1.3 勾股定理的应用　课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的实际应用，以《九章算术》“芦苇问题”导入，通过审题画图、标注已知未知等步骤，结合新知小结构建“实际问题—数学建模—求解检验”的学习支架，衔接定理理解到应用的脉络。 其亮点是用古代数学问题激发兴趣，通过梯子、旗杆等7个现实情境实例，培养数学眼光（抽象几何模型）、数学思维（推理与逻辑）和数学语言（符号表达）。小结归纳解题四步骤，学生提升问题解决能力，教师可直接用丰富案例优化教学。

北师大版2024·八年级上册 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 学 习 目 标 1 2 3 能够运用勾股定理计算直角三角形的边长，运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形； 能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计算问题； 掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。 新知探究 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB。 (1) 如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ A B C D 解：用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥ AB。 新知探究 A B C D (2) 李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm。边 AD 垂直于边 AB 吗？ 解：∵ AD2 + AB2＝302 + 402 ＝ 2500， DB2 ＝502 ＝ 2500， ∴∠A＝90°，即AD ⊥ AB； ∴边 AD 垂直于边 AB 。 新知探究 A B C D (3) 如果李叔叔随身只带了一把长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗？ 解：能检验。 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E， 在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F。 因为 12² + 16² = 20²， 用刻度尺测 EF 长度， 若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥ AB； 若 EF ≠ 20 cm，则 AD 不垂直 AB。 E F 尝试·思考 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F。你能求出 DF 的长吗？ A D B C G E F x 4 8-x 8-x 解：∵点 E 是边 AD 的中点， ∴ DE = AD = 4 cm。 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8-x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8-x)2，解得 x = 3。 ∴DF 的长为 3 cm。 折叠问题 新知探究 例 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。 问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ B O C A 芦苇问题 新知探究 B O C A 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺。 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺。 在Rt△OAC 中，由勾股定理，得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2。 解得 x = 12。则12 + 1 = 13。 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺。 芦苇问题 新知小结 归纳解题步骤 审题画图 标注已知和未知 建模构造Rt△ 选定理和方法 列式 求解 检验作答 实际问题 数学问题 数学解决 实际解释 应用新知 梯子问题 1. 如图，一座城墙高 11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根 9 m处架一架长为 15 m 的云梯，该云梯能否到达墙的顶端？为什么？ 解：如图，因为 92+11.72 =217.89 < 152， 所以长15 m的云梯可以到达墙的顶端。 方法二：如图，因为152 -92 =122，12>11.7； 所以长15 m的云梯可以到达墙的顶端。 应用新知 旗杆问题 2. 八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆AB的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端C刚好接触地面时，此时绳子末端C与旗杆的距离为5米，求旗杆AB的高度。 1m 5m AC=AB+1m 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米(x>1)。 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 根据勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2； ∴x2+52=(x+1)2，解得：x=12， 答：旗杆的高度为12米。 应用新知 阶梯问题 3. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米10元，则铺完这个楼道至少需要 元。 A C B 解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即AC2+52=132， 解得AC=12m，则地毯总长为12+5=17m， 则地毯总面积为17×2=34m2， 所以铺完这个楼道至少需要34×10=340元。 340 应用新知 大树折断问题 4. 如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处。若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米。 12米 13米 D 解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，则∠D=90°， 由题意可得：BC=13m，DC=12m，故BD2=132-122=25=52， ∴AD=4+5=9m，则AC2=AD2+CD2=92+122=225=152， ∴AC+AB=15+4=19m。 19 应用新知 半圆截面问题 5. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 m，宽为 2.6 m。一辆卡车装满货物后，高为 3.6 m，宽为 2.4 m，它能通过该隧道吗？ 2.6 4 A B C D O 解：如图，设 O 为半圆的圆心，DB ⊥ AB，易知 OD = 2 m。 当 OC = AB = 1.3 m 时，由勾股定理， 得 CD2 = OD2－OC2 = 22－1.32 = 2.31。 因为 2.31 > 12，所以 CD > 1 m， 所以 CD + BC > 3.6 m，所以它能通过该隧道。 应用新知 航海问题 6. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里。如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 解：由题意，得OA=7.5×2=15(海里)， OB=10×2=20(海里)，AB=25海里， ∵152+202=252，即OA2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°， ∵“惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行， ∵∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB -∠BOC=45°。 ∴ “中山”号沿北偏西45°（或西北）方向航行。 应用新知 两地之间选址问题 7. 如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少km的地方？ 解：由题意，得AB=50km，∠DAE=∠EBC=90°， CE=DE，设AE=xkm，则：BE=(50-x)km， 在Rt△EAD中，DE2=AD2+AE2， 在Rt△EBC中，CE2=BC2+BE2， ∵CE=DE，DA=30km，CB=20km，∴AD2+AE2=BC2+BE2，即：302+x2=202+(50-x)2， 解得：x=20，∴AE=20km， ∴基地E应建在离A站20km的地方。 1. 基础必做题：教材P14 -15，习题§1.3 第1、2、3题； 2. 能力提升题：补充选做作业； 3. 预习作业：预习教材P16 -17问题解决策略：反思。 作业布置 感谢聆听! $