直线的方程专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线方程专项训练 直线方程专项训练 考点目录 直线的倾斜角与斜率 直线的平行与垂直问题、三点共线问题 直线的五种方程 直线的交点问题 直线的定点问题 距离问题 对称问题 考点一 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】B 【详解】选项A：当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故A错误； 选项B：与轴垂直的直线倾斜角为，与轴垂直的直线倾斜角为，所以选项B正确； 选项C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为的直线的斜率不存在，所以选项C错误； 选项D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，故D错误． 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 5．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】经过两点直线的方向向量为，则的斜率为， 对于A：，不合题意，A选项错误； 对于B：，符合题意，B选项正确； 对于C：，符合题意，C选项正确； 对于D：，不合题意，D选项错误； 故选：BC. 6．（24-25高二上·河南开封·期末·多选）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC 7．（24-25高三上·河北承德·期中·多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC 8．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习·多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD. 9．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】． 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）直线倾斜角为，且过点，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知，则，由直线过点P，则得． 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 考点二 直线的平行与垂直问题、三点共线问题 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 2．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 4．（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 5．（25-26高三上·江西·阶段练习·多选）在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若三点共线，则 【答案】ACD 【详解】对于：当时，， ，，且与不重合可知，故正确； 对于：， 因为，所以， 可得，故错误； 对于：当时，，，，， 于是，， 故，故正确； 对于：由三点共线可知， 而，， 所以， 即， 可得， 即，故正确. 故选：ACD. 6．（24-25高二下·江西上饶·期中·多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 7．（24-25高二上·甘肃·期末·多选）已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【详解】解：当直线平行时， 则有，解得或，经检验此时两直线平行， 所以直线平行的充要条件为或， 由充分不必要条件的定义可知A，C满足题意. 故选：AC． 8．（24-25高二上·陕西榆林·期末·多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ）． A．1 B．3 C．0 D．4 【答案】AB 【详解】因，且，则的斜率必存在， 故，即， 化简得，解得或． 故选：AB． 9．（25-26高二上·新疆·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】2或0 【详解】由于直线与直线垂直， 故，解得或0． 故答案为：2或0． 10．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是 ． 【答案】 【详解】由题意可得直线的方向向量为，直线的方向向量为， 且，可得，则得， 所以可得. 故答案为：. 11．（23-24高二上·山西运城·期中）直线与直线互相平行，则a的值为 . 【答案】 【详解】因为直线的斜率为， 且直线与直线互相平行，则，即得. 当时，直线与直线平行符合题意. 故答案为：. 12．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 【答案】 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 考点三 直线的五种方程 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（    ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【答案】A 【详解】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：. 故选：A. 4．（24-25高二上·四川巴中·期末）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点， 所以所求直线方程为，整理得. 故选：C 5．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习·多选）设直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线在轴上的截距为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】ABD 【详解】由直线的斜截式方程，得直线的斜率为，在轴上的截距为2，故AB正确． 在方程中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故C错误． 设直线与轴、轴的交点分别为，则，， 直线与坐标轴围成的三角形为． 因为，，所以，故D正确． 故选：ABD． 6．（24-25高二上·山东泰安·期末·多选）下列结论正确的是（   ） A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 【答案】BD 【详解】对于A选项，当时，过、两点的直线方程不能用表示，A错； 对于B选项，设点关于直线的对称点为， 由题意可知，直线与直线垂直，且线段的中点在直线上， 所以，，解得， 所以，点关于直线的对称点为，B对； 对于C选项，若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 当直线过原点时，设直线的方程为，可得，解得， 此时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 所以，，解得，此时，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或，C错； 对于D选项，直线的斜率为，其倾斜角为，D对. 故选：BD. 7．（24-25高二下·广西·开学考试·多选）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．为直线的一个方向向量 D．直线关于轴对称的直线的方程为 【答案】ABD 【详解】因为直线的倾斜角为，所以，解得，故A正确． 直线在两坐标轴上的截距均为2，故B正确． 由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误． 直线过点，因为点（2，0）关于轴对称的点的坐标为， 所以直线经过点，故直线关于轴对称的直线的方程为，故D正确． 故选：ABD. 8．（24-25高二上·青海海南·期中·多选）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】当直线l过原点时，直线l的方程为，即； 当直线l不过原点时，设直线l的方程为， 则，解得， 则直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程可能是或. 故选：BD. 9．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 【答案】 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 10．（2025·陕西汉中·三模）若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 而直线过点，所以直线方程为， 即：. 故答案为：. 11．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为，所以直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 故答案为：. 13．（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）（1）已知的三个顶点分别为，求： ①边上的中线所在直线的方程； ②边上的高所在直线的方程． （2）已知直线经过点，若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1）①；②；（2）或. 【详解】（1）①解法1：线段的中点， 由两点式得所在直线方程为，即. 解法2：线段的中点， 直线的斜率， 所以所在直线方程为，即． ②直线的斜率，， 所以边上的高所在直线方程为，即. （2）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则，解得，所以直线方程为； 当截距互为相反数且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，，则直线方程为． 所以直线方程为或. 14．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）已知的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为，所以的中点为， 故直线的方程为，整理得， 所以边上的中线所在直线的方程为：． （2）①当直线与平行时， 因为，故直线为，即； ②当直线经过中点时，中点为， 故直线的方程为，整理得， 所以直线的方程为：或． 15．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线所在直线的一个方向向量为， 故的平分线所在直线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 16．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 考点四 直线的交点问题 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 2．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C 5．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）过与的交点，且垂直于向量的直线方程为 . 【答案】 【详解】由可得，故交点为，因为直线垂直于向量， 故，即， 故答案为：. 6．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ； 【答案】 【详解】由方程组，解得，  即交点为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 . 【答案】 【详解】联立，解得， 因此，直线与直线的交点坐标为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 故答案为： 考点五 直线的定点问题 1．（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点 ． 【答案】 【详解】由可得， 所以直线过直线的交点， 故，解得， 故定点为. 故答案为： 2．（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 【答案】 【详解】化直线方程为：，即定点坐标为． 故答案为：. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知直线，则直线恒过定点 ． 【答案】 【详解】由可得， 故，解得， 故定点为， 故答案为： 4．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）直线：恒过定点 . 【答案】 【详解】由， 可得： 令，解得：， 故答案为： 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为， 所以， 解得， 故的值为； （2）因为， 所以， 所以， 解得， 所以直线恒过定点； （3）因为， 所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以， 解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 6．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 7．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得，即， 因为过点，所以，即． （2）因为，所以直线过定点， 所以. 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)； 【详解】（1）因为直线， 即， 所以直线恒过定点. （2）由题知，直线方程为， 设直线关于直线对称的直线为，如图， 联立，解得， 即直线过， 在直线上取，设其关于的对称点为， 则，解得， 即直线过， 所以直线方程为， 即直线方程为. （3）由题知，， 则， 且，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为， 即， 综上，的最小值为， 且此时直线的方程为. 考点六 距离问题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）点到直线的距离为 【答案】/ 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 3．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期末）已知直线与直线的距离为，则 . 【答案】或 【详解】直线可化为，直线， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)能， 【详解】（1）直线的斜率为， 当时，，倾斜角， 当时，，倾斜角， 当时，直线方程为，倾斜角； （2）当时，设，由，有， 化简得， 由，即，化简得， 分情况讨论： ①：，解得， 代入条件1，解得，，满足； ②：，解得，不符合， 将，代入，成立， 故点符合要求，即能找到，且坐标为. 6．（24-25高二上·广东湛江·期末）设，直线，直线． (1)若直线与的距离为，求的值． (2)若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的值． 【答案】(1)或； (2)4. 【详解】（1）当时，直线与直线平行， 则，解得或， 所以或. （2）依题意，，直线交轴于，交轴于， 则，所以. 7．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线过点为坐标原点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为3，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为点，所以直线的斜率为． 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为． 又直线过点，则直线的点斜式方程为， 整理得． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时原点到直线的距离为，满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 根据题意及点到直线的距离公式，得，所以． 两边平方，化简得，解得． 此时直线的方程为，整理得． 综上，直线的方程为或． 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 【答案】(1) (2)，. 【详解】（1）联立方程 ,解得 所以两直线，的交点为. 设，则的中点为. 联立方程，解得 所以. （2）因为， 所以点到经过点的直线距离的最大值为. 由题意，与垂直，则，故的斜率为. 所以直线的方程为，即 所以当距离最大时，直线的方程为. 10．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知为实数，设直线，. (1)若，求的值及与的交点坐标； (2)若，求与的距离. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为直线，，， 当时，直线，，不符合题意 当时，直线斜率为，直线斜率为， 由可得： 即，解得； 则， 联立方程组，解得， 则与的交点坐标为. （2）因为直线，，， 由（1）知：时，不符合题意; 当时，由可得：，即， 解得或， 当时，两直线方程均为，不合题意， 当时，方程为，即， 方程为，即， 故与的距离为. 考点七 对称问题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知，C是关于直线的对称点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为C是关于直线的对称点， 故，解得，即， 又，，故， 故选：C 4．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由图可判断在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为， 则有，解得. 所以直线的方程为，直线与的交点即为， 由平面几何知识可知此时最小. 故选：B. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    6．（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 7．（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点， 的中点为， 故，解得，即， 依题意即为点到军营最短的距离， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 8．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为 ． 【答案】 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故答案为：. 9．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 10．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由解得，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线方程专项训练 直线方程专项训练 考点目录 直线的倾斜角与斜率 直线的平行与垂直问题、三点共线问题 直线的五种方程 直线的交点问题 直线的定点问题 距离问题 对称问题 考点一 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（    ）. A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南开封·期末·多选）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北承德·期中·多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 8．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习·多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 . 10．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 11．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）直线倾斜角为，且过点，则 ． 12．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 考点二 直线的平行与垂直问题、三点共线问题 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 2．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 4．（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 5．（25-26高三上·江西·阶段练习·多选）在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若三点共线，则 6．（24-25高二下·江西上饶·期中·多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 7．（24-25高二上·甘肃·期末·多选）已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 8．（24-25高二上·陕西榆林·期末·多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ）． A．1 B．3 C．0 D．4 9．（25-26高二上·新疆·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 10．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是 ． 11．（23-24高二上·山西运城·期中）直线与直线互相平行，则a的值为 . 12．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 考点三 直线的五种方程 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（    ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 4．（24-25高二上·四川巴中·期末）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习·多选）设直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线在轴上的截距为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6．（24-25高二上·山东泰安·期末·多选）下列结论正确的是（   ） A．过、两点的直线方程为 B．点关于直线的对称点为 C．若直线过，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为 D．直线的倾斜角为 7．（24-25高二下·广西·开学考试·多选）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．为直线的一个方向向量 D．直线关于轴对称的直线的方程为 8．（24-25高二上·青海海南·期中·多选）直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 10．（2025·陕西汉中·三模）若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 11．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 12．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 13．（25-26高二上·广西玉林·阶段练习）（1）已知的三个顶点分别为，求： ①边上的中线所在直线的方程； ②边上的高所在直线的方程． （2）已知直线经过点，若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程. 14．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）已知的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 15．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 16．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 考点四 直线的交点问题 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）过与的交点，且垂直于向量的直线方程为 . 6．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ； 7．（24-25高二上·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 . 8．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 考点五 直线的定点问题 1．（24-25高二上·上海·期末）直线恒过定点 ． 2．（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是 ． 3．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知直线，则直线恒过定点 ． 4．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）直线：恒过定点 . 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 6．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 7．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 考点六 距离问题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）点到直线的距离为 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 3．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 4．（24-25高二上·上海·期末）已知直线与直线的距离为，则 . 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知三条直线. (1)用实数表示直线的倾斜角； (2)当时，能否找到第一象限中的一点满足以下条件：点到的距离是点到的距离的2倍，且点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由. 6．（24-25高二上·广东湛江·期末）设，直线，直线． (1)若直线与的距离为，求的值． (2)若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的值． 7．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线过点为坐标原点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为3，求直线的方程． 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 10．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知为实数，设直线，. (1)若，求的值及与的交点坐标； (2)若，求与的距离. 考点七 对称问题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知，C是关于直线的对称点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 6．（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 7．（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 8．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为 ． 9．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 10．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $