立体几何解答题 专项训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学

厦门外国语学校2025届高二数学练习12:立体几何高考解答题 班级： 姓名： 座号： 1．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 2．在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 3．如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 5．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 6．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 7．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 8．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 9．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 10．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 11．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值 厦门外国语学校2025届高二数学练习12:立体几何高考解答题答案 1．（I）证明见解析；（II）；（III）. 【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则,,,,,,，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，所以,,,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面； （II）由（1）得，，设直线与平面所成角为，则； （III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为. 2．（1）证明见解析；（2）.详解】（1）取的中点为，连接. 因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面. （2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故. 设平面的法向量，则即，取，则， 故.而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 3．（1）证明见解析；（2）． 【详解】(1)如图所示，取的中点，连结由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点. (2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设， 则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：， 设平面的法向量为：，则：，令可得：， 从而：，则：， 整理可得：，故（舍去）. 4．（1）证明见解析；（2）． 【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得， 所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以． （2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为． 5．（1）见解析；（2） 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以，．由题设（）． （1）因为，所以，所以． （2）设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为， 此时取最大值为．所以，此时． 6．（1）；（2）【详解】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，，，则，解得，故； （2）设平面的法向量为，则，，由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得，， 所以，，因此，二面角的正弦值为. 7．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、. （Ⅰ）依题意，，，从而，所以； （Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，． 设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得． ，． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为. 8．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明： 在正方形中，，因为平面，平面， 所以平面，又因为平面，平面平面，所以， 因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 9．（1）（2）【详解】（1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 从而直线与所成角的余弦值为 （2）设平面一个法向量为 令设平面一个法向量为令 因此 10．（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，在长方体中，且，且，，，且， 所以，四边形为平行四边形，则且，同理可证四边形为平行四边形，且，且，则四边形为平行四边形， 因此，点在平面内； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，，设平面的法向量为，由，得取，得，则，设平面的法向量为，由，得，取，得，，则， ， 设二面角的平面角为，则，. 因此，二面角的正弦值为. 11．（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）由题设，知为等边三角形，设，则，，所以，又为等边三角形，则，所以，，则，所以， 同理，又，所以平面； （2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得，所以， 设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故， 设二面角的大小为，则. 学科网（北京）股份有限公司 $