4.1 函数-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦函数概念、三种表示方法及自变量取值范围，通过旧识回顾常量与变量，结合气温变化图、乌鸦喝水故事等生活情境，搭建从变量关系到函数概念的学习支架。 其亮点在于以生活实例导入，通过摩天轮高度变化等探究活动，培养抽象能力与几何直观。典例分析结合中考题，强调“唯一对应”判断函数关系，训练推理意识。采用多元表示法搭配变式训练，提升应用意识，帮助学生从生活中抽象数学概念，教师可利用分层训练和中考衔接提高教学效率。

4.1 函数 第四章 一次函数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 4.1 函数 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能够准确理解函数的概念，明确函数中自变量、因变量的含义，以及函数的三要素（定义域、值域、对应法则）。 熟练掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），能根据具体问题选择合适的方法表示函数，并能从函数的不同表示形式中获取信息。 过程与方法目标 通过分析生活中大量的实例，经历从具体到抽象概括函数概念的过程，培养学生的抽象思维能力和数学建模能力。 在探究函数表示方法的过程中，体会不同表示方法的特点和优势，提高学生分析问题、解决问题的能力，增强知识迁移能力。 情感态度与价值观目标 让学生感受函数在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和热情。 在小组合作与交流中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。 二、教学重难点 教学重点 函数的概念及函数三要素的理解。 函数的三种表示方法及其应用。 教学难点 对函数概念中 “任意一个自变量都有唯一确定的因变量与之对应” 这一本质特征的理解。 根据实际问题构建函数关系，并选择合适的表示方法。 三、教学方法 讲授法、讨论法、探究法、情境教学法 四、教学过程 （一）情境导入（5 分钟） 展示生活中的一些现象： 现象一：随着时间的推移，气温在不断变化，记录一天中不同时刻的气温。 现象二：汽车在行驶过程中，行驶的路程会随着行驶时间的增加而增加。 现象三：购物时，购买商品的总价与购买商品的数量有关。 提问学生：“在这些现象中，都存在着两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？” 引导学生思考变量之间的对应关系，从而引出本节课的课题 —— 函数。 （二）探究新知（20 分钟） 函数的概念（10 分钟） 给出更多具体的例子，如： 例子一：在圆的面积公式\(S = \pi r^2\)中，对于半径\(r\)的每一个确定的值，面积\(S\)都有唯一确定的值与之对应。 例子二：某手机套餐每月费用\(y\)（元）与通话时长\(x\)（分钟）的关系，当通话时长\(x\)确定时，费用\(y\)根据套餐规定有唯一确定的值。 引导学生观察这些例子，分析变量之间的对应关系，组织学生进行小组讨论：“这些对应关系有什么共同特点？” 小组代表发言后，教师进行总结归纳，给出函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量\(x\)与\(y\)，并且对于\(x\)的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数。 进一步讲解函数的三要素，强调定义域是自变量\(x\)的取值范围，值域是函数值\(y\)的取值范围，对应法则是确定\(x\)与\(y\)之间对应关系的规则。通过具体例子，让学生找出函数的定义域、值域和对应法则，加深对函数概念的理解。 函数的表示方法（10 分钟） 解析法：以\(S = \pi r^2\)、\(y = 2x + 1\)等为例，讲解解析法的定义，即通过数学式子表示两个变量之间的函数关系。分析解析法的优点是能准确地反映出函数与自变量之间的数量关系，便于进行理论分析和计算；缺点是不够直观。 列表法：展示某商店一周内每天的销售额表格，说明列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。引导学生分析列表法的特点，优点是一目了然，能直接从表格中获取自变量和函数值的对应数据；缺点是不能全面地反映函数的变化情况，只能列出部分自变量和函数值的对应关系。 图象法：画出一次函数\(y = x\)的图象，讲解图象法是用图象来表示两个变量之间的函数关系。让学生观察图象，体会图象法的优势是非常直观形象，能清晰地展示函数的变化趋势；缺点是从图象上获取的函数值往往是近似的。 通过具体问题，如描述某物体自由下落过程中下落距离与时间的关系，让学生分别用三种方法表示函数，感受不同表示方法的特点，学会根据实际问题选择合适的函数表示方法。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习： 判断下列关系是否为函数关系： ①\(y = \pm\sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）； ②班级中每个学生的学号与身高的关系。 已知函数\(y = 2x - 1\)，当\(x = 2\)时，求函数值\(y\)；当\(y = 5\)时，求自变量\(x\)的值。 提高练习： 某文具店销售一种笔记本，每本售价为\(5\)元，试分别用解析法、列表法（列出购买\(1\)本、\(2\)本、\(3\)本、\(4\)本、\(5\)本时的情况）、图象法表示购买笔记本的总价\(y\)（元）与购买数量\(x\)（本）之间的函数关系。 已知函数\(y = \frac{1}{x - 2}\)，求该函数的定义域。 拓展练习： 观察生活中的一个实际问题，如水电费的收取标准与使用量的关系，建立函数模型，并选择合适的方法表示出来。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说函数的概念、函数的三要素以及函数的三种表示方法。 教师进行补充和完善，强调函数概念的核心要点，以及不同函数表示方法的特点和适用场景，帮助学生构建完整的知识体系。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本上相关练习题，巩固函数的概念和表示方法。 选做题：查阅资料，了解函数在其他学科（如物理、化学等）中的应用，写一篇简短的报告。 实践题：记录一周内自己每天的零花钱支出情况，以天数为自变量，支出金额为因变量，尝试用合适的方法表示它们之间的函数关系 。 五、教学反思 在教学过程中，关注学生对函数概念的理解程度，分析学生在判断函数关系、确定函数三要素以及选择函数表示方法时出现的问题。思考教学方法是否有效引导学生进行探究和理解，教学活动的设计是否符合学生的认知水平。针对学生的反馈，及时调整教学策略，加强对重难点内容的讲解和练习，提高教学效果。 此教案注重理论与实践结合，助力学生掌握函数知识。你若对教学环节、案例选取等方面有新想法，欢迎随时和我说，我会进一步优化。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过阅读课本，学生能判断两个变量间的关系是否可以看成函数，培养学生的抽象概括能力． 2．通过自主学习和合作学习，学生能根据两个变量的关系求未知量，培养学生的数感和计算能力． 3．通过教师讲评，学生能掌握函数的三种表示方法，了解其特点，培养学生的概括总结能力．教学重难点教学重点,掌握函数的概念以及表示方法． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．什么叫常量？ 2．什么叫变量？ 在变化过程中数值始终不变的量叫做常量 在变化过程中不断变化的量叫做变量 情境导入 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图． 从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？ 新知导入 一级标题：黑体， 5 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 引入新知 由低变高，再由高变低. 探究新知 知识点 1 函数及相关概念 故事导入 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是(　　) B 一级标题：黑体， 7 t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … 如图反映了摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间的关系. 3 13 36 47 36 13 探究新知 （1）根据右图填表： （2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 确定 探究新知 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … 1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 这个问题中的变量有几个？分别是什么？ 探究新知 做一做 1 3 6 10 15 层数与物体总数 只要给定层数，就能求出物体总数. 探究新知 探究新知 2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T（K）与摄氏温度t（℃）之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0. （1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？ （2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？ 探究新知 探究新知 （1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？ 解：当t为-43℃时， T= -43+273=230（℃）; 当t为-27℃时， T= -27+273=246（℃）; 当t为0℃时， T=0+273=273（℃）; 当t为18℃时， T=18+273=291（℃）. 探究新知 解：是，因为t ≥ -273时， T≥0. 唯一一个T值 （2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？ 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 探究新知 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 函数 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. 探究新知 小结 探究新知 图象法 列表法 关系式法 表示函数的一般方法有哪些呢？ 表示函数的一般方法有： 列表法、关系式法和图象法. 探究新知 例 下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3； ③y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ． ① 提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 探究新知 素养考点 1 利用函数的定义判断函数 ② ③ （1） （2） （3） 下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？ 解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数. 巩固练习 变式训练 变量x与y的对应关系如下表所示： x 1 4 9 16 25 … y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 … 问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？ 解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”. 巩固练习 变式训练 探究新知 上述问题中，自变量能取哪些值？ 注意：要根据实际问题确定自变量的取值范围. 探究新知 知识点 2 函数值及自变量的取值范围 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值． 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 探究新知 例1 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子. 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x 0.1x表示的意义是什么？ 叫做函数的解析式 探究新知 素养考点 1 确定自变量的取值范围 （2）指出自变量x的取值范围； (2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　 得　0 ≤ x ≤ 500， 所以自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500. 提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义. 探究新知 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ 解: （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ (3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30. 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L. 探究新知 解: 下列函数中自变量x的取值范围是什么？ （1） ; （2） ; （3） ; 解: x取全体实数; （1） （2） 由x+2≠0得 ; x≠-2 （3） 由x-5≥0得 ; 变式训练 巩固练习 (4) . 使函数解析式有意义的自变量的全体. （4） x取全体实数. 例2 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值. 解：（1）当x=2时， ; 探究新知 素养考点 2 求函数的值 当x=3时， ; 当x=-3时，y=7. （2）令 解得 ，即当 时，y=0. 已知函数 . (1)当x=3时,求函数y的值; (2)当y=2时,求自变量x的值. 解:(1)当x=3时, . (2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16, 解得x=±4. 巩固练习 变式训练 1. ［2025郑州中原区月考］下列各图象中，不是 的函数的 是( ) C A. B. C. D. 返回 26 2. 如图是一支温度计的示意图,图中左边是用摄氏温度表示的温 度值,右边是用华氏温度表示的温度值,下表是这两个温度值之间 的部分对应关系: 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 根据以上信息,可以得到与 之间的关系式为( ) A A. B. C. D. 返回 27 3. 下列关系式中，当自变量时，函数值 的是 ( ) B A. B. C. D. 4.下列式子:;; ; ，其中具有函数关系（自变量为 ）的是 ______.（填序号） ①② 5.函数的自变量 的取值范围是_____________. 且 返回 28 6. 教材P77习题 蛇的体温随外部环境温度的变化而 变化.一条蛇在两昼夜之间的体温变化情况如图所示. 29 （1）第一天,蛇体温的变化范围 是什么?它的体温从最低上升到最 高需要多少时间? 【解】由题图可知第一天即横坐 标在0到24之间，在此范围内图象的最高点坐标是 ， 最低点坐标是，故蛇体温的变化范围是 ，它 的体温从最低上升到最高需要 . 30 （2）若用表示时间（单位:）,表示蛇的体温（单位: ）, 将相应数据填入下表: 4 12 20 28 32 40 48 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 35 39 39 35 37 40 36 31 （3）是 的函数吗? 是 的函数. 返回 32 （第7题） 7. 如图，要围一个长 方形 的菜园，菜园的一边利用足 够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三 边.为了方便进出，在 边上留了一个 2米宽的小门.设边的长为米， 边 C A. B. C. D. 的长为米，则与 之间的关系式是 ( ) 返回 33 （第8题） 8.下列关于两个变量关系的四种表述中，正确 的是________.（填序号） ②③④ ①如图，曲线表示是 的函数. ②圆的周长是半径 的函数； ③表达式中，是 的函数； ④如下表，是 的函数； 1 2 3 6 3 2 34 函数 概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数. 函数值 自变量的取值范围 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 课堂小结 函数的关系式：三种表示方法 谢谢观看！ $