专题1.2 三角形一边的平行线（举一反三讲义）数学沪教版九年级上册

专题1.2 三角形一边的平行线（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 三角形一边的平行线性质定理】 2 【题型2 三角形一边的平行线性质定理推论】 3 【题型3 三角形的重心】 4 【题型4 三角形一边的平行线判定定理】 5 【题型5 三角形一边的平行线判定定理推论】 6 【题型6 平行线分线段成比例定理】 6 【题型7 平行线分线段成比例与其他知识的交互运用】 7 【题型8 做辅助线构造平行线分线段成比例】 9 知识点1 三角形一边的平行线性质定理 三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线，截得的对应线段成比例. 三角形一边的平行线性质定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 知识点2 三角形的重心 1.定义：三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 2.性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的2倍. 知识点3 三角形一边的平行线判定定理 三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同一侧）所以的对应线成例，这条直线平行于三角形的第三边. 知识点4 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 拓展：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【题型1 三角形一边的平行线性质定理】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式1-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【变式1-3】（2025·河南漯河·二模）如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【题型2 三角形一边的平行线性质定理推论】 【例2】在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【变式2-1】如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于 ．    【变式2-2】（22-23九年级上·山东聊城·期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【变式2-3】如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【题型3 三角形的重心】 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式3-1】如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ． 【变式3-2】如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【变式3-3】如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【题型4 三角形一边的平行线判定定理】 【例4】如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：． 【变式4-1】如图，已知中，点、是边上的两点，点在边上，，，求证：． 【变式4-2】若、分别是的边、上的点，下列条件中不能判定的是(    ) A. B. C. D. 【变式4-3】如图，梯形中，，为中点，分别连结、、、，且与交于，与交于，求证． 【题型5 三角形一边的平行线判定定理推论】 【例5】如图，，求证：． 【变式5-1】已知中，点、分别在边和的反向延长线上，若，则当的值是______时，． 【变式5-2】已知：如图所示，直线、、相交于点，，，求证：． 【变式5-3】已知：如图，是的角平分线，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，且满足和相交于点，连接． 求证：． 【题型6 平行线分线段成比例定理】 【例6】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·广东佛山·期末）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线 ，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 【题型7 平行线分线段成比例与其他知识的交互运用】 【例7】（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，梯形中，，，，交两腰于、．则下列结论： （1），． （2）． （3），． （4）． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（      ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点O作交于点E、连接，交于点F，过点作交于点G，则 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【题型8 做辅助线构造平行线分线段成比例】 【例8】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 【变式8-1】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）如图，这是由等距离、等长度的五条平行横线组成的图形．已知，，三点共线，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 ． 【变式8-3】如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 三角形一边的平行线（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 三角形一边的平行线性质定理】 2 【题型2 三角形一边的平行线性质定理推论】 4 【题型3 三角形的重心】 7 【题型4 三角形一边的平行线判定定理】 10 【题型5 三角形一边的平行线判定定理推论】 12 【题型6 平行线分线段成比例定理】 14 【题型7 平行线分线段成比例与其他知识的交互运用】 16 【题型8 做辅助线构造平行线分线段成比例】 21 知识点1 三角形一边的平行线性质定理 三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线，截得的对应线段成比例. 三角形一边的平行线性质定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 知识点2 三角形的重心 1.定义：三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 2.性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的2倍. 知识点3 三角形一边的平行线判定定理 三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同一侧）所以的对应线成例，这条直线平行于三角形的第三边. 知识点4 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 拓展：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【题型1 三角形一边的平行线性质定理】 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 【变式1-1】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，交于点E，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：菱形中，对角线，相交于点， ，，， ， ∴， ， 为的中位线， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式1-3】（2025·河南漯河·二模）如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． ， ． 故选：A． 【题型2 三角形一边的平行线性质定理推论】 【例2】在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【变式2-1】如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于 ．    【答案】2：3 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD=2BD， ∴， ∴DE：BC=2：3， 故答案为：2：3． 【变式2-2】（22-23九年级上·山东聊城·期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【详解】∵轴， ∴， ∴， ∵， C点坐标为， ∴， ∴ ， 故选A． 【变式2-3】如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【题型3 三角形的重心】 【例3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵ ∴． 故选：C． 【变式3-1】如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】12 【详解】解：∵G是△ABC的重心， ∴AG=2DG，AD=3DG； ∵EF∥BC， ∴， ∵AC=18， ∴AF=12． 故答案为12． 【变式3-2】如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【答案】8 【详解】解：连接BG并延长交AC于H，    ∵G为ABC的重心， ∴2， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CE＝DF＝4， ∵GE∥CH， ∴2， ∴BE＝8， 故答案为：8． 【变式3-3】如图，在中，与交于点G，点G为的重心，点M、N分别在边、上，若，则的值为 ． 【答案】/0.6 【详解】如图，过点B作分别交，于点E，F点，过点D作交于P点， ∴为的中位线， ∴点P为的中点， ∵，且， ∴， ∵点G为的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4 三角形一边的平行线判定定理】 【例4】如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：． 【答案】证明：如图，延长到，使，连接、． 是的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ：：， 同理：：， ：：， ．  【变式4-1】如图，已知中，点、是边上的两点，点在边上，，，求证：． 【答案】证明：， ， ， ． ． ．  【变式4-2】若、分别是的边、上的点，下列条件中不能判定的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、由，可以推出，本选项不符合题意； B、由，可以推出，本选项不符合题意； C、由，可以推出，本选项不符合题意； D、由，不能判定，本选项符合题意． 故选：． 【变式4-3】如图，梯形中，，为中点，分别连结、、、，且与交于，与交于，求证． 【答案】证明：．， ，， 又， ， ．  【题型5 三角形一边的平行线判定定理推论】 【例5】如图，，求证：． 【答案】解：， ，   【变式5-1】已知中，点、分别在边和的反向延长线上，若，则当的值是______时，． 【答案】  【解析】解：要使，则需，又， ． 故答案为：． 【变式5-2】已知：如图所示，直线、、相交于点，，，求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ， ．  【变式5-3】已知：如图，是的角平分线，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，且满足和相交于点，连接． 求证：． 【答案】证明：， ，， ， ， ， ．  【题型6 平行线分线段成比例定理】 【例6】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题，熟练掌握平行线成比例定理是解答本题的关键．直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵，两条直线与这三条平行线分别交于点和， ， 又， ， 故选：D． 【变式6-1】（24-25九年级上·广东佛山·期末）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ，即， 解得：． 故选B． 【变式6-2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，直线 ，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解答． 根据平行线分线段成比例定理得到，然后代入数据即可求出的值． 【详解】解：直线 ， ，即， ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 【答案】 【分析】利用网格构建，利用平行线分线段成比例得到，由此可解．本题考查平行线分线段成比例定理，利用格点构造等比例线段是解题的关键． 【详解】解：如图，利用网格构建， ∴ ， 故答案为：． 【题型7 平行线分线段成比例与其他知识的交互运用】 【例7】（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，梯形中，，，，交两腰于、．则下列结论： （1），． （2）． （3），． （4）． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行的判定与性质，平行分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，延长交于，得到，从而判定是的中位线，从而推出，从而知道②正确；接着利用平行分线段成比例，可知，，从而知道①正确，是的中位线，是的中位线，接着利用三角形中位线的性质，可得到③正确，最后利用得到④正确． 【详解】解：连接，延长交于，如图所示: ， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，故②正确； ， 是的中位线，是的中位线，，，故①正确； ， 同理可证，故③正确； ，， ，故④正确； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：D． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定方法得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，于是得到结论． 【详解】解：、，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【变式7-2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点O作交于点E、连接，交于点F，过点作交于点G，则 ． 【答案】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ，， ， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ，， ，， ，， ， ，， ，， ，即， ，， ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 【题型8 做辅助线构造平行线分线段成比例】 【例8】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）如图，这是由等距离、等长度的五条平行横线组成的图形．已知，，三点共线，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的应用是解题的关键． 过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，然后根据平行线分线段成比例定理得，最后代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式8-2】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 ． 【答案】2 【分析】连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF＝＝3，BC＝BF＋CF＝8，根据折叠证明出OH是△ABC的中位线，故BH＝BC＝4，OH＝AB＝2，在Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2． 【详解】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图： ∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O， ∴AF＝CF＝5，OA＝OC， 在Rt△ABF中，BF＝＝＝3， ∴BC＝BF＋CF＝8， ∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC， ∴O为AC中点，OH∥AB， ∴ ， ∴H为BC中点， ∴OH是△ABC的中位线， ∴BH＝CH＝BC＝4，OH＝AB＝2， 在Rt△BOH中，OB＝＝＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形性质及应用，涉及对称、勾股定理、三角形中位线等知识，解题的关键是证明OH是是△ABC的中位线． 【变式8-3】如图1，梯形ABCD中，，，，，，点P是AD延长线上一点，F为DC的中点，连接BP，交线段DF于点G． (1)当时，求DP的长． (2)如图2，点E为BP中点，连接EF． ①若设，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． ②连接DE和PF，若，求DP长. 【答案】(1)2 (2)①；②或4． 【分析】（1）设，勾股定理求得，根据已知等式建立方程，解方程求解即可； （2）①连接DE并延长交BC于点M，过D作于点H，证明，勾股定理求得，，，，代入化简整理即可求得函数解析式； ②当时，四边形DEFP为平行四边形，当时，四边形DEFP为等腰梯形，过E作于点Q，，由，，根据平行线分线段成比例可得,则，解方程求解即可． 【详解】（1）设， ∵在直角三角形ABP中，，，， ∴. ∵. ∴， 解得：， ∴DP=2； （2）①连接DE并延长交BC于点M， ∵F为DC的中点，， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， 过D作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴. ②∵，， 当时，四边形DEFP为平行四边形． ∴， ∴. 当时，四边形DEFP为等腰梯形， 过E作于点Q，. ∵，， ∴， ∴. ∴， 解得：. ∴PD的长为或4. 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$