2.3.5 二次根式的乘除-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件、乘除法则及最简二次根式，通过正方形面积、自由落体时间等情境导入，结合平方根、算术平方根复习，搭建旧知到新知的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于以情境创设发展数学眼光，从现实问题抽象二次根式概念，通过例题流程分析和归纳小结培养数学思维，结合中考考点和变式训练强化数学语言应用。学生能提升抽象能力和推理意识，教师可借助系统资源提高教学效率。

2.3.5 二次根式的乘除 第二章 实数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 展示一个长方形花坛，长为√12 米，宽为√3 米，求其面积。 提问：如何计算√12 × √3 ？是否等于√(12×3)？ 复习回顾 回顾平方根的性质：√a² = a (a≥0) 计算：√4×√9 = 2×3 = 6，√(4×9) = √36 = 6 引导学生观察并猜想二次根式乘法法则。 （二）探究新知（20 分钟） 二次根式的乘法法则（10 分钟） 推导法则 通过计算多组实例：√2×√3 = √6，√5×√7 = √35 归纳得出：√a・√b = √(ab) (a≥0, b≥0) 几何验证 用边长为√a 和√b 的正方形面积解释法则 例题讲解 例 1：计算√5×√7 = √35 例 2：计算 2√3×3√2 = 6√6（强调系数与根式分别相乘） 例 3：计算√12×√3 = √36 = 6（结果化简） 二次根式的除法法则（10 分钟） 类比推导 计算√12/√3 = 2，√(12/3) = 2 归纳得出：√a/√b = √(a/b) (a≥0, b>0) 分母有理化 引入概念：将分母中的根号化去 例 4：化简 1/√2 = √2/2（分子分母同乘√2） 例 5：化简√3/√5 = √15/5（分子分母同乘√5） （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习 计算：√6×√8，3√2×2√5，√15/√3 化简：√24/√6，√18/√2，1/√3 提高练习 计算：(2√3 + √5)(√3 - √5) 化简：(√5 + 2)/(√5 - 2)（提示：分母有理化） 实际应用 已知直角三角形两条直角边分别为√8cm 和√12cm，求斜边长度。 （四）课堂小结（5 分钟） 知识总结 二次根式的乘法法则：√a・√b = √(ab) (a≥0, b≥0) 二次根式的除法法则：√a/√b = √(a/b) (a≥0, b>0) 分母有理化的方法 思想方法 类比思想、从特殊到一般的归纳思想 （五）布置作业（课后完成） 必做题 教材习题 2.3.5 第 1-5 题 化简：√18×√2/3，(√7 + √3)(√7 - √3) 选做题 探究：√a + √b = √(a + b) 是否成立？请举例说明。 五、教学反思 在教学过程中，需关注学生对法则中字母取值范围的理解，以及分母有理化的掌握情况。通过多样化的练习，帮助学生克服计算中的常见错误，提高运算的准确性和速度。 此教案注重知识形成过程和实际应用。如需调整例题难度、增加教学活动或补充多媒体资源，可随时告知。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过掌握二次根式的概念，能确定被开方式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性，提高学生的理解能力． 2．通过借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想，应用联系的观念，得到二次根式的性质，发展抽象能力． 3．通过从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，发展应用意识；从算术平方根到二次根式，体会知识之间的联系． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．什么是平方根？ 2．什么是算术平方根？ 3．算术平方根的性质是什么？ 平方根又叫二次方根，表示为± 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根 双重非负性： ≥0(a≥0)．互逆性： ＝|a|＝ ( )2＝a(a≥0) 情境导入 (1)如图①的海报为正方形，若面积为2 m2,则边长为_____m;若面积为S m2，则边长为______ m. (2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6 m2，则它的宽为______m. 新知导入 一级标题：黑体， 5 (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为________。 一级标题：黑体， 6 问题1这些式子分别表示什么意义? 问题2 这些式子有什么共同特征? ①根的指数都为2.②被开方数为非负数 分别表示2，S，3，的算术平方根 ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 这些式子有什么共同特征？ 探究新知 知识点 1 二次根式的概念 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 提示：a可以是数，也可以是式. 探究新知 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式 （1） ； （2）81； （3） ；（4） （5） （6） ；（7） 下列各式是二次根式吗? 是 是 是 是 是 巩固练习 （1） （2） （3） （4） （6） （5） （7） （8） （9） （10） 不是 不是 不是 不是 不是 变式训练 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， 所以x＞1. 探究新知 素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 （1） 解：因为被开方数需大于或等于零， 所以x+3≥0，即x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以x-1≠0，即x≠1. 所以x≥-3 且x≠1. 归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 探究新知 （2） x取何值时,下列二次根式有意义? 巩固练习 （1） （2） x≥1 x≤0 （3） （4） x为全体实数 x>0 （5） （6） x≥0 x≠0 x≥-1且x≠2 (7) （9） x>0 x为全体实数 (8) 变式训练 （1） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 你发现了什么？ 探究新知 知识点 2 二次根式的运算法则 做一做 15 ＝ ， 6.480 ＝　 　； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 你有何发现？ 探究新知 （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）． 商的算术平方根等于算术平方根的商. 积的算术平方根等于算术平方根的积. 探究新知 归纳小结 化简: 解：(1) (2) (3) （1） ； （2） ；（3） . 探究新知 素养考点 1 利用二次根式的积的算术平方根进行计算 例1 化简: 提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来. 巩固练习 （1） （2） （3） 解: （1） （2） （3） 变式训练 解: 探究新知 素养考点 2 利用二次根式的商的算术平方根进行计算 化简：（1） （2） （3） 例2 （1） （2） （3） 化简： （7） 巩固练习 解： 变式训练 （2） （3） （1） 特点：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. 最简二次根式： 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 讨论 探究新知 知识点 3 最简二次根式的概念 右边一组数有哪些特点？ 最简二次根式的条件： ①是二次根式； ②被开方数中不含分母； ③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 探究新知 条件总结 例 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由． 解：(1)不是，因为被开方数中含有分母． (3)不是,因为被开方数是小数(即含有分母)． (4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22. (5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式． (6)不是,因为分母中有二次根式． 探究新知 素养考点 1 识别最简二次根式 (2)是． 方法点拨 判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法： 利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断： (1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)； (2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不含二次根式的条件． 探究新知 1. ［2025周口期中］在式子， ， ，，3，， 中，二 次根式有( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若式子有意义，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 26 3. 等式“( ) ”中，括号内应填入( ) A A. 6 B. 3 C. D. 4. ［2025重庆万州区期末］估计 的值应在 ( ) A A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 若一个无理数与 的积是一个有理数， 写出 的一个值是__________________. （答案不唯一） 返回 27 6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国 名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁 盒，若其内部底面半径为，深 ， 则其容积为________（结果保留根号和 ）. 返回 28 7. 教材P42例2 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 29 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 返回 31 8. 如果是整数，那么整数 是( ) C A. 6或3 B. 3或1 C. 2或18 D. 18 返回 32 9. 如图，数轴上有，，，， 五个点， 根据图中各点所表示的数，则表示数 的点会落 在( ) B A. 点和点之间 B. 点和点 之间 C. 点和点之间 D. 点和点 之间 返回 33 10.问题探究：因为 ，所以 .因为 ，所以 .请你根据以上规律，结合你的经验化简 _______. 11. 已知一个长方体木块放在水平的桌面上， 木块的长、宽、高分别是，， ，若 木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则 的值等于 _ ___. 返回 34 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 积的算术平方根 最简二次根式 课堂小结 商的算术平方根 谢谢观看！ $