专项3 平行线分线段成比例常用的6种技巧&课时2 三边关系、边角关系判定三角形相似-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（人教版）

九年级数学（下册） 5.解：(1)CE∥AD, 042=∠AcE,1=∠E 3证明F/cD,品能 ∠1=∠2，∴.∠ACE=∠E,∴.AE=AC, nE/8c0-能侣品 器 4.证明：(1)，△ABC与△DCE都是等边三角形， .AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60 (2)9+35 ,∴，∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 2 即∠BCD=∠ACE. [解析]：AB=3,BC=4,∠ABC=90°，∴，AC=5. ∴△ACE≌△BCD. A0手分L4c胎品即号品 (2)△ACE≌△BCD,.∠BDC=∠AEC 又，∠GCD=180°-∠ACB-∠DCE=60°=∠FCE, CD=CE, 2 ·△GCD≌△FCE. .AD=√BD2+AB +323 ..CG=CF. .△CFG为等边三角形. :△MD的周米为号9+35.9号5 ∴.∠CFG=6O°=∠DCE. 2 2 题型变式 6/cE瓷-能 1.解：如答图，过点D作DG∥CF,交AB 5.证明：如答图，过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC 于点G 于点N (1Dc∥CFC-DC BG BD ∠1=∠2，.DM=DN, SARD:SAACD =AB:AC. 又：AD是△ABC的中线，BD=CD,B 又：SAARD:S△ACD=BD:CD, ÷FG=BG. AF AE 1题答图 DG∥CF,FG-ED 光器 又E为AD的中点， F/一器-品 ACABEF 5题答图 .AE=ED, .AF=FG=BGBF=2 AF 1 ·CD=BD DE 又CD=DE,∴.EF=AC (2)DG∥CF, …瓷盖品…瓷名 6证明：(I:P/B0侣铝 即FG=k·AF, :AC/E,既- BE BF 由(1)知FG=BG,∴.BG=FG=k·AF, BE AF BF AF+BF=AD=1. n=24部e品 AD+BC AB ABAB 专项3平行线分线段成比例常用的6种技巧 (2)()如，怨+8能-1 1.证明：如答图，过点A作AM∥DF交 :AC∥EF∥BD, BD于点M,则二=MD.FADM BEEF AEEF EC DC'FB BD BC AC'AD BD' AE FA 又：BD=DC,ECFB MD 肥+品=1c+0 EF EF 11 1题答图 2证明DE∥8C器凫。 课时2三边关系、边角关系判定三角形相似 【基础巩置练】 即PD·PC=PB·PE.① 1,C[解析]设网格中每个小正方形的边长为1.由 DF/c段咒 题图得，①中的三角形的各边长分别为2，√2，√0， 即PD·PC=PA·PF.② ③中的三角形的各边长分别为22,2,25. @,得PB,PE=APF,哈器路 :2-2四 2万艺25心这两个三角形的三边对应成 比例.①中的三角形和③中的三角形相似，故选C ·12 参考答案及解析 2.A 340〔解析]周为侣-能=侣所以△MC 3B【解析]选项A,:名=专，上A=乙A,六阴影三 △ADE,所以∠BAC=∠DAE=60°，又∠BAD=20°， 角形与原三角形相似，故A不合题意；远项B,:】 8 所以∠DAC=40°. “号且号+冬阴影三角形与原三角形不相似， 、 3 -且 4.(1)解：如答图，点D是所求 作的点（答案不唯一），此时 故B持合题意：选项C,8-35=45,5=名 △ABD∽△BCA ∠A=∠A,∴.阴影三角形与原三角形相似，故C不 (2)证明：AB=√+22= 4题答图 合题意：选项D,名-号，∠B=∠R,阴影三角 5,BC=5,AC=√32+1=/10，BD=√+1= 形与原三角形相似，故D不合题意.故选B. 01品方器品停提 4是或2 5品20瓷△MD△BCL 5解：当△AWN△MBC时，-C 5.C[解析]由题图，知AB=AC=6,∠B=75°， M为B边的中点，4=，MN1 AB=2BC=2 .∠C=∠B=75°，.∠A=30°.根据两边成比例且 BC=3四=分解得MN=是 夹角相等的两个三角形相似，知与△ABC相似的是 C项中的三角形. 当△ANW~△MC时是-器 6.20[解析：cD=24C,cB=2BC,光= DC_CE :AB=5,AC=25,BC=3,M为AB的中点， 5 =又∠DGE=∠ACB△DGE△ACB, 3 AC 2万解得N=子 贯岩分0=10m8=20m 综上可知，MN的长为号或子 7.证明：(1)，△ABD∽△ACE, 6.解：(1)：BA⊥x轴，BC⊥y轴，B(12,10), ∴.∠BAD=∠CAE, .AB=10. ∴.∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE, 根据题意，得OD=t,OE=3t,BF=2,其中0≤t≤4， .∠DAE=∠BAC. ∴.AF=10-2t, ∴E(3,0),F(12,10-24) (2r△4B0a4GE0-28-% (2)由(1)知，0D=t,0E=3t,AF=10-2 0A=12,.AE=12-3t. 而∠DAE=∠BAC,∴.△DAE∽△BAC. BA⊥x轴，∴.∠OAB=90°=∠AOC. 【能力提升练】 :△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相似， 1,D[解析]设每个小正方形的边长为1.在△EFG ∴.△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE. 中，两条直角边的比为二宁观察各选项，瓷 ①当△D0E~△BF时e- 2=2,只有以点D,B,F为预点的三角形与 “2动0”解得4=0（不符合愿意，会去）。 .26 △EFG相似.故选D. h=7 2.D[解析]由题图知，图形①的三边长为2,4,25， ②当△D0B△AE时，9P-S. 图形②的三边长为2万，22,4，图形③的三边长为 3t √13，√3,4，图形④的三边长为2,3，√13，图形⑤ 六10-22-3解得4=0（不符合题意，舍去）， 2=6(不符合题意，舍去) 的三边*为33,3：2929 332图形 = 故当△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相似 ②与图形⑤相似. 时 ·13 九年级数学（下册） 题型变式 6.C[解析]∠A=∠A,∠AEC=∠ADB=90°， 1.证明：如答图，过点C作CH⊥OB,交OB于点H. ÷△AEC∽△ADB,∴.∠ACE=∠ABD.又：∠AEC 由A,B,C三点的坐标可以得到OA=3,OB=4,AD= =∠FEB=90°，∴.△MECM△FEB.∠ACE= ∠ACE,∠AEC=∠FDC=90°，∴.△AEC∽△FDC. 1,CD=2,0H=CD=2,BH=0B-OH=2,CH=4. 故选C. .AB=√OA+OB 7.55°[解析]如答图，连接 =√32+42=5， BC,:四边形ABCD是圆内接 四边形，∠ADC=125°. AC=√AD+CD PL- .∠ABC=180°-125°=55°， =√+2=5， :AB是⊙0的直径，∴∠ACB BC=√Bm+CH =90°，：BE是⊙0的切线， 1题答图 .∠ABE=90°.AB=AE· =22+42=25. 在△ABC和△ACD中， AC,脚指-怨△BE 7题答图 骆-95%95是音5 Rt△ACB,.∠E=∠ABC=55 25 65把 8证明侣-膏-号%子品-品 .AB BC 又.∠ACB=∠D=90°，∴Rt△ABC∽Rt△CBD .△ABC∽△ACD. 2.证明：设正方形ABCD的边长为a, 【能力捉升练】 1.B[解析]①中阴影部分的三角形与原三角形有 则AD=BC=CD=a. 两个角相等，所以两个三角形相似；②中阴影部分 Q是CD的中点，.DQ=QC= 2a. 的三角形与原三角形有两个角相等，所以两个三角 形相似：③中两三角形的对应边不成比例，所以两 BP=3PC.PC= 4a, 个三角形不相似；④中两三角形对应边成比例且夹 角相等，所以两个三角形相似.故选B. 1 2.B[解析]，∠ACB=90°，D是AB边的中点，∴CD AD DO PC91=2, OC CP' =AD,.∠ACD=∠CAD.又AF⊥CD于点E, 2a 4a .∠AEC=90°，.∠AEC=∠BCA,∴.△ACEn 又∠D=LC=90°， △BAG.:CE⊥AF,∴∠CEF=90°.∠ACB=90°， ∴∠ECF+∠ACE=∠ECF+∠AFC=90°，.∠ACE .△ADQ△QCP. =∠AFC.∴.△ACEn△AFC,:∠ECF+∠ACE= 课时3两角相等判定三角形相似 ∠ACE+∠CAE=90°，，∠ECF=∠EAC. 【基础玩固练】 又∠AEC=∠CEF,,△ACE∽△CFE,.图中与 1.B[解析]：△ABC与△BDE都是等边三角形. △ACE相似的三角形共有3个，分别为△BAC, 六∠A=∠BDF=6O°.：∠ABD=∠DBF,∴.△BFD △AFC,△CFE.故选B. △BDA,与△BFD相似的三角形是△BDA.故选B. 3.5[解析]：AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,又 2.C[解析]：∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,∴.△ADE ∠BAC=∠BDC.∴.∠CAD=∠BDC.∠ECD= 一△4C…把-怎p子-普解释=3 ∠C△DCaB0D,-品号-g 3.∠A=∠D(答案不唯一) ∴CA=9,∴.AE=AC-CE=9-4=5. 4.证明：，DE是AB的垂直平分线， 4.解：在矩形ABCD中，AB=CD=4,AB∥CD,∠ADC =90°. ∴AD=BD,∴.∠BAC=∠ABD. ∠BAC=40°，∴∠ABD=40. 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD=5. ∠ABC=80°， ~E为AB的中点：AE=2AB=2 ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°=∠BAC. AB∥CD,∴.∠ACD=∠BAC,∠CDF=∠AEF, ,∠C=∠C,∴.△ABC∽△BDC. 5.C【解析]根据题意可得，品-品培合LADC= △4M8acrg-0-2. ∠CDB可得△ADC∽△CDB. cp=2an=号4c=号x5=号 ·14·九年级数学（下册） 专项3 平行线分线段成比例常用的6种技巧 [答案P12] 技巧①等线段代换法证比例式 技巧④平行法证比例式 ①如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC上的点， 4如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，△ABC 连接DE并延长，与BA的延长线交于点F,且 与△DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC BD=DC求证瓷-品 于点G,线段AE交CD于点F,连接GF 求证：(1)△ACE≌△BCD; （22-号 1题图 4题图 技巧②等积代换法证比例式 2如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是 技巧⑤等比例过渡法证线段相等 △ABC内一点，DE∥BC,过D作AC的平行线交 CE的延长线于点F,CF与AB交于点P. 5已知：∠1=∠2，CD=DE,EF∥AB. 求证器路 求证：EF=AC. 2题图 5题图 技巧③等比例代换法证比例式 3如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥CD 技巧⑥同分母的中间比代换法证线段间关系式 求证胎船 6如图，AC∥EF∥BD, 求证：（能+能1： a0+而记 6题图 3题图 20g 见此图标眠科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第二十七章相似 课时2三边关系、边角关系判定三角形相似 《基础巩固练 [答案P12] 知调直①三边成比例的两个三角形相似 细舰②两边成比例且夹角相等的两个三角形 1如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形 相似 的是 ⑤（武汉东西湖区质检）如图，下列四个三角形中， 与△ABC相似的是 () 2 3 1题图 B675} A.①和② B.②和③ 5题图 C.①和③ D.无法确定 2甲三角形的三边长分别为1,2,5，乙三角形的 三边长分别为5,5，√10，则甲、乙两个三角形 人750 A ( A.一定相似 B.一定不相似 6(北京石最山区二模)如图，为估算某鱼塘的长 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 度AB,在陆地上取点C,D,E,使A,C,D在一条 目如图，已知8-能-e∠BD=20,∠DME= 直线上，B,C,E在一条直线上，且CD=2AC, 60°，则∠DAC的度数为 CE=BC.若测得D的长为10m,则AB的长 为 m 3题图 ④（福瑰泉州南安模拟）如图，A,B,C三点均在边 长为1的小正方形组成的网格的格点上 6题图 (1)请在图中标出点D,连接AD,BD,使得 ☑如图，△ABD∽△ACE. △ABD与△CBA相似； 求证： (2)试证明上述结论， (1)∠DAE=∠BAC; (2)△DAE∽△BAC. 4题图 7题图 见此图标服井音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 21 九年级数学（下册） 《能力提升练 [答案P13] ①（辽宁沈阳期来）如图，在5×6的方格中，画有6[核心素养]如图，在平面直角坐标系中，B(12, 格点△EFG,以下列选项中的格点与E,G两点 10),过点B作x轴的垂线，垂足为A,过点B作 为顶点的三角形中，和△EFG相似的是（) y轴的垂线，垂足为C.点D从点O出发，沿y轴 A.点AB.点B C.点C D.点D 正方向以每秒1个单位长度的速度运动；点E 从点O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度 的速度运动；点F从点B出发，沿BA方向以每 秒2个单位长度的速度运动.当点E运动到点A CI D 时，其余三点随之停止运动，设运动时间为：秒. (1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标： G (2)若△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相 1题图 2题图 似，求t的值. 2如图，网格中相似的两个三角形是 A.①与④ B.②与③ C.①与⑤ D.②与⑤ 3(山西期州期城期末)在△ABC中，AB=6,AC= 8,BC=9,将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的 6题图 阴影三角形与原三角形不相似的是 4C B 3 A ○题型变式 讲本P14答案P14 4将三角形纸片（△ABC)按如图的方式折叠，使点 们（题型2·典例2变式）如图，在平面直角坐标系 B落在边AC上，记为点B',折痕为EF.已知AB =AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点的三角 中，已知A(3,0),B(0,4),C(4,2),作CD⊥x 形与△ABC相似，则BF= 轴，垂足为点D,连接AB,BC,AC.求证：△ABCM △ACD. y 4题图 5如图，已知在△ABC中，AB=5,AC=25,BC= 3,M为AB边的中点，在线段AC上取点N,使 1题图 △AMN与△ABC相似，求线段MN的长 2(题型2·典例3变式)如图，已知在正方形 ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC,Q是 5题图 CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP. 2题图 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩