3.2.1 课时2 双曲线标准方程的应用 课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线标准方程的应用，通过知识回顾（双曲线定义、标准方程及a,b,c关系）搭建学习支架，衔接新知探究中的实际问题（炮弹爆炸点定位）与代数运算（直线与双曲线交点求解），帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以实际情境（炮弹爆炸点定位）和代数应用（直线与双曲线交点）为载体，结合数学眼光（发现距离差与双曲线的联系）、数学思维（联立方程推理运算）、数学语言（归纳应用步骤），通过问题探究、总结方法、当堂检测的流程，提升学生解决实际问题的能力，也为教师提供结构化教学实例，提高教学效率。

3.2.1 课时2 双曲线标准方程的应用 第3章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.利用双曲线的定义解决实际问题. 2.了解直线与双曲线的位置关系. 学习目标 作者编号：32200   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2=a2+b2 知识回顾 … … … 作者编号：32200 例1 已知A，B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到炮弹爆炸声比在B处迟2s，设声速为340m/s， (1)爆炸点在什么曲线上？ (2)求这条曲线的方程. 解：(1)设M为爆炸点，由题意得MA－MB＝340×2＝680， ∵爆炸点离A点比离B点距离更远， ∴爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上. 新知探究 … … … 作者编号：32200 (2)如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，设M(x，y)为曲线上任一点， 由MA－MB＝680得2a＝680，即a＝340， 由AB＝800得2c＝800，即c＝400， ∴b2＝c2－a2＝44400， ∵MA－MB＝680＞0，∴x＞0， 因此所求曲线的方程为(x＞0). 新知探究 … … … 作者编号：32200 思考1：若在A，B两地同时听到炮弹爆炸声，则炮弹爆炸点的轨迹是什么？ 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线． 思考2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置．而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢？ 作者编号：32200 思考2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置．而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢？ 再增设一个观测点C， 利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程， 解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用． 作者编号：32200 思考3：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上．） 分析：依题意画出图形(如图)． 直觉巨响点的位置情况． 只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来，那么解方程组就可以确定巨响点的位置． 要求曲线的方程，恰当的建立坐标系是一个关键． P B A C x y o 作者编号：32200 解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系． 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则A(－1020，0)，B(1020，0)，C(0，1020)， 设P(x，y)为巨响点， 由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|， 故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x， 因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1360， 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线的一支上， 依题意得a＝680，c＝1020， P B A C x y o 作者编号：32200 ∴b2＝c2－a2＝5×3402， ∴双曲线的方程为， 用y＝－x代入上式得x＝±680， ∵|PB|＞|PA|，∴x＝-680，y＝680， 即P(-680，680)， 故PO＝680， 答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处. P B A C x y o 作者编号：32200 归纳总结 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 作者编号：32200 例2 已知双曲线C：，直线l：x－2y＋2＝0，求直线l与双曲线C的公共点的坐标. 解：直线l：x－2y＋2＝0与双曲线C：的公共点的坐标就是方程组的解， 解这个方程组得，， 因此所求公共点的坐标为(-2，0)，(4，3). 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 求直线与双曲线的交点个数时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立，一解则一个公共点(要讨论二次项系数是否为零)，两解则两个公共点. 新知探究 … … … 作者编号：32200 根据今天所学，回顾下列知识点： 1.利用双曲线解决实际问题的步骤； 2.直线与双曲线的位置关系. 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若△ABF1的周长为20，则线段AB的长为______. 6 解析：由题意，得a2＝4，b2＝1，c2＝4＋1＝5， 则2a＝4，焦距2c＝2， 因为A，B都在右支上，则AF1＝AF2＋4，BF1＝BF2＋4， 所以△ABF1的周长为AB＋AF1＋BF1＝AB＋AF2＋BF2＋8＝2AB＋8＝20， 解得AB＝6. 当堂检测 … … … 作者编号：32200 2.如图，B地在A地的正东方向4 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是_____________. x2－＝1(x≥1) 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $