精品解析：宁夏银川市宁夏育才中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

宁夏育才中学2026届高三年级第一次月考 数 学 试 卷 （试卷满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留． 一、单项选择题（每小题5分共计40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条仵 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 4. 设是奇函数且满足，当时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 5. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 6. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 18 D. 32 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选（每小题6共计18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差 10. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有一个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 三、填空题（每小题5分共计15分） 12. 已知多项式，则______． 13. 定义“伴随函数”：对于任意函数f(x)，其伴随函数记为f∗(x)，且满足f∗(x)=f(x)+2f(−x)．若f(x)=2x+1，则f∗（2）的值为______． 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 三、解答题（5个小题共计77分） 15. 函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求和的值； （2）求函数在时的解析式． 16. 已知函数处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 17. 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 021 0.3 0.36 0.45 0.51 （1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； （2）求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） （3）若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 18. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2026届高三年级第一次月考 数 学 试 卷 （试卷满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留． 一、单项选择题（每小题5分共计40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，根据并集运算得解. 【详解】因为， 所以． 故选：A 2. 已知角的终边过点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条仵 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】的终边过点时，，充分性满足， 但当的终边过点时，也有，必要性不满足， 因此为充分不必要条件． 故选：A． 3. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 4. 设是奇函数且满足，当时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值. 【详解】由，得，函数的周期是2， 又函数奇函数，且当时，， 所以. 故选：B 5. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出. 【详解】由，令，则， 所以和都是奇函数，得， 即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误； 而，再由当时，，， 得，，所以A错误，B正确. 故选：B. 7. 若随机变量，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 18 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性得到，利用基本不等式“1”的代换求最值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号. 故选：B. 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调递增，得到不等式，求出，并得到，从而根据得到，从而求出的取值范围. 【详解】上单调递增，故，解得， ， 因为，所以，，， 故. 故选：A 二、多选（每小题6共计18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B 随机变量服从两点分布，且，则 C. 对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强 D. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断A；运用两点分布的数学期望、方差的定义与性质即可判断B；利用两变量相关系数的意义即可判断C；残差和以及模型的拟合效果的关系即可判断D． 【详解】对于A，由题意得，，， 则，故A正确； 对于B，因为两点分布的， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，且， 所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误； 对于D，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：AB． 10. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数探讨函数单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 因此函数的零点所在的区间是和. 故选：AD 11. 已知函数，则（ ） A. 有一个零点 B. 的极小值为 C. 的对称中心为 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，对于B，由选项A的得到函数的单调区间分析判断，对于C，令，可判断的图象关于原点对称，从而可判断出的对称中心，对于D，利用导数的几何意义分析判断即可. 【详解】对于A，由，得， 令，得；令，得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当时，，当时，存在唯一零点， 故函数在上只有一个零点，故A正确； 对于B，由选项A可知，函数的极小值为，故B正确； 对于C，令，定义域为，则， 所以函数为奇函数，对称中心为，将函数图象向下平移1个长度单位，得函数的图象， 所以的对称中心为，故C错误； 对于D，由选项A知，，令，又， 所以切线方程为，即， 所以直线是曲线在点处切线，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析判断，考查计算能力，属于较难题. 三、填空题（每小题5分共计15分） 12. 已知多项式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别写出与的展开式通项，求出即可. 【详解】展开式的通项， 展开式的通项， 所以，，， 所以. 故答案为：10. 13. 定义“伴随函数”：对于任意函数f(x)，其伴随函数记为f∗(x)，且满足f∗(x)=f(x)+2f(−x)．若f(x)=2x+1，则f∗（2）的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得从而可求解. 【详解】由题意，从而得. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度， 当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 三、解答题（5个小题共计77分） 15. 函数，函数是定义在R上的奇函数，且当时，． （1）求和的值； （2）求函数在时的解析式． 【答案】（1）​，； （2）当时，. 【解析】 【分析】（1）求出时的函数，结合奇函数性质求出函数值. （2）利用奇函数定义求出解析式. 【小问1详解】 函数，则当时，，， 由函数是定义在R上的奇函数，得. 【小问2详解】 由（1）知当时，，又函数是定义在R上的奇函数， 所以当时，，. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【小问1详解】 由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 17. 2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 （1）若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； （2）求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） （3）若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 【答案】（1）分布列见解析 （2）0.99，与的线性相关程度较强． （3），0.72． 【解析】 【分析】（1）由题可知充电桩在3月份使用的概率为0.3，故，根据二项分布写出分布列即可； （2）根据题意先求，利用相关系数公式，代入数据求值与1比较即可； （3）由过回归方程可求，根据回归方程进行预测即可. 【小问1详解】 由题可知的所有可能取值为，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 【小问2详解】由题可知，， 则， 因为接近于1，所以与的线性相关程度较强． 【小问3详解】 由题可知， 解得， 所以关于的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得， 又因为，所以当时，， 故预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为0.72． 18. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】（1）62； （2）71； （3）455. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. 【小问3详解】 由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）证明：． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，无单调递减区间 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再求切线斜率和切点坐标，再写出切线方程. （2）由得增区间，由得减区间． （3）将函数解析式代入得，对求导得单调区间，求出最小值，得的关系，最后判断在定义域内是否都成立. 【小问1详解】 ， ， 故曲线在点处的切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 设， 当时，单调递减. 当时，，单调递增. 于是，故，在上单调递增. 故的单调递增区间为，，无单调递减区间． 【小问3详解】 设函数. 当时，单调递减. 当时，单调递增. 于是．对于，有，即. 当时，，即，此时. 当时，，即，此时. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $