精品解析：内蒙古巴盟杭锦后旗第六中学2025-2026学年九年级数学上学期月考卷

2025-2026学年第一学期9月月考试卷 九年级数学 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 2. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3. 若，则的值是（ ） A. 或2 B. 4 C. 或4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及换元法、因式分解法解一元二次方程等知识，采用换元法转化成一元二次方程求解是解决问题的关键．令，将条件中的等式转化为一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案． 【详解】解：令， 则可化为， 即， ， 解得或， ， ，即的值是， 故选：D． 4. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出m2+m=-2022，m+n=-2，再将其代入m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）中即可求出结论． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴m2+m=-2022，m+n=-2， ∴m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）=-2022+2×（-2）=-2026， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系找出“m2+2m=-2022，m+n=-2”是解题的关键． 5. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或， ∴， 则的值为． 故选：D． 6. 已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据图象可得，， 所以， 因为， 所以， 所以方程没有实数根． 故选：B． 7. 已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过三点， 则，，， ∵， ∴ 故选：D． 8. 已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由原图可知，抛物线图象开口向上， ∴ 抛物线图象交于轴负半轴， ∴ ∴的图象开口向下，交于轴的正半轴 故答案选A 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数开口向上，那么二次项系数为正，对称轴为y轴，则一次项系数为0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，符合题意的抛物线表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 则 ， 故答案为． 11. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，道路的宽为米， 铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积． 草坪的面积为300平方米， ． 故答案为：． 12. 关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有__________．（填序号） 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键； 根据的开口向下，顶点是可判断①，根据二次函数的增减性可判断②，根据抛物线的对称轴为y轴可判断③，根据二次函数的增减性和最值可判断④，根据二次函数的对称性可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴①抛物线开口向下，顶点是，故说法①错误； ②当时，y随x的增大而减小，故说法②正确； ③抛物线的对称轴为y轴，即直线，故说法③正确； ④当时，，故说法④错误； ⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则，故说法⑤正确； 综上，说法正确的是②③⑤， 故答案为：②③⑤． 三、解答题（本大题共有6小题，共64分） 13. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得到，运用求根公式，代入计算即可求解； （2）运用因式分解法求解即可； （3）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， ∴， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 提取公因式得，，即， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， 整理得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 14. 已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）11或13 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、等腰三角形的判定． （1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，分①当为腰长时；②当为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：周长为11或13． 15. 如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． （1）求a的值和点B的坐标； （2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 16. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 17. 如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， （1）根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2）1 （3） 解：点D、E运动时，的长不可以是，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∴当时，有， 解得， 此时， ∴原方程无解， ∴点D、E运动时，的长不可以是． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，列代数式，勾股定理，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）根据图形面积之间的关系可得的面积是的面积的4倍，求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）利用勾股定理可建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵在，，， ∴； ∵的面积等于四边形的面积的， ∴四边形的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的4倍， ∴的面积为， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 略 18. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期9月月考试卷 九年级数学 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值是（ ） A. 或2 B. 4 C. 或4 D. 2 4. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）. A. B. C. D. 5. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是0 7. 已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式：_______． 10. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 11. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为__________． 12. 关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有__________．（填序号） 三、解答题（本大题共有6小题，共64分） 13. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 14. 已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 15. 如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． （1）求a的值和点B的坐标； （2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 16. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 17. 如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， （1）根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 18. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $