精品解析：湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高二上学期9月阶段性检测数学试卷

明德中学2025年下学期高二年级九月份阶段性检查 数学 2025.09 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 因此，. 故选：C. 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】, 对应的点为,在第四象限，故选D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 4. 在中，已知，D为BC中点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据边长和角先求出，根据D为BC中点，可知，两边同时平方，将数带入计算结果即可. 【详解】解：因为，所以， 因为D为BC中点，所以,两边同时平方可得： ， 所以. 故选:D 5. 若，且，则(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式化简，再利用构造齐次式，然后分子分母同时除即可化为关于的等式，进行求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 整理得，解得：或， 又，得. 故选：B. 6. 已知空间四面体中，两两垂直且，那么四面体的外接球的表面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到可将四面体补体为棱长为2的正方体，两者的外接球的球心重合，是同一球. 【详解】以两两垂直的线段分别作为正方体的三条棱，则此正方体的外接球球心和此四面体的外接球的球心是同一点，正方体的外接球的球心在体对角线的中点处，正方体的体对角线长为：，球的半径为故球的面积为： 故答案为A. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 7. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合对数，指数，根式的运算得到，再赋值逐一分析可得. 【详解】设，则. 当时，，此时A成立. 当时，，此时成立. 当时，，此时，D成立. (事实上，当时，显然；当时，显然，故B不可能成立.) 故选：B. 8. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，再分类讨论，与三种情况，利用的单调性即可得解. 【详解】由当且时，都有，得， 令，则且，成立， 因此函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 则的定义域为，且， 于是是偶函数，在上单调递减，， 当时，，不等式无解； 当时，不等式，解得； 当时，不等式，解得， 因此或，所以不等式的解集为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据给定的恒成立的不等式构造函数，再探讨其性质是求解的关键. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分） 9. 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ） A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数、极差、平均数、方差的性质判断即可； 【详解】解： 对于A，设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故A错误； 对于B，不妨设原样本数据最大为，最小为，则原样本数据中，样本数据的极差为， 新样本数据中，样本数据的极差为，故B正确． 对于D，原样本数据的样本平均数为， 新样本数据的样本平均数为，故D错误； 对于C，原样本数据的标准差为：， 新样本数据的标准差为：，故C正确； 故选：BC． 10. 已知的内角所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若，，，则有两个解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若，则角 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故A正确； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故B错误； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故D错误. 故选：AC. 11. 在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C. 当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的性得到，，由线面垂直的判定得面，再由面面垂直的判定，即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心，半径为，根据条件直接求出，即可求解；对于C，设，求出与，再利用线线角的向量法，即可求解；对于D，，根据条件，利用线线角的向量法，得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又面，面， 所以，又，面，所以， 连接，同理可证，又，面，所以面， 又面，所以平面平面，故选项A正确， 对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为， 则, 设四面体的外接球球心，半径为， 由，得到， 解得，则，则球的表面积为，所以选项B错误， 对于选项C，因为点在线段上，设， 因为，，，又， 设异面直线与所成的角为，则， 又，则，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，易知，设，则，又， 则， 整理得到，其轨迹为平面上，以为圆心，为半径的圆， 又是侧面内的动点， 所以点的轨迹长度为，所以选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用定比分点将化简，由平面向量共线定理计算可得结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 由与平行可得， 即，又不共线， 所以，解得. 故答案为：4 13. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以8为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出 【详解】因为是定义在R上的奇函数，故可得， 又为偶函数，所以有：， 所以有，即， 所以，故以8为周期， 故， 因为当时，，所以． 故答案为：1． 14. 在如图所示的长方形台球桌面示意图中，，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在三点所在的位置上，且三点共线．用球贴着桌面移动去击球（不能碰到球），使得球沿球运动的方向径直落入三个网中之一．若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球击中球前，球移动的最短路径的路程为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分三种情况，结合题意，连接点与网中其中之一，得到直线，根据反射得到点的运动路径，得到最小值. 【详解】因为用球贴着桌面移动去击球（不能碰到球）， 连接并延长交于点，直线，即， 令得，，故，则为的中点， 故的反射直线为，则， 将代入中，得，故， 令得，故，为的中点， 直线经过反射得到直线， 将代入中，得，故， 其中满足上， 故球的轨迹为，其中， ，， 故轨迹长度为， 连接并延长，交于点， 直线的方程为，即，令得， 故，根据反射得到反射直线，将代入得， ，解得，故直线， 令得，解得，故， 根据反射得到直线，将代入得， ，解得，故直线， 令得，解得，故， 根据反射得到直线，将代入得， ，解得，故直线， 令得，故， 由于，故令中的得， 故点A不在直线上， 故要想点A在直线上，也要经过多次反射，故路径会大于，不合要求，舍去； 连接并延长，交于点，则直线的方程为， 令得，故， 根据反射得到直线反射直线， 将代入上式得，，解得， 故直线，令得，解得，故， 根据反射得到反射直线，将代入得， ，解得，故， 令得，故， 根据反射得到反射直线，将代入得， 故， 由于，故令中的得， 故不在反射直线上， 故要想点A在直线上，也要经过多次反射，故路径会大于，不合要求，舍去； 综上，球移动的最短路径的路程为. 故答案为： 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 16. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】（1） 点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2） （3）点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 17. 2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障．当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作．随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求得，根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可求解； （2）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解之可得； 根据题意知， 【小问2详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 ，， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为， ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为． 18. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) （2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）. 【答案】（1），；（2）；（3）0.65. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由，进而结合基本不等式求出的最小值，此时取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，可知在上恒成立，利用参变分离，可得，求出的最大值，即可得出的值. 【详解】（1）由题意， 即； （2） 因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立， 所以 故政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为万元. （3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，则在上恒成立 不等式整理得， 令，则，则 令 任取，且 则 ， 即函数在上单调递增 可得 所以，即 所以当复工率达到0.65时，对任意的（万元），公司都不产生亏损. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19. 已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同； （3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围. 【答案】（1）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使故对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （2）及的定义域均为, 根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, 对于函数而言,, 所以, ,, 即,故,只有,所以函数的“平衡”数对为, 综上可得函数与的“平衡”数对相同. （3） 【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可. (2)根据题意可知,对于任意实数,,再列式利用恒成立问题求解即可. (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ,所以, ,所以, 由于,所以,故,, , 由于,所以时,, ,所以. 【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2025年下学期高二年级九月份阶段性检查 数学 2025.09 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，D为BC中点，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若，且，则(　　) A. B. C. D. 6. 已知空间四面体中，两两垂直且，那么四面体的外接球的表面积是 A. B. C. D. 7. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分） 9. 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ） A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同 10. 已知的内角所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若，，，则有两个解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若，则角 11. 在棱长为的正方体中，为的中点，是侧面内的动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C. 当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 在中，是边上靠近的一个三等分点，若与平行，则实数__________． 13. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则______． 14. 在如图所示的长方形台球桌面示意图中，，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在三点所在的位置上，且三点共线．用球贴着桌面移动去击球（不能碰到球），使得球沿球运动的方向径直落入三个网中之一．若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球击中球前，球移动的最短路径的路程为______． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 16. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 17. 2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障．当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作．随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 18. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) （2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）. 19. 已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同； （3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $