1.2空间向量基本定理 专项训练-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习4: 空间向量基本定理 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．如图，空间四边形中，，，，且，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图中，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在空间四边形中，，，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．有以下命题：①若，则与､共面；②若与､共面，则；③若，则､､､四点共面；④若､､､四点共面，则；⑤若存在，使，则；⑥若､不共线，则空间任一向量().其中真命题是（ ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④⑥ 5．已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．四面体，是的重心，且，若，则为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距(　　) A．50 m B． m C．60 m D．70 m 二、多选题 9．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ） A． B． C． D． 10．在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 11．下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ） A． B． C． D． 12．设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ） A．，，可以为任意向量 B．对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．若，，则 D．可以作为构成空间的一组基底 三、填空题 13．已知在正方体ABCD一中，点E为底面的中心，，，，，则=______，=_______，=_______． 14．如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是________． 15．已知空间的一个基底，，若与共线，则x＋y＝________. 16．如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______ 四、解答题 17．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， （1）用表示和； （2）求. 18．直三棱柱中，，棱，是的中点． (1)求的长； (2)求的值． 19．在所有棱长均为2的三棱柱中，，求证： （1）； （2）平面. 20．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点是棱的中点，点在棱上，且，记，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求的最小值 厦门外国语学校2025届高二数学练习4: 空间向量基本定理答案 1．A【详解】因为，又因为，所以. 2．D【详解】解：，分别是对边，的中点，，. 点在线段上，且分所成的定比为，. .即，，. 3．D【详解】 4．B【详解】解：①正确，由平面向量基本定理可得，若，则与､共面；②不正确，若､均为零向量，为非零向量，则后式不成立，③正确，由平面向量基本定理得，④不正确，若､均为零向量，为非零向量，则后式不成立，⑤不正确，若､为相反向量时，，， ⑥不正确，若､不共线，当与､所在的平面垂直时，则后式不成立， 5．B【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立；若存在实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件， 6．A【详解】连接交于点，则为中点，则，∵，∴，， 故 7．A【详解】设，则构成空间的一个基底，， ， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8．D【详解】因为,所以||2==||2+||2+||2+2()=302++402+2(0+0+30·40·cos60°)=4900,于是||=70m, 故甲、乙两人相距70m.选D. 9．BCD【详解】如图：在长方体中，设，，， 则，， ，， 由图可知：三个向量共面，所以不能作为基底；三个向量不共面，三个向量不共面，三个向量不共面，所以，，可以作为基底， 10．ABD【详解】分别是的中点，，故A正确；，，， ，故B正确；，故C错误； ，故D正确. 11．AB【详解】对于A，由，，所以点P与A，B，C三点共面. 对于B，由，，所以点P与A，B，C三点共面. 对于C，由，，所以点P与A，B，C三点不共面. 对于D，由，得，而，所以点P与A，B，C三点不共面. 12．BD【详解】A选项：，，为不共线的非零向量；B选项：由向量的基本定理知，空间任一向量，存在唯一有序实数组，使；C选项：，，则不一定垂直； D选项：中三个向量间无法找到实数使得它们之间有的等式形式成立，即可以构成基底. 13．2 1 【详解】如图所示， 所以，故答案为：①2，②1，③ 14．【详解】依题意可知CD＝＝，. 设直线AB与CD所成角为α，则cos α＝＝，因为，故α＝. 15．0【详解】因为与共线，所以，所以解得， 所以x＋y＝0. 16． 【详解】解：在正方体中，,,,为底面的的中心，为的重心，. 17．（1），，（2）【详解】解：（1）连接，如图： 因为，，在，根据向量减法法则可得：因为底面是平行四边形 故因为 且 又为线段中点 在中 故平行四边形中 （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是故，，所以 ，故 所以 所以 18．（1）；（2） 【详解】以为原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系． (1)依题意，得. (2)依题意，得．∴， ∴. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）依题意可知三角形是等边三角形， 所以，则.所以. （2）依题意四边形为菱形，所以.因为 ， 所以，又，所以平面. 20．（1）；（2）.【详解】（1） . （2）三棱锥棱长都为1，故，， ，故当时，取得最小值，且. 学科网（北京）股份有限公司 $