直线与抛物线 专项训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学

厦门外国语学校2025届高二数学练习39:直线与抛物线 班级： 姓名： 座号： 1．已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点， （1）求抛物线的方程及其焦点坐标； （2）求. 2．过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 3．已知抛物线x＝－y2与过点且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当的面积等于时，求k的值． 4．已知抛物线()的焦点为，直线交于，两点(异于坐标原点). （1）若点的坐标为(3，2)，点为抛物线上一动点，线段与抛物线无交点，且的最小值为5，求抛物线的标准方程； （2）当直线过时，证明：. 5．已知抛物线与直线相交于、两点. （1）求证：； （2）当的面积等于时，求的值. 6．如图，直线AB过抛物线的焦点交抛物线于，直线交抛物线准线于. （1）求证：； （2）若面积的最小值为，求的值. 7．已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5. （1）求的值； （2）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程. 8．过圆：上的点作圆的切线，若直线过抛物线：的焦点． （1）求直线与抛物线的方程； （2）是否存在直线与抛物线交于、与圆交于、，使，若存在，请求出实数的值；若不存在，说明理由 厦门外国语学校2025届高二数学练习39:直线与抛物线答案 1．（1），焦点坐标为；（2）8. 解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为. （2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，联立方程组消去可得，则，所以. 2．4x－y－15＝0【详解】法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有＝8x1，＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 即＝4，∴kAB＝4.∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0． 法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1．联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．由根与系数的关系得y1＋y2＝． 又y1＋y2＝2，∴k＝4．∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0． 3．【详解】过点且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)由方程组消去x整理得设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得 设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为 ，解得 4．（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）设为点到的距离，则由抛物线定义知，，所以当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，取得最小值，即，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由题可设直线的方程为：，，，由得，由根与系数的关系可得：，所以，所以当直线过定点时，. 5．（1）证明见解析；（2）.【详解】证明：设、；直线过定点，，，由、、共线，∴， 又，∴，∴，∴，解：，则，得，则， ∴，. 6．（1）证明见解析（2） （1）由已知得直线的方程为，因为，准线方程，可得， 因为，设直线的方程为，代入抛物线，整理得， 故，所以. （2）由（1）知轴，不妨设，则 令，设， 则，当时，，当时，，故，故，故. 7．（1）；（2）. 【详解】（1）抛物线（）的焦点为，准线方程为，由抛物线定义得： ，所以. （2）由（1）得抛物线方程为设直线：，与联立，消去x，整理得：，设，，，有，则弦长，弦中点故弦的垂直平分线方程为令得，即故点P到直线的距离. 所以所以，直线方程为 8．（1）；；（2）存在；或． 【详解】（1）圆心为，所以所以：，即,与轴的交点为,抛物线的交点为，∴抛物线：． （2）显然直线的斜率存在，所以设，则圆心到直线的距离．∴．，由韦达定理得，，． 由题意，解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $