2.3.2 估算-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册教学课件（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦无理数估算，通过长方形荒地面积等情境问题导入，复习平方根与立方根概念，搭建从旧知到估算方法的学习支架，系统讲解夹逼法、数的大小比较及实际应用。 其亮点在于以情境化问题链驱动学习，用夹逼法培养运算能力与推理意识，结合梯子靠墙等实例发展模型意识与应用意识。分层训练覆盖例题、变式及中考题，小结梳理方法，助力学生发展估算意识，教师可高效落实核心素养。

2.3.2 估算 第二章 实数 【2025新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 用估算确定无理数的大小 教案 一、教学目标 知识与技能目标：学生能深入理解无理数的概念，熟练掌握用估算确定无理数大小的方法，准确确定无理数的整数部分和小数部分，并能比较无理数的大小。 过程与方法目标：通过观察、分析、比较、归纳等活动，经历估算无理数大小的过程，培养学生的逻辑推理能力、数感以及运算能力，提升学生运用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学知识的实用性和趣味性，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。 二、教学重难点 教学重点：掌握估算无理数大小的方法，如逼近法、平方法、夹逼法等；能运用这些方法确定无理数的整数部分和小数部分，比较无理数的大小。 教学难点：理解估算无理数大小的原理，灵活选择合适的估算方法解决不同情境下的问题，体会无限逼近的数学思想。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法、探究法 四、教学过程 （一）复习导入（5 分钟） 回顾有理数和无理数的概念，提问学生：“什么是有理数？什么是无理数？请举例说明。” 引导学生回答：有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数，如 3、0.25、\(\frac{1}{3}\)等；无理数是无限不循环小数，如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等。 展示一些数，让学生判断哪些是有理数，哪些是无理数，如\(\sqrt{9}\)、\(0.333\cdots\)、\(\sqrt{5}\)、\(-\frac{22}{7}\)、\(3.1415926\cdots\)等，巩固学生对有理数和无理数概念的理解。 提出问题：“我们已经知道了无理数是无限不循环小数，那么像\(\sqrt{5}\)这样的无理数，它的大小究竟是多少呢？我们如何来估算它的大小范围呢？” 由此引出本节课的课题 —— 用估算确定无理数的大小。 （二）探究新知（20 分钟） 估算无理数大小的方法讲解 —— 逼近法（5 分钟） 以\(\sqrt{5}\)为例，引导学生思考：因为\(2^2 = 4\)，\(3^2 = 9\)，而\(4 < 5 < 9\)，所以\(\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}\)，即\(2 < \sqrt{5} < 3\)。这就确定了\(\sqrt{5}\)的整数部分是 2。 接着进一步提问：\(\sqrt{5}\)更接近 2 还是更接近 3 呢？让学生计算\(2.5^2 = 6.25\)，因为\(5 < 6.25\)，所以\(\sqrt{5} < 2.5\)，由此可知\(\sqrt{5}\)在 2 和 2.5 之间，更接近 2。总结逼近法的步骤：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，通过比较它们的算术平方根来确定无理数的整数部分，再进一步细分来确定其更精确的范围。 小组讨论 —— 用平方法比较无理数大小（7 分钟） 给出两个无理数\(\sqrt{3}\)和\(\sqrt{2}\)，让学生分成小组讨论如何比较它们的大小。引导学生思考：因为两个数都是正数，所以可以通过比较它们平方的大小来确定原数的大小。让小组代表发言，分享小组讨论的结果：\((\sqrt{3})^2 = 3\)，\((\sqrt{2})^2 = 2\)，由于\(3 > 2\)，所以\(\sqrt{3} > \sqrt{2}\)。 教师总结平方法比较无理数大小的要点：当两个无理数都是正数时，对它们分别平方，平方大的原无理数就大；若两个无理数都是负数，则平方大的原无理数反而小。 深入探究 —— 夹逼法确定无理数的小数部分（8 分钟） 以\(\sqrt{11}\)为例，首先用逼近法确定其整数部分。因为\(3^2 = 9\)，\(4^2 = 16\)，\(9 < 11 < 16\)，所以\(3 < \sqrt{11} < 4\)，\(\sqrt{11}\)的整数部分是 3。 然后设\(\sqrt{11} = 3 + x\)（\(0 < x < 1\)），\(x\)就是\(\sqrt{11}\)的小数部分。对\(\sqrt{11} = 3 + x\)两边同时平方，得到\(11 = (3 + x)^2 = 9 + 6x + x^2\)。因为\(0 < x < 1\)，\(x^2\)相对\(6x\)很小，可忽略不计，那么\(11 \approx 9 + 6x\)，解这个方程\(6x \approx 11 - 9 = 2\)，\(x \approx \frac{2}{6} \approx 0.33\)，所以\(\sqrt{11} \approx 3.33\)。 总结夹逼法确定无理数小数部分的方法：先确定整数部分，然后设无理数为整数部分加上小数部分，通过平方等运算，忽略较小的项，求出小数部分的近似值。 （三）巩固练习（15 分钟） 基础练习：让学生独立完成课本上相关练习题，如估算下列无理数的大小范围，并确定其整数部分和小数部分：\(\sqrt{7}\)、\(\sqrt{13}\)、\(\sqrt{20}\)。教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。 拓展练习：给出比较复杂的无理数大小比较问题，如比较\(2 + \sqrt{3}\)和\(3 + \sqrt{2}\)的大小。让学生思考并解答，然后请学生上台讲解自己的解题思路，教师进行评价和总结。可以先分别计算\((2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}\)，\((3 + \sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}\)。再比较\(4\sqrt{3}\)和\(6\sqrt{2}\)的大小，\((4\sqrt{3})^2 = 48\)，\((6\sqrt{2})^2 = 72\)，因为\(48 < 72\)，所以\(4\sqrt{3} < 6\sqrt{2}\)，进而\(7 + 4\sqrt{3} < 11 + 6\sqrt{2}\)，即\(2 + \sqrt{3} < 3 + \sqrt{2}\)。 （四）课堂小结（5 分钟） 请学生回顾本节课所学内容，说一说估算无理数大小的方法有哪些，如何确定无理数的整数部分和小数部分，怎样比较无理数的大小。 教师进行补充和完善，强调估算无理数大小的关键是找到合适的参照数（如完全平方数等），灵活运用逼近法、平方法、夹逼法等方法，以及在比较大小时要注意数的正负性等问题。同时，再次强调无限逼近思想在数学中的重要性。 （五）布置作业（课后完成） 必做题：完成练习册上与估算无理数大小相关的习题，进一步巩固所学方法。 选做题：寻找生活中至少 2 个可以用估算无理数大小来解决的实际问题，如计算不规则图形的边长（涉及无理数）时如何估算其范围等，并记录下来，尝试用本节课所学知识进行解答，下节课进行分享。 五、教学反思 在教学过程中，密切观察学生对估算无理数大小方法的掌握程度，以及在比较大小和确定整数、小数部分时的表现。分析学生在理解逼近法、平方法、夹逼法等方法的原理和运用过程中存在的困难，思考教学方法是否生动形象、易于学生理解，教学活动的设计是否能有效引导学生积极参与探究。针对学生出现的问题和教学过程中发现的不足，在今后的教学中及时调整教学策略，加强对重难点内容的讲解和练习，采用更多实例帮助学生理解，提高教学效果 。 互逆命题、互逆定理教案 一、教学目标 知识与技能目标 理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。 会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。 过程与方法目标 通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。 经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。 情感态度与价值观目标 培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。 让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。 二、教学重难点 重点 互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。 能正确写出一个命题的逆命题。 难点 判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。 用逻辑推理的方法证明命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入新课（5 分钟） 展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a²=b²”。引导学生分析这些命题的题设和结论。 提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。 （二）讲授新课（25 分钟） 互逆命题 给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。 组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。 命题真假的判断 引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。 以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。 让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。 互逆定理 给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。 强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。 （三）例题讲解（15 分钟） 例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。 （1）如果 a = 0，那么 ab = 0。 （2）全等三角形的对应角相等。 （3）等腰三角形的两个底角相等。 分析： （1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。 （2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。 （3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。 例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。 分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。 已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。 因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD（公共边）， 所以△ABD≌△ACD（AAS）。 所以 AB = AC。 （四）课堂练习（10 分钟） 写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1）如果 x = 2，那么 x² = 4。 （2）直角三角形的两个锐角互余。 （3）对顶角相等。 判断下列说法是否正确： （1）每个命题都有逆命题。 （2）每个定理都有逆定理。 （3）真命题的逆命题一定是真命题。 （4）假命题的逆命题一定是假命题。 （五）课堂小结（5 分钟） 与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。 强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。 （六）布置作业（5 分钟） 课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。 拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。 五、教学反思 在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 1. 通过估算一个无理数的大致范围，会比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题，发展运算能力． 2．通过经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感． 3．通过体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情，发展应用意识． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 3 某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米 1．公园的宽大约是多少？它有1000米吗？ 2．如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ 3．该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米²，你能估计它的半径吗？（误差小于1米） 情境导入 新知导入 一级标题：黑体， 4 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？ 1000 2000 S=400000 2000×1000=2000000 >400000 公园的宽没有1 000m. 探究新知 知识点 1 用估算确定无理数的大小 解: 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2. (2)如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？ x 2x S=400000 x×2x=400000 2x2=400000 x2=200000 探究新知 x= 大约为450m. 解: (3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1m) S=800 r πr2=800 r2≈254.8 探究新知 解: 大约为16m. r= 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2. 1.怎样估算无理数 (误差小于0.1)？ 夹逼法(逼迫原理) 探究新知 2.怎样估算无理数 (误差小于1)？ 夹逼法 探究新知 3.估算无理数 (精确到个位数）？ 夹逼法(逼迫原理) 探究新知 议一议 （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流. ≈ 0.66 ≈ 96 ≈ 60.4 (2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1） 不正确 不正确 不正确 探究新知 900 9< <10 729<900<1000 9.6< <9.7 884.736<900<912.673 9.65< <9.66 898.632125<900<901.428696 9.654< <9.655 899.750058264<900<900.029686375 … … 探究新知 (2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1） 1.估算无理数大小的方法： （1）通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值. 探究新知 2. “精确到”与“误差小于”意义不同 如精确到1m是四舍五入到个位，答案唯一； 误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不唯一. 在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位. 例 估算 -3的值 (　　) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 A 总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间. 探究新知 素养考点 1 算术平方根估算数值 解析：因为42<19<52,所以4< <5,所以1< -3<2. 故选A. 1.与 最接近的整数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 巩固练习 2.估算 的值 (　　) A.在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间 C 变式训练 试比较 与0.5 的大小. 探究新知 提示：比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值. 解: 用估算比较两个数的大小 知识点 2 因为 所以 所以 通过估算比较下列各组数的大小： (1) 与1.9； (2) 与1.5. 解：(1)因为5>4，所以 >2，所以 >1.9. (2)因为6>4，所以 > 2，所以 > =1.5. 巩固练习 解： 答：当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米高的墙头. 探究新知 知识点 3 估算的实际应用 设梯子高x米，则低端离墙 米，根据题意得： 因为5.62=31.36＜32, 所以x2=32 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？ 例 所以 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？Z 巩固练习 解:由题意知正方形纸片的边长为20cm. 设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有 3x·2x=300 x2=50 所以长方形的长为 因为50>49，所以 故小丽不能裁出符合要求的纸片. 巩固练习 1. 用计算器求 的近似值，其按键顺序正确的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 21 2. 如图，数轴上的点，，，分别表示数 ，1，2，3， 表示数的点 应落在线段( ) C A. 上 B. 上 C. 上 D. 上 返回 22 3. 在量子物理的研究中，科学家需要精确 计算微观粒子的能量.已知某微观粒子的能量 可以用公式 表示，当，时，该微观粒子的能量 的值在( ) B A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 4. 写出一个比大且比 小的整数： __________________. 2（答案不唯一） 返回 23 5.［2025上海闵行区期中］已知， 均为正整数，如果 ，我们称是的“主要值”，那么 的主要 值是___. 8 返回 24 6.用计算器计算.（结果精确到 ） （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 25 7.通过估算，比较下面各组数的大小： （1）和 ； 【解】因为，所以,即 , 所以 . 26 （2）和 . 因为,所以要比较和的大小，只需比较 和 的大小. 因为， ,所以 ,所以 . 返回 27 8. ［2025杭州余杭区月考］若 取到最小值，则整 数 的值是( ) C A. 4 B. C. 3 D. 返回 28 9. 如图，某同学利用计算器中的 三个按键 设置计算程序，以下是这三个按键的功能. ① ：将屏幕上显示的数变成它的算术平方根； ② ：将屏幕上显示的数变成它的倒数； ③ ：将屏幕上显示的数变成它的平方. 小明输入一个数据后，程序将依次按照从第一步到第三步的顺序循环计算. 若一开始输入的数据为10，那么第2 026步之后，显示的结果是( ) D A. 10 B. 100 C. 0.1 D. 0.01 29 估算 估算无理数大小的方法 利用估算比较两个数的大小 课堂小结 夹逼的思想 估算的实际应用 谢谢观看！ $