2.5 直线与圆的位置关系 阶段检测卷（三）2025-2026学年苏科版（2012）九年级数学上册

2.5直线与圆的位置关系阶段检测 考试范围：2.5；考试时间：60分钟；满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________成绩：___________ 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得并且则这个油桶的底面半径是（　　　） A． B． C． D． （1）（2）（4） 2．（本题3分）如图，是圆的直径，是延长线上一点，与相切于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知的半径为，点P在直线l上，且，直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 4．（本题3分）如图，已知直线，与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接、，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． （5） （6） 6．（本题3分）如图，四边形ABCD是菱形，圆O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共32分） 7．（本题4分）已知点，若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与x轴的位置关系为 ． 8．（本题4分）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线相切，设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当r1=1时，r2015= ． （8）（9）（10） 9．（本题4分）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为 度． 10．（本题4分）如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 11．（本题4分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为 ． （11） （13） 12．（本题4分）若直角三角形的两直角边为6cm、8cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 cm． 13．（本题4分）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠D=45°，AB=BC=2，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2=2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为 ． 14．（本题4分）已知的半径是3，，过点P的直线记为L，则圆心O到直线L的距离d的取值范围是 ． 三、解答题（共50分） 15．（本题8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是弧BCD上不与B，D重合的点，∠A=30°． （1）求∠BED的度数； （2）点F在AB的延长线上，且DF与⊙O相切于点D，求证：BF=AB．    16．（本题8分）如图，、是的切线，切于点，的周长为， 求：    （1）的长； （2）的度数． 17．（本题8分）如图, 是半圆的直径, 是半圆上的一点, 切半圆于点，于为点，与半圆交于点． (1)求证: 平分； (2)若,求圆的直径． 18．（本题8分）张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边上． （1）请你帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果，，，试用含a的代数式表示所作圆形工件的半径（答案保留根号） 19．（本题10分）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 20．（本题8分）已知△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°． （1）求作：⊙O，使⊙O经过A、C两点，且圆心落在AB边上； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D C A B 1．C 【分析】根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可． 【详解】如图所示： 设油桶所在的圆心为O，连接OA，OC， ∵AB、BC与⊙O相切于点A、C， ∴OA⊥AB，OC⊥BC， 又∵AB⊥BC，OA=OC， ∴四边形OABC是正方形， ∴OA=AB=BC=OC=0.8m， 故选：C． 【点睛】考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质． 2．C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 与圆相切于点， ， ， ， ， 故选：C． 3．D 【分析】直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离； 【详解】解：∵的半径为， ∴点到直线的距离： ∴直线与的位置关系是相切或相交； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系是解题的关键． 4．C 【分析】此题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．过点作于点，连接，根据一次函数求出点、的坐标，然后利用等面积即可求出的值，根据圆上距离直线最远的点为，即可求得面积的最大值． 【详解】解：过点作于点，连接， 令，则， 令，则，得， 点，点， ，，， 根据勾股定理可得：， 则由三角形面积公式得：， ， ， ， 圆的半径 圆上点到直线的最大距离是，即 ， 则面积的最大值为：， 故选：C． 5．A 【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解． 【详解】解：如图所示，连接，．    根据切线的性质定理，得； 根据勾股定理可得 要使最小，只需最小， 则根据垂线段最短，则作轴于，即为所求作的点； 此时点的坐标是． 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握切线的性质将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析是解题的关键． 6．B 【分析】根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论， 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°， ∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°， ∵四边形AECD是圆内接四边形， ∴∠AEB=∠D=78°， ∴∠EAC=∠AEB−∠ACE=27°， 故选B. 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握这些性质是解题的关键. 7．相离 【分析】先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴的位置关系． 【详解】解∶∵，以点为圆心，个单位长度为半径作圆， ∴点到轴的距离为， ∴与轴相离， 故答案为∶相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴的距离． 8．32014． 【详解】试题分析：过C1、C2、C3、…、Cn作直线的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图，根据切线的性质得C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，再确定直线与x轴的正半轴的夹角为30°，接着利用两圆相切的性质得到C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，然后根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OC1A1中得到OC1=2C1A1=2，在Rt△OC2A2中得到2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，在Rt△OC3A3中得到6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，再观察计算出来的半径得到半径都是3的正整数指数幂，且指数比序号数小1，于是得rn=3n﹣1． 试题解析：过C1、C2、C3、…、Cn作直线的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图， ∵a个半圆弧都与直线y=x相切， ∴C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn， ∵x=1时，y=x=， ∴直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°， ∵a个半圆弧依次相外切， ∴C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…， 在Rt△OC1A1中，OC1=2C1A1=2， 在Rt△OC2A2中，OC2=2C2A2，则2+1+r2=2r2，解得r2=3=31， 在Rt△OC3A3中，OC3=2C3A3，则6+3+r3=2r3，解得r3=9=32， 在Rt△OC4A4中，OC4=2C4A4，则18+9+r4=2r4，解得r4=27=33， 由此可得rn=3n﹣1． ∴r2015=32014． 考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征． 9．115 【详解】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣50°）=65°， ∴∠BOC=180°﹣65°=115°． 度答案是：115 10． 【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 、与分别相切于点、， ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心． 11．10 【分析】根据圆外一点引出圆的两条切线相等即可求得三角形的是PA的两倍． 【详解】因为P为圆外一点，PA和PB为圆的切线，所以， 同理，，， 所以， 所以， 所以 故答案为：10 【点睛】本题关键在于要了解圆外一点引出的圆的两条切线，这两条切线的长度相等 12．7 【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径计算出它的外接圆半径，利用内切圆的半径=（其中a、b为直角边，c为斜边）计算出它的内切圆半径． 【详解】解：直角三角形的斜边＝＝10（cm）， 所以此直角三角形的外接圆的半径＝＝5（cm）； 此直角三角形的内切圆的半径＝＝2（cm）， 所以其外接圆和内切圆半径之和为7cm． 故答案为7． 【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，三角形的外心，解题关键在于掌握运算公式. 13．π． 【分析】如图，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCF．首先证明∠AEB＝∠BFC＝135°，推出点E的运动轨迹是弧AB，圆心角∠AOB＝90°，利用弧长公式求出的长即可解决问题． 【详解】如图，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCF． 则△EBF是等腰直角三角形，EF=BE． ∵CE2﹣AE2=2BE2，AE=CF， ∴CE2=CF2+EF2， ∴∠EFC=90°． ∵∠EFB=45°， ∴∠AEB=∠BFC=135°， ∴点E的运动轨迹是弧AB，圆心角∠AOB=90°． ∵OA=OB，AB=2， ∴OA=OB=， ∴点E在运动过程中所形成的图形的长==π． 故答案为：π． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由题意得出点P在，得出过点P的直线L与的位置关系是相交或相切，即可得出d的取值范围，判断出直线与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】∵的半径是3，， ∴点P在上， ∴过点P的直线L与的位置关系是相交或相切， 当直线与圆相交并且过圆心时，此时圆心O到直线L的距离d为0， 当直线与圆相切时，此时圆心O到直线L的距离d为3， ∴圆心O到直线L的距离d的取值范围是， 故答案为：． 15．（1）60°；（2）见解析． 【分析】（1）如图，连接 利用圆的切线的性质，求解 利用圆周角定理可得答案； （2）由圆的性质求解可得 结合切线的性质证明为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接 为的切线，    （2） 为的切线， 为等边三角形， 【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 16．（1）；（2）． 【分析】（1）先根据切线长定理可得，再根据的周长即可得； （2）先根据三角形的外角性质、角的和差可得，再根据切线长定理得出，然后根据角的和差、三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）由切线长定理得： 的周长为12 ，即 解得； （2） 解得 是的切线 同理： ． 【点睛】本题考查了切线长定理、三角形的外角性质等知识点，熟记切线长定理是解题关键． 17．(1)见解析；(2)． 【分析】（1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则OC∥BD，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，从而得到∠2=∠3； （2）连结AE交OC于G，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再证明四边形CDEG为矩形得到GE=CD=8，然后利用勾股定理计算AB的长即可． 【详解】解：（1）证明：连结OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∵BD⊥DF， ∴OC∥BD， ∴∠1=∠3， ∵OB=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴BC平分∠ABD； （2）解：连结AE交OC于G，如图， ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∵OC∥BD， ∴OC⊥CD， ∴AG=EG， 易得四边形CDEG为矩形， ∴GE=CD=8， ∴AE=2EG=16， 在Rt△ABE中，AB==， 即圆的直径为. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理． 18．（1）见解析；（2） 【分析】（1）先作∠BAC的平分线交BC于点O，再过点O作OW垂直AC于点W，然后以O为圆心，OW长为半径作圆O，即可求解； （2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW，设 ，由，，可得 ， ，从而得到 ，即可求解． 【详解】解：（1）如图，半圆 即为所求； （2）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW， 设 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ∵， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，圆的基本性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 19．(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 20．(1)作图见解析；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：（1）作出线段AC的垂直平分线进而得出AC垂直平分线与线段AB的交点O，进而以AO为半径做圆即可. （2）连接CO，由圆周角定理和三角形内角和定理，利用已知得出∠OCB=90°，进而求出即可． 试题解析：解：（1）作图如答图1： （2）证明：如答图2，连接OC， ∵OA=OC，∠A=25°，∴∠BOC=50°. 又∵∠B=40，∴∠BOC+∠B=90°. ∴∠OCB=90°. ∴OC⊥BC. ∴BC是⊙O的切线． 考点：1.作图（复杂作图）；2. 线段垂直平分线的性质；3.圆周角定理；4.三角形内角和定理；5.切线的判定． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $