第一次月考复习冲刺（培优篇） 【精英班课程】同步培优讲义2025-2026学年九年级数学上学期（沪教版2024）

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（培优篇） 考点一、相似形与比例线段 1．下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 2．如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3.已知，则 ． 4.如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则 ． 5.已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 考点二、三角形一边的平行线 6.如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 8.如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 9.已知点G是ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则ABC的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 10.如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ． 考点三、相似三角形 11.如图，是正方形，E是的中点，P是边上的一动点，下列条件中，不能得到与相似的是（    ）    A． B．P是的中点 C． D． 12．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 13.如图，把绕点旋转到，当点D刚好落在上时，连结，设，相交于点，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 15.如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 16.如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 考点四、向量的线性运算 16.已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B．， C． D．， 17．在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 18．（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 19．如图，点E、F分别是平行四边形的边的中点，连接，如果，，那么向量关于的分解式为 ． 20.如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 考点五、锐角三角比 21．计算：． 22．计算： 23．计算：． 24.在中，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 25.已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 考点六、解直角三角形及应用 26.已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么 ． 27.在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ． 28.如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 29．如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 考点七、几何证明 30.已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 31.已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 32．如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且． (1)求证：； (2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长． 考点八、二次函数 33．已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 34.已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 35.在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 36.在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 37.如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值； (3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标． 考点九、几何综合题 38.如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 39.在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 40.如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 41.如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．    (1)当点Q在线段上时，求证：． (2)当时，求的面积． (3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（培优篇） 考点一、相似形与比例线段 1．下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【解析】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意； C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意； 故选：B． 2．如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设，（）， A. ，式子成立，故选项不符合题意； B. ，式子成立，故选项不符合题意； C. ，式子成立，故选项不符合题意； D. ，式子不成立，故选项符合题意； 故选：D． 3.已知，则 ． 【答案】或． 【分析】由，可得，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， ∴，则， 当时，， ∴，则， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键． 4.如图，线段，点C是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】先按照黄金分割比例依次计算出、、，然后按照规律即可得到． 【详解】解：设，， 点C是线段的黄金分割点， ， 即，整理得， 解得或（舍去）， ∴，， 是线段的黄金分割点， ，， 是线段的黄金分割点， ，， 、、， 以此类推，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出是解题关键． 5.已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长； （2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可． 【详解】（1）由题意可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， 整理，得：， 解得：（舍去负值）． 【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键． 考点二、三角形一边的平行线 6.如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵DGBC， ∴，故A选项错误； ∵DGBC， ∴，故B选项错误； ∵EHAB， ∴，故C选项正确； ∵EHAB， ∴，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质． 7．已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 8.如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，   点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 9.已知点G是ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则ABC的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】连接CG并延长交AB于E，如图，利用三角形重心性质得到CG＝2EG，则利用平行线分线段成比例得到，再根据三角形面积公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，则S△BCG＝3，接着求出S△BEG＝，从而得到S△BCE＝，然后利用CE为中线得到S△ABC． 【详解】解：连接CG并延长交AB于E，如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴CG＝2EG， ∵DG∥AB， ∴， ∴S△GDC＝2S△BDG＝2， ∴S△BCG＝1+2＝3， 而EG＝CG， ∴S△BEG＝S△BCG＝， ∴S△BCE＝+3＝， ∵CE为中线， ∴S△ABC＝2S△BCE＝2×＝9． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式． 10.如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E， 在和中 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式． 考点三、相似三角形 11.如图，是正方形，E是的中点，P是边上的一动点，下列条件中，不能得到与相似的是（    ）    A． B．P是的中点 C． D． 【答案】B 【分析】由四边形是正方形，可得，又由E是的中点，易得，然后分别利用相似三角形的判定定理，判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 即， A、∵，， ∴，故A符合题意； B、∵P是中点， ∴， 没办法判定与中各边成比例，故B符合题意； C、∵时，， ∴， 故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质．注意灵活应用判定定理是解题的关键． 12．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∴，故C符合题意，D不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故A不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故B不符合题意； 故选：C． 13.如图，把绕点旋转到，当点D刚好落在上时，连结，设，相交于点，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2=∠l，利用三角形内角和得到∠3=∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF=EF：FC，而∠AFD=∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE，所以∠3=∠5，于是可判断△ABD∽△AEC． 【详解】 ∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴△ABC≌△ADE，∠2=∠1， ∴∠3=∠4， ∴△AFE∽△DFC， ∴AF：DF=EF：FC， 又∵∠AFD=∠EFC， ∴△AFD∽△EFC， ∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE， ∴∠3=∠5， ∴△ABD∽△AEC， 综上，共有3对相似三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握知识点是解题关键． 14．（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 15.如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设交于点，由题意得， ，，，得出四边形是矩形，由得到，继而得到，即，计算即可求解． 【详解】解：设交于点，如图， 长方形的边在的边上，顶点分别在、上， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 16.如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 考点四、向量的线性运算 16.已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】C 【分析】此题考查了向量．根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可． 【详解】解：A. ，则与方向相同，故，选项不符合题意； B. ，，则与方向相同，与方向相同，则与方向相同，故，选项不符合题意； C. ，不能说明，选项符合题意； D. ，，则，选项不符合题意； 故选：C 17．在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 18．（2025·上海金山·一模）在中，如果，这个三角形的重心为点，设，，那么向量用向量、表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质， 向量的线性运算等知识点，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 根据“三角形重心的性质重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍”可得，然后根据向量的三角形法则可得，由可得，于是得解． 【详解】解：如图， ∵G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形法则可得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图，点E、F分别是平行四边形的边的中点，连接，如果，，那么向量关于的分解式为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据题意，易得，进而得到，平行四边形的性质，得到，进而得到，再利用三角形法则，求出即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别是平行四边形的边的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 20.如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例性质可得，再由可得，从而得出，再证，可得，再由平行线的判定即可得出结论； （2）由得出，可得出，再由可得．进而可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 又， ． 考点五、锐角三角比 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及二次根式混合运算、分母有理化等知识，先由特殊角的三角函数值求出各部分，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解： ． 22．计算： 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值逐个求解，再利用二次根式运算，最后根据有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 24.在中，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了解直角三角形，关键是熟练锐角三角函数的定义．画出图形，表示出，再根据的定义求解即可 【详解】解：如图所示，，    则． 故选A． 25.已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】延长交于点，连接，由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，由折叠的性质可得，，，由等边对等角可得，利用邻补角互补可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，由点是边的中点可得，进而可得，利用可证得，于是可得，进而可得，则，，即，，，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 将沿翻折，点落到点处， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，两直线平行内错角相等，折叠的性质，等边对等角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，等角对等边，线段中点的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 考点六、解直角三角形及应用 26.已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度、坡角问题，由题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可得斜坡长度，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵坡度， ∴设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为， ∴由勾股定理可得斜坡长度为， ∴， 故答案为：． 27.在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ． 【答案】/0.6 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及正切和余弦的定义是解题的关键．根据题意画出示意图，再结合线段垂直平分线的性质及余弦和正切的定义即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 垂直平分， ∵， 设，， 在中， 在中， 故答案为：． 28.如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确运用勾股定理、解直角三角形是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，由解直角三角形的知识得出和的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，高、相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长、已知余弦求边长、求角的正切值 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在中，根据即可求出的长，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由（1）可得，，由勾股定理可得，可求得，过点作，垂足为点，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在中，根据可求得的长，由勾股定理可得，由此可求得的长，在中，根据可求得的长，然后根据即可求出的正切值． 【详解】（1）解：梯形，，， ， 在中， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： ； （2）解：由（1）可得：，， ， ， 如图，过点作，垂足为点， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 考点七、几何证明 30.已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）先由，得到，再根据性质可得，由和等角的补角相等，得出，即可求证； （）由，得，，，则有，从而证明，可得，故可证明； 此题考查了相似三角形的性质与判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 31.已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 32．如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且． (1)求证：； (2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明： （2）根据题意得， 和面积相等 解得： 考点八、二次函数 33．已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质判定函数值的大小，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式确定图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越大，再确定两点与对称轴的距离，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴直线越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C ． 34.已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 35.在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 36.在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 37.如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值； (3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)m＝4 (3)． 【分析】（1）把点（8，0）代入y=ax2-6ax+6（a≠0），求得a的值即可； （2）先求出点B的坐标，根据待定系数法可求出直线AB的解析式为；根据题意可证明△PNM∽△ABO，根据相似比可求出PN=6．由E（m，0）（0<m<8），可知P，，所以，OE=m，AE=8-m，求出，进而可求出m的值． （3）由旋转可知，△AOE'∽△BOQ，所以OE′：OA=OQ：OB，∠BOQ=∠AOE′=30°，则可求出OQ=6．如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，所以，，进而可求出Q的坐标． 【详解】（1）把（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6（a≠0），得64a﹣48a+6=0，解得， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）在中，令x＝0，得y＝6， ∴B（0，6）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将（8，0），（0，6）代入y＝kx+b中，得，解得， ∴直线AB的解析式为：． ∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN＝∠AEP＝90°． 又∵∠PNM＝∠ANE， ∴∠MPN＝∠BAO． 又∵∠PMN＝∠AOB， ∴△PNM∽△ABO， ∴PN：AB＝C△PMN：C△AOB＝3：5， 由题意得OB＝6，OA＝8， 由勾股定理定理可得AB＝10， ∴PN＝6． ∵E（m，0）（0<m<8）， ∴，， ∴，OE＝m，AE＝8﹣m， ∴， 解得m＝4． （3）∵线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为30°， ∴OE'＝OE＝4，∠AOE'＝30°． ∵△AOE'∽△BOQ， ∴OE′：OA＝OQ：OB，∠BOQ＝∠AOE′＝30°， ∴4：8＝OQ：6，即OQ＝6， 如图，过点Q作QH⊥y轴于点H， ∴，， ∴当点Q在y轴右侧时，， 当点Q在y轴左侧时，同理可得，， 综上所述，点Q的坐标为：，． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，相似三角形存在性等内容；设出合适未知数，结合背景图形表达点Q坐标是解题关键． 考点九、几何综合题 38.如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)的余切值为或； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可； （3）分类讨论，当在上和的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可． 【详解】（1）解：如图1， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 设则 ， 解得或， 经检验，，都是原方程的根， 或， 在中， 或； （2）如图2，由（1）得， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 即； （3）当点在上时，如图，过点作，垂足为， ， ， 由（）可知，当时，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为 当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为， 由（）可得，， ， ，即， 解得：， ， ，即， 解得： 的面积为 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 39.在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 40.如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)ⅰ）；ⅱ）的正切值为或． 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）i）延长至G，使，连接，证明，得出，证出，则可得出答案； ii）分三种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：i）延长至G，使，连接， ∵直线经过的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ii）当时显然不成立． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接， ∵， ∴D，B，，C四点共圆， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，的正切值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 41.如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F．    (1)当点Q在线段上时，求证：． (2)当时，求的面积． (3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)BP的长为或2或 【分析】（1）证明即可得到答案； （2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．②当点Q在上时，如图2，作于点M，设，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当点Q在上时，设，则，若点F在Q的右侧，如图3，当，则，作于点H，而， ∴，则，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，，，，作于点N，于点G．，则，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案． 【详解】（1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，， ∴， ∴． （2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．    由，得． 由，得， ∴， ∴． ②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．    ，． 同理：， ∴， ∴． 同理：，得， ∴． ∴，解得， ∴． ∴的面积为或． （3）①当点Q在上时，设，则．    若点F在Q的右侧，如图3，当，则． 作于点H，而， ∴，则， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．    ∵， 又∵ ∴． ∵由结合对顶角可得：，而， ∴， ∴，即，则， ∴． ②当点Q在AD上时，如图5，，，， 作于点N，于点G．，则，    由，得， ∴， ∴． 同理可得：， 设，则，． ∴，， 由，得，， ∴，． 由题意，， 设，则，，， 由，得，即， 化简，得， 解得（舍去），． ∴． 综上所述，BP的长为或2或． 【点睛】本题考查的是动态几何问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论，细心的计算是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $