空间向量的数量积 专项练习-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习2: 空间向量的数量积 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）． A． B．97 C． D．61 2．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 3．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则（ ） A．1 B． C．2 D．4 4．空间四边形各边及对角线长均为，，，是，，的中点，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，，，则（ ） A．1 B． C．9 D．3 6．如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 7．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A． B．存在点，使得 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的余弦值为 10．已知是正方体，以下正确命题有（ ） A．； B．； C．向量与向量的夹角为； D．正方体的体积为. 11．（多选）设，，是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有（ ）． A． B． C．不与垂直 D． 12．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ） A．若，则可知 B．若为△的重心，则 C．若，，则 D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 三、填空题 13．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______． 14．如图，在一个直二面角的棱上有两点，，，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则_______． 15．正四面体ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为_____________. 16．如图，四棱锥的各棱长均为13，M，N分别是PA､BD上的点，且，则线段MN的长为_________. 四、解答题 17．如图，在四面体中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若，求证：． 18．如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小． 19．如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示． （2）求的长． （3）求与所成角的余弦值． 20．如图，在正三棱柱中，底面的边长为. （1）设侧棱长为1，试用向量法证明：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长. 厦门外国语学校2025届高二数学练习2: 空间向量的数量积答案 1．C【详解】∵，∴， 2．A【详解】因为，所以， 3．C【详解】平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，作图如下： 令，，， 则，，，设，即，由，得， 即，解得：或（舍去），即. 4．A【详解】空间四边形各边及对角线长均为，所以四边形构成的四面体是正四面体，四个面是等边三角形，因为，，分别是，，的中点，所以，， ，，所以 . 5．D【详解】在平行六面体中，有，， 由题知，，，，，所以，，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 6．A【详解】依题意得，，，. 所以 7．C【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得， 所以，解得，又，所以， 8．D【详解】因为三棱锥中，、、两两垂直且，将三棱锥补成正方体，设三棱锥的外接球半径为，球心为，则，取的中点，连接、，，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心，所以，平面，平面，， ，，由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时，取得最大值，且.，，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，的最大值为. 9．AC【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示， 向量，故A正确； 假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误； 因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确；设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误. 10．AB【详解】A：两两垂直，且，所以，正确； B：由，所以，正确； C：由正方体性质知：面，而面，即，即向量与向量的夹角为，错误；D：由图知：，正方体的体积不为，错误； 11．BD【详解】根据空间向量数量积的定义及性质，可知和是实数，而与不共线，故与一定不相等，故A错误；因为，所以当，且或时，，即与垂直，故C错误；由向量两两不共线，可得B正确；由运算律可得D正确. 12．ABC【详解】对于 ，，， ， ，即，故正确； 对于，为△的重心，则，,即，故正确；对于，若，，则， , ,, ，，故正确； 对于， ，故错误. 13．【详解】因为，所以 ，所以，所以的长为， 14．【详解】由已知，可得，，，， ，． 15．【详解】正四面体中，点E、F分别是BC、AD的中点，连接，则，而，所以平面，又平面，所以，即，所以． 16．7【详解】因为四棱锥的各棱长均为13， 所以四棱锥是正四棱锥，所以， 又M，N分别是PA､BD上的点，且，所以， 又，所以， ，所以 ， 17．证明见解析【详解】证明：如图，设．因为P，M分别为OA，BC的中点，所以．N，Q分别为AC，OB的中点,则所以． 又因为，所以所以，所以，即． 18．解：方法1：因为，所以的大小就等于因为△为等边三角形，所以，所以与的夹角的大小为． 方法2．设正方体的棱长为1， 又因为，所以， 因为，所以与的夹角的大小为． 19．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题意得 （2）因为，所以， ， 所以 （3），所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为 20．（1）证明见解析；（2）2.【详解】（1）证明：，因为平面，所以，，又因为为正三角形，所以， 所以，所以，∴； （2）由（1）知.又，所以，所以，即侧棱的长为2. 学科网（北京）股份有限公司 $