4.1.1 数列的定义与通项公式专项训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习41:数列的定义与通项公式 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1．给出以下通项公式：①；②；③，其中可以作为数列，，，，，，…的通项公式的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．数列的通项公式可能是an＝（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的（ ） A．第29项 B．第30项 C．第36项 D．第37项 5．已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是（ ）． A．12 B．13 C．14 D．15 6．已知数列中，，则数列的最小项是（ ） A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项 7．已知数列，，则下列说法正确的是（ ） A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是 C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是 8．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数（如4，9），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A．1976 B．1977 C．2064 D．2065 9．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为.若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列，则625是数列中的第（ ） A．14项 B．15项 C．16项 D．17项 10．已知，，若对任意恒成立，则实数的最小值是( ) A． B． C． D． 11．已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ） A． B． C．(-1，1) D． 二、填空题 13．数列：的一个通项公式为___________. 14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图中有________个点． 15．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列中的最大项为________． 16．数列1，，2，，3，，4，，4，，5，，5，，5，…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，的有个，则该数列第2021项是________. 三、解答题 17．分别根据下列数列的通项公式，写出数列的前3项. （1）；（2）；（3）. 18．写出下列数列的一个通项公式． （1），，，，…； （2）1，0，，0，，0，，…； （3）0.8，0.88，0.888，…； （4），，，，…． 19．观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式： （1）1，3，7，____，31，____，127； （2）2，5，____，17，26，____，50； （3），，____，，，____，； （4）1，，____，2，，____，． 20．已知数列，n∈N*． （1）求这个数列的第10项； （2）是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：该数列是递增数列； （4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由 厦门外国语学校2025届高二数学练习41:数列的定义与通项公式答案 1．D【详解】对于①：当时，对应的项分别为：，，，，，，故①正确； 对于②：当时，对应的项分别为：，，，，，，故②正确； 对于③：当时，对应的项分别为：，，，，，，故③正确； 所以①②③的通项公式都符合题意， 2．D解：根据题意，数列的前4项为，，，，则有，， ，，则数列的通项公式可以为. 3．D【详解】由题设，，故A、B、C错误，D正确； 4．A解：由题意，此数列分母与分子之和为2的有一个，为3的两个，为4的有三个，按此规律，知出现在和为9那一组中，又每一组的数都是以分子为1开始，故是分子分母和为9的那一组的第一个数， 由于和为9的那一组是第八组，前七组共有个数，故是第29个数，即第29项． 5．C【详解】根据题意，．由，解得，即9是此数列的第14项， 6．D解：由题可知，，由于，所以当或3时，取得最小值， 所以数列的最小项是第2项、第3项. 7．B【详解】令，则，当时， 当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减 所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为 8．D【详解】由题意可得，这些数可以写为，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列中共有项，去掉个平方数，还剩个数， 所以去掉平方数后第2020项应在后的第个数，即为原来的第2065项. 9．C【详解】设，则，可得，则为3的倍数或为3的倍数，设或，则或，故的奇数项项数为t，偶数项项数为r， ，由可得（舍去），由可得，625是数列中的第16项. 10．B【详解】依题意，，所以，即，所以对于恒成立，不妨令，当为偶数时，，当增大，增大，且， 当为奇数是，，当增大，减小，故当时，取得最大值，所以，故实数的最小值. 11．D解：∵是递增数列，∴，∵恒成立，即， 整理得：对于恒成立．而在时取得最大值，∴， 12．A【详解】数列是单调递减数列，在 恒成立，即恒成立，即，当为奇数时，则恒成立，单调递减， 时，取得最大值为 ，，解得； 当为偶数时，则恒成立，单调递增， 时，取得最小值为20，，解得，综上，. 13．或【详解】由题意可知，该数列的奇数项都为，偶数项都为则或故答案为：或 14．n2－n＋1【详解】图（1）只有1个点，无分支；图（2）除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；图（3）除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；图（4）除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；…猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点， 故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1． 15．【详解】设数列{an}中的第n项最大，则 即 解得8≤n≤9.又n∈N*，则n＝8或n＝9.故数列{an}中的最大项为第8项和第9项，且a8＝a9＝. 16．64【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，因为，前2021项共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，故2021项为第64组第5个数字，由奇偶项正负交替规律，其为64. 17．（1）（2）（3） 【分析】直接代入n=1,2，3求值即可（1）故（2）故（3）故 18．（1）（2）（3）（4） （1）所给数列可写成，，，，…，∴原数列的一个通项公式为． （2）由题设数列的奇偶项的规律，易知一个通项公式为． （3）由原数列可写成，，，…，∴原数列的一个通项公式为．（4）由数列可写成，，，，…，∴原数列的一个通项公式为． 19．（1）；，；（2）10；37，；（3）；，；（4）；，．（1）观察数列得各项加1后是2的幂次，应填空；，； （2）观察数列得各项减1后是正整数的平方，应填空10；37，； （3）观察数列得后项等于前项乘以，应填空；，； （4）观察数列得各项都化为二次根式后，为正整数的正的平方根，应填空；，． 20．（1）；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析；（4）有且只有一项． 【详解】（1）因为an＝＝＝，令n＝10，得第10项a10＝； （2）令＝，得9n＝300．此方程无正整数解，∴不是该数列中的项； （3）证明：∵an＝＝＝1－，∴an＋1－an＝－ ＝＝＞0，n∈N*，∴{an}是递增数列； （4）令<an＝，∴∴，∴<n<，∴当且仅当n＝2时，上式成立， 故区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝ 学科网（北京）股份有限公司 $