第一次月考模拟试卷（B）卷【一期四考备考模拟卷】2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2025年秋季学期第一次月考模拟试卷（B）卷 八年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：勾股定理、实数【北师大版2024】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．几千年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际． 以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下图是著名的“赵爽弦图”出现在我国古代重要的数学专著中，这本专著是（    ） A．《大学》 B．《几何原本》 C．《周髀算经》 D．《论语》 4．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（   ）． A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20 6．下列说法中，正确的是（   ） A．数轴上的点都表示有理数 B．用根号表示的数不一定都是无理数 C．的立方根是± D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数 7．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 10．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 12．实数a、b在数轴上的位置如图，则等于（   ）． A． B．2a C． D． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 14．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 15．已知实数，满足，则代数式的值为 ． 16．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……以此类推，a2021的值是 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（10分）计算 (1) (2) 19．（10分）（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根． （2）已知、满足，求的立方根． 20．（10分）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 21．（10分）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______，______； (2)若，，．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 22．（12分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 23．（12分）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式， 第2式， 第3式， 第4式． (1)根据规律填空：第5式 ； (2)若，求的值； (3)类比上述规律，根据平方差公式化简： ； 24．（12分）综合与实践 为了切实推动劳动课程的有序开展，某学校计划精心打造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： ●生态园仅有一面靠墙（墙长为），其余三边均由篱笆围成； ●平行于墙的边长必须小于墙的长度； ●平行于墙的边长要大于垂直于墙的边长． 对此，兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为；智慧小组给出的设计方案是：长与宽之比为． 请通过计算判断哪种设计方案符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 25．（12分）【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次月考模拟试卷（B）卷 八年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：勾股定理、实数【北师大版2024】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．几千年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际． 以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下图是著名的“赵爽弦图”出现在我国古代重要的数学专著中，这本专著是（    ） A．《大学》 B．《几何原本》 C．《周髀算经》 D．《论语》 4．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（   ）． A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20 6．下列说法中，正确的是（   ） A．数轴上的点都表示有理数 B．用根号表示的数不一定都是无理数 C．的立方根是± D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数 7．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 10．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 12．实数a、b在数轴上的位置如图，则等于（   ）． A． B．2a C． D． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 14．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 15．已知实数，满足，则代数式的值为 ． 16．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……以此类推，a2021的值是 ． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（10分）计算 (1) (2) 19．（10分）（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根． （2）已知、满足，求的立方根． 20．（10分）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 21．（10分）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______，______； (2)若，，．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 22．（12分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 23．（12分）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式， 第2式， 第3式， 第4式． (1)根据规律填空：第5式 ； (2)若，求的值； (3)类比上述规律，根据平方差公式化简： ； 24．（12分）综合与实践 为了切实推动劳动课程的有序开展，某学校计划精心打造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： ●生态园仅有一面靠墙（墙长为），其余三边均由篱笆围成； ●平行于墙的边长必须小于墙的长度； ●平行于墙的边长要大于垂直于墙的边长． 对此，兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为；智慧小组给出的设计方案是：长与宽之比为． 请通过计算判断哪种设计方案符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 25．（12分）【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次月考模拟试卷（B）卷 八年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：勾股定理、实数【北师大版2024】 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．以下列长度的线段不能围成直角三角形的是（   ）． A．5，12，13 B．，， C．2，3，4 D．，3，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理逆定理逐一计算即可． 【详解】A.，故A选项能围成直角三角形； B.，故B选项能围成直角三角形； C.，故C选项不能围成直角三角形； D.，故D选项能围成直角三角形； 故选：C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式除法、加减法、二次根式化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式加法、减法、二次根式性质、除法运算法则解题即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选：D． 3．几千年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际． 以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下图是著名的“赵爽弦图”出现在我国古代重要的数学专著中，这本专著是（    ） A．《大学》 B．《几何原本》 C．《周髀算经》 D．《论语》 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，数学文化，根据数学文化知识即可求解，正确理解知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：著名的“赵爽弦图”出现在我国古代重要的数学专著中，这本专著是《周髀算经》， 故选：． 4．下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟悉掌握二次根式的化简是解题的关键． 根据最简二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：，不是最简，故A错误； B：为最简二次根式，故B正确； C：，不是最简，故C错误； D：，不是最简，故D错误； 故选：B． 5．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（   ）． A．斜边长为25 B．三角形的周长为25 C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出斜边长，再分别求其周长、面积，利用等面积法求斜边的高，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长是，故A不正确； 周长是，故B不正确； 设斜边的高为h，则， 解得，故C正确； 面积是，故D不正确． 故说法正确的是C选项． 故选：C． 6．下列说法中，正确的是（   ） A．数轴上的点都表示有理数 B．用根号表示的数不一定都是无理数 C．的立方根是± D．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，平方根，数轴上的点与实数，无理数等，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据数轴上的点的特征，无理数的概念，立方根的概念，平方根的概念一一判断即可． 【详解】解：A．数轴上的点都表示实数，故选项错误； B．带根号的数不一定都是无理数，如 是有理数，故选项正确； C． 的立方根是，故选项错误； D．任何实数的平方根不一定都有两个，如0的平方根是0，只有一个，故选项错误； 故选：B． 7．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 8．如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 由，是平分线，是边上的高与中线，得，再根据，联立方程求解即可. 【详解】解：∵，是平分线， ∴是边上的高与中线， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 10．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 11．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 12．实数a、b在数轴上的位置如图，则等于（   ）． A． B．2a C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简以及实数与数轴，解题的关键是根据数轴判断出、的正负以及、的正负． 先根据数轴得出且，进而判断出和的正负，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：由数轴可知，， ， ． 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 根据勾股定理求出“捷径”长，进而用原路程减去“捷径”长即可． 【详解】解：“捷径”长（米）， 他们仅仅少走了（米）， 故答案为：． 14．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设米，则有米，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意可设米，则有米， ∵米， ∴，即， 解得：， ∴米； 故答案为：2． 15．已知实数，满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，求代数式的值， 根据求出x，y，再代入待求式求出结果 【详解】解：∵ ∴ 解得 所以代数式 故答案为：1 16．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……以此类推，a2021的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出这列数的前几项，从而得出这个数列以-2，，依次循环，从而得出答案． 【详解】解：∵ ， ， ， …… ∴这个数列以-2，，依次循环， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键. 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根解方程，涉及零指数幂、负整数指数幂、算术平方根、立方根，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再加减运算即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ∴， ∴． 18．（10分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化简为同类二次根式再进行混合运算． （1）先化简根号下的式子，再进行二次根式的加减运算即可得出答案； （2）先用完全平方、平方差公式展开，再进行二次根式的混合运算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（10分）（1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根． （2）已知、满足，求的立方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方根和立方根的概念确定a和b的值，然后代入求解； （2）根据算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，然后代入求解． 【详解】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； （2）∵，且，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为． 【点睛】本题考查平方根和立方根，理解算术平方根和绝对值的非负性，掌握平方根和立方根的概念是解题关键． 20．（10分）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【答案】(1)3 (2)蜘蛛爬行的最短路径为 (3)竹签的最大长度为 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据求一个数的立方根即可得到答案； （2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可； （3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可； 【详解】（1）解： ∵ ∴正方体的变成为3， 故答案为：3； （2）解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线． 在中， ， ∴蜘蛛爬行的最短路成为 （3）解：在中， ， 在中， ，， 所以竹签的最大长度为 21．（10分）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______，______； (2)若，，．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)2，0， (2)，理由见解析 【分析】此题考查了新定义问题，同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是根据题意列出等式． （1）根据代入数运算即可； （2）首先得到，，，然后根据题意列出等式求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴根据题意得，，，； （2）解：． 理由：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 22．（12分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 23．（12分）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式， 第2式， 第3式， 第4式． (1)根据规律填空：第5式 ； (2)若，求的值； (3)类比上述规律，根据平方差公式化简： ； 【答案】(1) (2)80 (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）根据题干，利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）先进行分母有理化，再进行加减运算即可； （3）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）； 故答案为：； （2） 解得： ； （3）； 故答案为： 24．（12分）综合与实践 为了切实推动劳动课程的有序开展，某学校计划精心打造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： ●生态园仅有一面靠墙（墙长为），其余三边均由篱笆围成； ●平行于墙的边长必须小于墙的长度； ●平行于墙的边长要大于垂直于墙的边长． 对此，兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为；智慧小组给出的设计方案是：长与宽之比为． 请通过计算判断哪种设计方案符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 【答案】智慧小组的设计方案符合要求，篱笆的总长度为 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用算术平方根的定义解方程等，理解题意，准确列出方程是解题的关键． 分别设出长方形长和宽，利用面积公式列出方程，再利用算术平方根求解，然后比较大小作出判断即可． 【详解】解：设兴趣小组方案中生态园的长为，宽为 根据题意得 由边长的实际意义，得 ∴长方形的长为，宽为 ∵， ∴ ∴ ∴兴趣小组的设计方案不符合要求 设智慧小组方案中生态园的长为，宽为 根据题意得 由边长的实际意义，得 ∴长方形的长为，宽为 ∵ ∴ ∵ ∴智慧小组的设计方案符合要求 ∴平行于墙的边长为 ，垂直于墙的边长为 ． 所需篱笆的长度为： 答：所需篱笆的长度为． 25．（12分）【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6； （2）所用的篱笆至少为36米 （3）最小值为 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】解：（1）由题意，设， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即时取等号． 四边形面积的最小值为25． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年秋季学期第一次月考模拟试卷(B)卷 八年级 数学 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1 3 4 5 6 8 9 10 11 12 B B B D B ⊙ B A 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13.6 14.2 15.1 16号 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17.(10分) 【详解】解：(1)原式(0-1+2+2=3：(5分) 27 (2)x+13= 8 *1=号 x=2(10分) 18.(10分) 【详解】(1)解：2V12-6 2 +3只V48 43-23+123 i143:(5分) (2)解：2-V22-3V2-2332+2V3 元4-42+2-18-12 i6-42-6 i-42.(10分) 19.(10分) 【详解】解：(1)，一个正数的两个不同的平方根是2a-4与-3-a,b的立方根是-2， 试卷第1页，共3页 六2a-4+-3-a=0'b=-23 解得a=7,b=-8, .-2b-a=-2×-8-7=9, .-2b-a的平方根为±3；(5分) (2),2a+24+b-V2=0,且V2a+24≥0，b-2≥0， .2a+24=0,b-2=0, 解得a=-12,b=2, .a+2b2=-12+2×22=-8, a+2b2的立方根为-2.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：，33=27 ∴正方体的变成为3， 故答案为：3；(3分) (2)解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线 B 在Rt△ABC中， AC=6cm,BC=3cm AB=VAC2+BC2=V62+32=3V5cm ∴，蜘蛛爬行的最短路成为3V5cm(6分) (3)解：在Rt△ACD中， 试卷第2页，共3页 B D AC=3cm,CD=3cm AD=VAC2+CD2=V32+32=32cm 在Rt△ABD中， AD=32cm,BD=3cm, AD=VAD2+BD2=V(32)+32=33cm 所以竹签的最大长度为3V3cm(10分) 21.(10分) 【详解】(1)42=16,5°=1,62=1 6 六根据题意0,4161=2,151=0,6 =-2:(5分) (2)解：2a+b=c 理由：3,4=a,3,6=b,(3,96=c, .3=4,3=6,3=96, .32×3=3, .2a+b=c.(10分) 22.(12分) 【详解】D解：棕形ABCD的面积为a+ba+b=d+b+号， 也可以表示为b+2b+c2, 2 2 zab+zab+zc-Jd+ab+1b. 1 ,1212 2 2 2 2 即a2+b2=c2;(6分) 试卷第3页，共3页 (2)解：在Rt△ABD中，AD=AB2-BD=132-x2=169-x2 在Rt△ADC中，AD=AC2-DC2=152-14-x2=29+28x-x2, 所以169-x2=29+28x-x2, 解得x=5, .AD2=AC2-DC2=132-52=144, .AD=12.(12分) 23.(12分) 【详解】(1)6-V5;(2分) (2) 号2*13+2写4+*…+n+1+m2-1+3-2+4-5+43n+1-9沉 1 1 1 1 iVn+1-1=8 解得：n=80;(7分) 1 Vn+1+Vn (3)n+1-nn+1-nn+1+n =√n+1+Vn: 故答案为：Vn+1+n(12分) 24.(12分) 【详解】解：设兴趣小组方案中生态园的长为4xm,宽为2xm 根据题意得4x·2x=48 8x2=48 x2=6 由边长的实际意义，得x=V6(2分) ∴.长方形的长为4/6m,宽为2V6m 6>2.3, .46>9.2 .46>9 ∴.兴趣小组的设计方案不符合要求（⑤分） 设智慧小组方案中生态园的长为3ym,宽为2ym 根据题意得3y·2y=48 6y2=48 y2=8 试卷第4页，共3页 由边长的实际意义，得y=√8 .长方形的长为38m,宽为2V8m(8分) V8<3 .38<9 28<3V8 ∴智慧小组的设计方案符合要求 .平行于墙的边长为3V8m,垂直于墙的边长为28m. 所需篱笆的长度为：38+2V8+28=7V8m 答：所需篱笆的长度为78m.(12分) 25.(12分) 【详解】解：(1)由题意，设a=x,b=9 9 9 .由a+b≥2Vab,得x+2≥2x·二=6， X X 9」 当且仅当x=子，即X=3时，代数式取到最小值，最小值为6. 故答案为：6；3.(4分) (2)由题意，设花圃的宽为x米，则长为 08米， X ·所用的篱笆3x+108 又令a=3x,b=108 X ∴.由a+b≥2ab, 3x+108 ≥23x.108 36. X X ∴当且仅当3X=08即x=6时。代数式取到级小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米.(8分) (3)由题意，设S△coB=m, ,'△COB与△COD底边上的高相等，△AOB与△AOD底边上的高相等， OB=SACOB=SAAOB OD SACOD S△AOD 试卷第5页，共3页 m=9 4SAAOD .SAAOD= 6 m “.Sg边形BcD=9+4+m+36=13+m+ 6 m m 36 a36 又.m+0≥2m×0 =12, m m .S四边形ABCD≥13+12=25， ·当m=36时，即m=6时取等号. m ∴.四边形ABCD面积的最小值为25.(12分) 试卷第6页，共3页