的图像 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量的值，再计算出与之相对应的函数值，并用表格的形式表示出来. (2)描点：把表格中的点在平面直角坐标系中描出来. (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来. 2.函数图像的平移变换 (1) 函数图像向左平移个单位得函数的图像. (2) 函数图像向右平移个单位得函数的图像. (3) 函数图像向上平移个单位得函数的图像. (4) 函数图像向下平移个单位得函数的图像. 比如：函数可以看成函数先向右平移1个单位，再向上平移2个单位. 3.函数图像的对称变换 (1) 函数图像关于对称得函数的图像. (2) 函数图像关于对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. 4.函数图像的翻折变换 (1) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (2) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 【例题分析】 考点一 分段函数的图像 1．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 2．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数 (1)求； (2)画出函数的图像； (3)若，求的取值范围． 3．（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数 (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象；    (2)求不等式的解集. 4．（24-25高一上·江西景德镇·期中）已知函数 (1)求，； (2)作出函数在区间内的图象. 考点二 实际问题的图像 1．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东·期中）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·期中）如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 考点三 图像的平移、对称与翻折 1．（23-24高一上·江西南昌·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 3．（24-25高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   考点六 函数的值域 【知识点解析】 ※求函数的值域必须先明确函数的对应法则和定义域. 1.单调性法求值域： (1)一次函数 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. (2)二次函数 当，函数开口向上，函数在 上单调递减，函数在 上单调递增； 当，函数开口向下，函数在 上单调递增，函数在 上单调递减. (3)反比例函数 当时，函数在上单调递减，在 上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在 上单调递增. 2.配方法求值域：转化为二次函数，利用二次函数求值；常转化为型如：的形式； 3.换元法求值域：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 4.分离常数法求值域：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了； ① ，再利用的范围求解 ② ③ ④ ，再利用的范围求解 5.判别式法求值域 令 ，即可求出的范围。 6.基本不等式法求值域：根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。 【例题分析】 考向一 单调性法求值域 1．（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）函数的值域 ． 3．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 4．（24-25高一上·重庆万州·期中）求下列函数的值域. (1)，. (2)，. 考向二 换元法求值域 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 2．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的值域是 . 3．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数，则的值域是 ． 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）函数的最小值为 . 6．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 考向三 分离常数法求值域 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的值域是 ． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 3．（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ． 4．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 5．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ． 6．（24-25高一上·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 考向四 判别式法求值 1．（24-25高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）求函数的最大值、最小值. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 考向五 基本不等式法求值域 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 2．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若函数，则函数的值域为 ． 考点七 相等函数 【知识点解析】 1.相等函数的定义：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一函数. 2.注意事项 (1) 判断函数是否相等，应先判断定义域是否相同，再判断对应法则是否相同. (2) 未判定函数定义域是否相同的情况下，不能对解析式进行化简，因为化简解析式可能会对定义域造成影响. 比如 的定义域为，上下同除之后，函数的定义域为. (3) 函数是否相等跟自变量与因变量用什么字母表示没关系，只关注定义域与对应关系. 比如函数与定义域均为，对应关系均为函数值为自变量的平方，所以这两个是相同函数. 【例题分析】 1．（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习·多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习·多选）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末·多选）下列各组函数中，表示同一函数的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西西安·期中·多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 课后提升训练 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知函数，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高一上·河南·开学考试）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南·期末）设函数，则（   ） A．10 B．7 C．5 D．3 6．（24-25高一上·四川广安·开学考试）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习·多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 8．（25-26高一上·山东德州·开学考试·多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    9．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习·多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 10．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为 . 11．（24-25高一上·四川广安·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是 ． 12．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数，则的值域为 . 13．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）已知函数，在给出的坐标系中画出函数的图象，并求的值；    （2）已知，求的函数解析式； 14．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 15．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）求函数的值域． 16．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象过点和点. (1)求实数a，b的值； (2)写出的定义域，并求的值域. 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $