2.3.4 实数 -【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件围绕实数的概念、分类、相关概念（相反数、倒数、绝对值）及数轴表示展开，通过A4纸奥妙视频情境导入，结合旧识回顾有理数与无理数，引导学生计算小数形式探究实数定义，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以情境视频和探究活动发展抽象能力与几何直观，如通过计算有理数小数形式归纳实数定义，用数轴表示√2、√5体现数形结合。典例含中考题及新定义题，培养推理意识，小结结构化梳理分类与概念，助力学生理解，方便教师高效教学。

2.3.4 实数 第二章 实数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 实数 教案 一、教学目标 知识与技能目标 学生能准确理解实数的概念，清晰掌握实数的分类方法，明确有理数和无理数是实数的组成部分。 熟练掌握在数轴上表示实数的方法，理解实数与数轴上的点一一对应的关系。 能够熟练进行实数的四则运算，包括加、减、乘、除以及乘方、开方运算，理解运算规则在实数范围内的通用性和特殊性。 过程与方法目标 通过对有理数和无理数的整合，经历实数概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。 在探究实数与数轴上的点的对应关系过程中，体会数形结合的数学思想，提高学生运用数学思想方法解决问题的能力。 通过实数运算的练习，增强学生的运算能力和解决实际问题的能力，培养学生严谨的数学思维习惯。 情感态度与价值观目标 让学生感受数学知识的系统性和连贯性，体会数学知识的发展历程，激发学生学习数学的兴趣和热情。 在合作学习和探究活动中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。 二、教学重难点 教学重点 实数的概念及分类，包括按定义分类（有理数和无理数）和按正负性分类（正实数、零、负实数）。 实数与数轴上的点一一对应的关系，以及如何在数轴上准确表示实数。 实数的四则运算规则和运算方法，包括运算顺序、符号处理等。 教学难点 理解无理数的本质，区分有理数和无理数，尤其是对无限不循环小数的理解。 深刻理解实数与数轴上的点一一对应的关系，体会这种对应关系在数学中的重要意义。 掌握实数运算中一些特殊情况的处理，如含有无理数的运算、开方运算结果的化简等。 三、教学方法 讲授法、讨论法、演示法、练习法 四、教学过程 （一）复习导入（5 分钟） 回顾有理数的相关知识，提问学生：“什么是有理数？有理数可以怎样分类？” 引导学生回答有理数包括整数和分数，也可以按照正有理数、零、负有理数进行分类。 展示一些数，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)、\(0.1010010001\cdots\)（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），让学生判断这些数是否为有理数，引发学生的认知冲突，从而引出本节课的课题 —— 实数。 （二）探究新知（20 分钟） 实数的概念（5 分钟） 讲解实数的定义：有理数和无理数统称为实数。强调无理数是无限不循环小数，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等，而有理数是有限小数或无限循环小数。 举例说明一些常见的无理数形式，如开方开不尽的数（\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt[3]{5}\)等）、含\(\pi\)的数（\(2\pi\)、\(\pi - 1\)等）、特定规律的无限不循环小数（如前面展示的数）。 实数的分类（5 分钟） 引导学生对实数进行分类，从定义角度分为有理数和无理数；从正负性角度分为正实数、零、负实数。通过表格形式展示分类情况，帮助学生理解和记忆。 | 分类标准 | 分类结果 | 具体例子 | |---|---|---| | 按定义分 | 有理数 | 整数：\(0\)，\(\pm1\)，\(\pm2\)等；分数：\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)等 | | | 无理数 |\(\sqrt{2}\)，\(\pi\)，\(0.1010010001\cdots\)| | 按正负性分 | 正实数 | 正有理数：\(3\)，\(\frac{2}{3}\)等；正无理数：\(\sqrt{5}\)，\(2\pi\)等 | | | 零 | \(0\) | | | 负实数 | 负有理数：\(-2\)，\(-\frac{1}{5}\)等；负无理数：\(-\sqrt{3}\)，\(-\pi\)等 | 实数与数轴上的点的对应关系（5 分钟） 演示在数轴上表示有理数的方法，如表示\(2\)、\(-1.5\)等。 提出问题：“如何在数轴上表示无理数\(\sqrt{2}\)？” 通过构造边长为\(1\)的正方形，利用勾股定理得到其对角线长为\(\sqrt{2}\)，然后以原点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为\(\sqrt{2}\)在数轴上的位置。 总结得出：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 实数的运算（5 分钟） 讲解实数的运算规则，指出有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。 举例进行实数的运算演示，如\(2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}\)（合并同类二次根式）、\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\)（二次根式乘法）、\((\sqrt{5})^2 = 5\)（二次根式乘方）等，强调运算顺序和符号处理。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习：判断下列数哪些是有理数，哪些是无理数：\(\sqrt{9}\)、\(\frac{22}{7}\)、\(-\sqrt[3]{8}\)、\(\sqrt{7}\)、\(0.333\cdots\)、\(\pi - 3\)。 提高练习：在数轴上大致表示出\(\sqrt{5}\)和\(-\sqrt{3}\)的位置。 综合练习：计算\(3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{8}\)、\((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)\)。 学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行讲解。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说实数的概念、分类、与数轴上的点的对应关系以及实数的运算规则。 教师进行补充和完善，强调重点内容和易错点，如无理数的判断、实数运算中的符号处理等。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成课本习题中与实数概念、分类、运算相关的题目。 选做题：思考如何利用实数与数轴上的点的对应关系解决实际问题，如在设计图纸上表示一些长度为无理数的线段等，并写一篇简短的报告。 五、教学反思 在教学过程中，关注学生对实数概念和分类的理解程度，以及在实数运算中出现的问题。分析学生在区分有理数和无理数、进行实数运算时的困难点，思考教学方法是否得当，教学内容的呈现是否清晰易懂。针对学生的反馈，及时调整教学策略，加强对重难点内容的讲解和练习，提高教学效果。 此教案全面覆盖实数相关知识。若你对教学环节时长分配、例题难度等有调整需求，欢迎告诉我进一步修改。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过了解实数的概念并能按要求将实数进行分类，会在实数范围内求一个数的相反数、倒数、绝对值，发展运算能力． 2．通过利用数轴上的点来表示实数的过程，将数和图形结合在一起，让学生进一步体会数形结合的思想，发展应用意识． 3．通过运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 旧识回顾 1．什么是有理数？有理数怎样分类？ 2．什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称．有理数可分为正有理数、0、负有理数 无理数的定义是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数，如 ，要看a的取值 情境导入 请同学们观看视频了解A4纸的奥妙 新知导入 一级标题：黑体， 5 （1）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？ （2）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？ 探究新知 知识点 1 实数的概念和分类 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 探究新知 无限不循环的小数 ---------- 叫做无理数. 你能举出一些无理数吗？ 0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕 －168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕 探究新知 =1.41421356237309504880168… =1.70997594667669698935310… 思考 我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？ 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实 数 按定义分 分数 整数 女孩子 男孩子 妈妈 含开方开不尽的数 有规律但不循环的小数 含有π的数 探究新知 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1） 有理数集合 无理数集合 把下列各数分别填入相应的集合内： 试一试 探究新知 无理数和有理数一样，也有正负之分. 如： 是 的， -π是 的. 正 负 大于 0 的实数 包括所有的正有理数和正无理数. 【正数】 【负数】 小于 0 的实数 包括所有的负有理数和负无理数. 探究新知 正数集合 负数集合 探究新知 1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗? 议一议 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1） 实数的 第一种分类 实数的 第二种分类 2. 0属于正数吗?属于负数吗? 3. 实数还可以怎样分类? 实数 有理数 无理数 实数 正实数 负实数 0 探究新知 议一议 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 按性质分 0 正无理数 负无理数 探究新知 0 正实数 负实数 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 探究新知 素养考点 1 实数的分类 把下列各数填入相应的集合内： （1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 巩固练习 变式训练 16 提示1：在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内 的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同. 1.5的相反数是（ ），绝对值是（ ）,倒数是（ ）. -1.5 1.5 知识点 2 实数范围内的相关概念 探究新知 相反 倒 17 （1） a 是一个实数 ，它的相反数为-a. ( a﹤0) （3） ︳ a ︳ = 　　　　　　　　　　　　　　 ( a=0) ( a﹥0) a 0 - a 探究新知 小结 （2） 如果 a ≠ 0 ，那么它的倒数为 . 18 提示2：有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用. 例如： 探究新知 例 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 探究新知 素养考点 1 实数相关概念的应用 相反数 倒数 绝对值 -2 7 -2 20 (1)正实数的绝对值是 ，0的绝对值是 ，负实数的绝对值是　 . 它本身 0 它的相反数 7 巩固练习 变式训练 (2) 的相反数是 ，绝对值是 ． (3)绝对值等于 的数是 ， 的平方是 ． - ± 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则点A的坐标为多少？ -4 -2 0 1 2 3 4 -1 -3 无理数 可以用数轴上的点来表示. A 问题1 无理数能在数轴上表示出来吗？ 探究新知 知识点 2 实数与数轴的关系 －2 －1 0 1 2 - 问题2（1）你能在数轴上表示出 吗？ 探究新知 0 1 2 3 -1 1 2 0 1 2 -1 -2 A 一个实数a （2）你能在数轴上作出 的对应点吗？ 探究新知 （3）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？ －2 －1 0 1 2 B A C 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大. 数轴上的点有些 表示有理数，有 些表示无理数. 探究新知 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的. 解：因为数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ， 所以点B到点A的距离为1＋ ，则点C到点A的距离为1+ ， 设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x， 所以-1-x＝1＋ ， 所以x＝-2- . 例 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ， 点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数． 探究新知 素养考点 1 求数轴上的点表示的实数值 A B -1 0 如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D D C D A B 4 3 2 1 0 -1 -2 连接中考 1.判断对错 （1）实数不是有理数就是无理数. （ ） （2）无理数都是无限不循环小数. （ ） （4）无理数都是无限小数. （ ） （3）带根号的数都是无理数. （ ） （5）无理数一定都带根号. （ ） × × 基础巩固题 课堂检测 1. ［2024烟台］下列实数中的无理数是( ) C A. B. 3.14 C. D. 2. 已知 是实数，下列各式的立方根一定是正数的是( ) C A. B. C. D. 返回 29 3. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一 个正方体铁块拴住，完全浸没在盛满水的圆柱形烧杯中.若用 一量筒量得被铁块排出的水的体积为 ，则该正方体铁 块的棱长为( ) A A. B. C. D. 返回 30 4. ［2024重庆］已知，则实数 的范围是 ( ) B A. B. C. D. 返回 31 5. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的化简结果是( ) B A. 1 B. 2 C. D. 返回 32 6. 对于实数，,定义, 的含义为：当 时，,,当时，, .例如： ，.已知，,， ， 且和为两个连续正整数，则 的算术平方根为 ( ) D A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 返回 33 7. 已知，，，若 为整 数且，则 的值为( ) C A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 8. 已知按照一定规律排成的一列实数： ，，，，，，，，，， ， 据此可推得这一列数中的第2 025个数应是( ) A A. B. C. 45 D. 2 025 返回 34 二、填空题（每题4分，共20分） 9.利用计算器计算： _____（精确到0.01）. 10.下列计算中，错误的是____.（填序号） ① ； ② ； ③ ； ④ . 0.86 ① 返回 35 11.若，则 的值为____. 19 12. 如图，，， 均为正 方形，若的面积为10，的面积为1，则 的边长可以是_________________. （写出一个答案即可） 2（答案不唯一） 13.已知的立方根是3，的算术平方根是3， 是 的整数部分，则 ____. 10 返回 36 实数 实数范围内的相关的概念 实数的概念 实数的分类 实数的数轴表示 实数的大小比较 课堂小结 相反数 绝对值 倒数 有理数和无理数统称实数 按定义分 按性质分 谢谢观看！ Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $