27.2.1 相似三角形的判定 讲义 2024--2025学年人教版九年级数学下册

本讲义聚焦相似三角形的判定核心知识点，系统覆盖两边成比例且夹角相等、两角分别相等、平行线分线段成比例定理、三边成比例四个判定方法，前承比例线段基础，后启相似性质应用，通过典型例题引入、举一反三分层练习构建学习支架。 资料特色在于以网格图、矩形等图形观察培养几何直观（数学眼光），通过推理证明（如利用对顶角相等证三角形相似）发展推理意识（数学思维），规范解析助力数学语言表达。课中例题与练习结合便于教学实施，课后详细解析帮助学生自主查漏补缺。

人教版（2024）九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 讲义 【题型1】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )    A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似 【举一反三1】如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当        时，与相似． 【举一反三4】如图，若      ，则. 【举一反三5】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长． 【题型2】两角分别相等的两个三角形相似 【典型例题】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　） A.只有（1）相似 B.只有（2）相似 C.都相似 D.都不相似 【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【举一反三2】如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．给出下列结论： ①△ABC≌△AEF； ②∠AFC＝∠C；③DF＝CF； ④△ADE∽△FDB 其中正确的结论是　     　（填写所有正确结论的序号）． 【举一反三3】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝　   　°时，△BDA∽△AEC． 【举一反三4】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）求证：△AMF∽△BGM； （2）请你再写出两对相似三角形． 【题型3】平行线分线段成比例定理 【典型例题】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（　　） A. B. C. D.1 【举一反三1】如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为(　　) A.12.5 B.12 C.8 D.4 【举一反三3】如图，点D、E分别在△ABC边BC、AC上，连接线段AD、BE交于点F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，则EF：FB＝　    　． 【举一反三4】如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 【举一反三5】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长． 【题型4】三边成比例的两个三角形相似 【典型例题】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（　　） A.△AFD B.△FED C.△AED D.不能确定 【举一反三1】如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（   ）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】的边长分别为的边长分别，则与            （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 【举一反三3】一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为　时，这两个三角形相似． 【举一反三4】如图，在中，，，，求证：．    人教版（2024）九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定 讲义（参考答案） 【题型1】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【典型例题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )    A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似 【答案】C 【解析】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD，C正确； 故选C． 【举一反三1】如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意可得：，， ，，，， ，， ， 又， ． 故选：B． 【举一反三2】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意可得：，； A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似． C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：B． 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当        时，与相似． 【答案】5或 【解析】解：由题意,知与都是直角三角形, 所以当或时,与相似, 由, , ,得, , ∴或, ∴5或． 故答案为: 5或． 【举一反三4】如图，若      ，则. 【答案】 【解析】解：∵∠AOC=∠BOD， ∴当时， 故填：. 【举一反三5】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长． 【答案】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB， ∴∠D＝∠B＝90°， 设DP＝x， 当PD：AB＝CD：PB时，△PDC∽△ABP， ∴＝， 解得DP＝2或12， 当PD：PB＝CD：AB时，△PCD∽△PAB， ∴＝， 解得DP＝5.6 ∴DP＝5.6或2或12． 【题型2】两角分别相等的两个三角形相似 【典型例题】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　） A.只有（1）相似 B.只有（2）相似 C.都相似 D.都不相似 【答案】C 【解析】对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似； 对于（2）图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB． 故选：C． 【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】C 【解析】图中相似三角形共有3对．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB， ∵DE＝CE，FC＝BC， ∴DE：CF＝AD：EC＝2：1， ∴△ADE∽△ECF， ∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF， ∴AE：EF＝AD：DE， 即AD：AE＝DE：EF， ∵∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠CEF+∠AED＝90°， ∴∠AEF＝90°， ∴∠D＝∠AEF， ∴△ADE∽△AEF， ∴△AEF∽△ADE∽△ECF， 即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF． 故选：C． 【举一反三2】如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E．AB交EF于D．给出下列结论： ①△ABC≌△AEF； ②∠AFC＝∠C；③DF＝CF； ④△ADE∽△FDB 其中正确的结论是　     　（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【解析】在△ABC和△AEF中，， ∴△ABC≌△AEF，故①正确， ∴AC＝AF， ∴∠C＝∠AFC，故②正确， ∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF， ∴△ADE∽△FDB，故④正确， 无法证明DF＝CF，故③错误． 故答案为①②④． 【举一反三3】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝　   　°时，△BDA∽△AEC． 【答案】110 【解析】∵AD＝AE，∠DAE＝40°，∴∠ADE＝∠AED＝70°， ∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣70°＝110°． 在△ABD中， ∵∠ADB＝110°， ∴∠B+∠BAD＝180°﹣110°＝70°，同理可得∠C+∠EAC＝70°． ∵△BDA∽△AEC， ∴∠B＝∠EAC，∠C＝∠BAD， ∴∠B+∠C＝∠EAC+∠BAD＝∠B+∠BAD＝70°， ∴∠BAC＝（∠EAC+∠BAD）+∠DAE＝70°+40°＝110°． 【举一反三4】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）求证：△AMF∽△BGM； （2）请你再写出两对相似三角形． 【答案】（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α， ∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α， ∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°， ∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α， ∴∠AFM＝∠BMG， ∴△AMF∽△BGM； （2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM． ∴△DMG∽△DBM， 同法可证：△EMF∽△EAM． 【题型3】平行线分线段成比例定理 【典型例题】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1．点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝1，BE＝1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（　　） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】取CF的中点G，连接BG，如图所示： ∵BC＝1，BE＝1， ∴点B为EC的中点， ∴BG是△CEF的中位线， ∴BG∥EF， ∴＝， ∴AF＝AG， ∴FG＝CG＝2AF， ∴AC＝AF+FG+CG＝5AF＝3， ∴AF＝； 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ， ． 故选：B． 【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为(　　) A.12.5 B.12 C.8 D.4 【答案】C 【解析】∵AD∥BE∥CF，∴，即，解得EF＝8，故选C. 【举一反三3】如图，点D、E分别在△ABC边BC、AC上，连接线段AD、BE交于点F，若AE：EC＝1：3，BD：DC＝2：3，则EF：FB＝　    　． 【答案】 【解析】作EH∥BC交AD于H，∴＝， ∵＝，∴＝， ∵EH∥BC，∴＝＝． 【举一反三4】如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求． 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴，（舍）， ∴． 【举一反三5】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长． 【答案】解：过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图， ∵CD∥AB， ∴四边形AQCD为平行四边形， ∴AQ＝CD＝6， 同理可得GN＝EM＝CD＝6， ∴BQ＝AB﹣AQ＝6， ∵DC∥EF∥GH∥AB， ∴DE：EG：GA＝CF：HF：HB＝3：4：5， ∵MF∥NH∥BQ， ∴MF：BQ＝CF：CB＝3：（3+4+5），NH：BQ＝CH：CB＝（3+4）：（3+4+5）， ∴MF＝×6＝1.5，NH＝×6＝3.5， ∴EF＝EM+MF＝6+1.5＝7.5，HG＝GN+NH＝6+3.5＝9.5． 【题型4】三边成比例的两个三角形相似 【典型例题】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（　　） A.△AFD B.△FED C.△AED D.不能确定 【答案】A 【解析】解：解：∵AF＝4，DF＝4，AD＝4，AB＝2，BC＝2，AC＝2， ∴， ∴△AFD∽△ABC． 故选：A． 【举一反三1】如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，正确的画法有（   ）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】解：第一个网格中的两个三角形对应边的比例：，是相似三角形； 第二个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形； 第三个网格中的两个三角形对应边的比例：，这两个三角形是相似三角形； 第四个网格中的两个三角形对应边的比例：，不是相似三角形； 综上，正确的画法有3个， 故选：C． 【举一反三2】的边长分别为的边长分别，则与            （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 【答案】不一定 【解析】解：∵的边长分别为的边长分别， ∴两个三角形对应边的比分别为： ， 当a=b=c时，，这两个三角形相似， 当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似， ∴与不一定相似， 故答案为：不一定． 【举一反三3】一个三角形的三边之比为3：4：5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为　时，这两个三角形相似． 【答案】解：∵如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 ∴当另一个三角形的三边的比为3：4：5时，这两个三角形相似 ∵另一个三角形的最短边长为8 ∴另外两边长为，． 【举一反三4】如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $