第17章 因式分解学业质量测评卷-【步步为赢·全程无忧大单元整体设计与评价】八年级上册数学（人教版2024）

全程无忧·测评卷 八年级数学·RJ·上 步步为赢 第十七章学业质量测评卷 BUBUWE (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分）】 1.下列各式，从左到右的变形属于因式分解且正确的是 A.x2+4=(x+2)(x-2)） p B.2x(x+y)-6y(x+y)=2(x+y)(x-3y) C.(x+3)2=x2+4x+4 阅 D.x2-x+6=(x+3)(x-2) 1 2.将多项式ax+ay-ax2y因式分解时，应提取的公因式是() A.a B.a2 C.a2x D.a2x2 3.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是 ) A.a2+(-b)2 B.(-a)2+(-b)2 C.-a2+(-b)2 D.-a2-b2 4.用分组分解法分解多项式x2-y2+2y-1时，下列分组方法正确的 i 是 () A.(x2-1)-(y2-2y) B.(x2-y2)+(2y-1) 厨 C.x2-(y2-2y+1) D.(x2+2y)-(y2+1) 5.下列六个多项式中，在实数范围内能因式分解的有 ) ①t2+2t-15;②a2+1;③a2-6a+9;④x2+5y;⑤x2-2;⑥2x2-6x3. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 6.若a=4+b,ab=3,则-a3b+2a2b2-ab3的值为 ) A.-48 B.-12 C.-36 D.12 7.已知三角形的三边长a,b,c满足a2-ab=ac-bc,则此三角形的形 紧1 状为 ( 崇 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 8.已知x3+2x2-3x+k因式分解后，其中有一个因式为(x+2),则飞 的值为 () A.6 B.-6 C.10 D.-10 9.已知a,b,c是互不相等的实数，且a=b2-b+1,c=-a2+5a-4,那么 a,b,c中最大的数为 A.a B.b C.c D.不能确定 超 10.若实数x,y,m满足x2-2xy-4y=1+m,2y2+4xy+6=1-m,则m的 洲 值为 A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.一个二次二项式因式分解后其中一个因式为x-1,写出一个满 足条件的二次二项式为 12.已知a,b分别是长方形的长和宽，它的周长为12，面积为8，则 206+2a6的值为 13.(新乡市辉县市校级期中)已知58-1能被20到30之间的两个 整数整除，则这两个整数的和是 14.若x=a,代数式x2+2x+√n-2的值为-1，则当x=-a时，代数式 x2+2x+√n-2的值为 15.(南阳市镇平县期末)在日常生活中，如取款、上网等都需要密 码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆.原理是对于 多项x4-y,因式分解的结果是(x+y)(x-y)(x2+y2),若取x=9, y=9,则各个因式的值是：x+y=18,x-y=0,x2+y2=162,于是就 可以把“180162”作为一个六位数的密码.那么对于多项式4x3 xy2,取x=10,y=5时，用上述方法产生的密码是 （写出 一个即可) 三、解答题（共75分） 16.(8分)因式分解： (1)9a2(x-y)-4b2(x-y）; (2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9. 17.(8分)下面是对整式x3+y3因式分解的部分过程. 解：原式=x3+x2y-x2y+y3(第一步) =(x3+x2y)-(x2y-y)(第二步) =x2(x+y)-y(x2-y2)(第三步) (第四步) .(第五步) 第十七章学业质量测评卷 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到的因式分解方法有 (至少写出两 种方法)； (2)在横线上继续完成对本题的因式分解； (3)请你尝试用以上方法对整式8x3-1进行因式分解. 18.(8分)学完多项式乘以多项式，爱思考的小明发现：(x+p)(x+ q）=x2+px+gx+p9=x2+(ptq）x+pq. (1)若(x+3)(x-4)=x2+mx+n,那么m的值是 ,n的值 是 (2)若(x+a)(x+b)=x2+3x-13,求a3b+ab3+2a2b2的值 19.(8分)（郑州市中考一模）如果某公元纪年年份数是一个正整 数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”.例如，2025年 是21世纪的“平方年”(2025=452)，上一个“平方年”是1936 年(1936=442). (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是 多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能 够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方 幻数”.例如：3=22-12,5=32-22,7=42-32，则3,5,7都是“平方幻 数”.设两个连续自然数为n和n+1,则由这两个连续自然数构成 的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 9 20.(10分)若一个整数能表示成a2+b2(a,b都是整数)的形式，则 称这个数为完美数.例如，5是完美数，因为5=22+12.再如，M= x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y都是整数)，所以M也是完美数. (1)请你再写出一个小于10的完美数，并判断34是否为完 美数； (2)已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x,y都是整数，k是常数)，要使 S为完美数，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)如果A,B都是完美数，试说明A×B也是完美数 21.（10分)如果整式A能写成整式B的平方，即A=B2,则整式A 是完全平方式.例如x2+2xy+y2=(x+y)2,x2-2xy+y2=(x-y)2, 则我们将x2+2xy+y2和x2-2xy+y2称为完全平方式 在数学学习中，我们经常将一个式子的某一部分通过恒等变形 转化为一个完全平方式来解决问题，例如：x2+6x+10=x2+6x+9 +1=(x+3)2+1. (1)在代数式：①a2-2a+1,②a2+4,③4ab+4a2+b2,④(a+b)2+1 -2(a+b)中，是完全平方式的是 （填序号)； (2)若a,b,c是△ABC的三边长，比较4b2c2-(b2+c2-a2)2与0 的大小关系，并说明理由 10 22.(11分)中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔 裂分家万事休”.数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题 直观化、生动化.我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面 积进行解释.如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长 为a的正方形纸片，2号纸片是边长为b的正方形纸片，3号纸 片是长为a、宽为b的长方形纸片 1号 b2号 3号 h 图1 图2 bbb 图3 图4 (1)由边长分别为a,b的两个小正方形和两个长为a、宽为b的 长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为(a +b),即可求得大正方形的面积.由此可得到一个乘法公式： (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式a2+4ab+3b2分 解因式，其结果是 (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成 如图4所示的图形.若阴影部分的面积为32,3号纸片的面积为 24,求a,b的值 第十七章学业质量测评卷 23.(12分)某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平 方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很 灵活.请你试着帮他们解决以下问题： 在长方形ABCD中，AD的长为am,AB的长为bm,且a>b. (1)若该长方形的周长为8m,面积为3m2,求a2+b2的值； (2)若a,b满足a2+ab=10,b2+ab=6,求-b的值； 圆 (3)为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所 示面积为216m2的长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和 长方形JKCL,将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3 m、宽为2m的长方形水池JNFM(JM>JN),将图中阴影部分的 区域作为花圃，且花圃总周长为50m,求AB和AD的长 国 扫码看答案=25x+5-26x-5-5x-1+6x-7 =-8 21.解：(1)22 (2)①17②21 (3)设A0=C0=p,B0=D0=q. :AD=16,S△A0C+S△B0D=60, 六p*7=16,7+=60, 1 即p+q=16,p2+q2=120. .2pq=(p+q）2-(p2+g2)=162-120=136. pg=68. .S直角三角板=2P9=34, 答：一块直角三角板的面积为34. 22.解：(1)9 (2)根据题意可知AB=x+5,BG=7-x. .长方形ABGP的面积为22， ∴.(x+5)(7-x)=22. x+5+7-x=12, .S正方形AB+S正方形BMNG=AB2+BC2 =(x+5)2+(7-x)2 =[(x+5)+(7-x)]2-2(x+5)(7-x) =122-2×22 =144-44 =100. （3):3(x+5)-(3x-2)=3x+15-3x+2=17,9(x+ 5)2+(3x-2)2=625, .3(x+5)(3x-2) =[3(x+5)-(3x-2)]2-[9(x+5)2+(3x-2)2] -2 =172-625 -2 =168. 第十七章学业质量测评卷 1.B2.A3.C4.C5.B6.A7.A8.B9.A 10.A 11.x2-x(答案不唯一)12.2413.5014.3 15.102515(答案不唯一) 16.解：(1)9a2(x-y)-4b2(x-y) =(x-y)(9a2-462) =(x-y)(3a+2b)(3a-2b). (2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9 =(x2-2x-3)2 =(x-3)2(x+1)2 17.解：(1)第二步用了分组分解法，第三步用了提公 ·19· 因式法，第四步运用了公式法 (2)x2(x+y）-y(x+y）(x-y）(x+y)(x2-xy+y2) (3)8x3-1 =(2x)3-1 =(2x)3-(2x)2+(2x)2-1 =[(2x)3-(2x)2]+[(2x)2-1] =(2x)2(2x-1)+(2x+1)(2x-1) =(2x-1)[(2x)2+2x+1] =(2x-1)(4x2+2x+1). 18.解：(1)-1-12 (2)根据题意，得 (x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab. (x+a)(x+b)=x2+3x-13, ∴.a+b=3,ab=-13. 则a3b+ab3+2a2b2 =ab(a2+b2+2ab） =ab(a+b)2. 把a+b=3,ab=-13代入ab(a+b)2, 得ab(a+b)2=-13×32=-13×9=-117. 19.解：(1)2025年是21世纪的“平方年”(2025= 452), .2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与 2025的差是462-452=(46+45)×(46-45)=91. (2)能够被2整除理由如下： 由题意，得(n+1)2-n2-1=(n+1+n)(n+1-n)-1 =2n+1-1=2n. :2n能够被2整除 .由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1 的差值能够被2整除 20.解：(1)8=22+22， .8是完美数 34=32+52, ∴.34是完美数 (2)k=13时，S为“完美数”.理由如下： S=x2+4y2+4x-12y+k =x2+4x+4+(4y2-12y+9)+k-13 =(x+2)2+(2y-3)2+k-13. x,y是整数， .x+2,2y-3也是整数 .当k-13=0,即k=13时，S是完美数 (3)设A=a2+b2,B=c2+d(a,b,c,d为整数)， .A×B=(a2+b2)(c2+d2) a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a"c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2. a,b,c,d是整数， ∴.ac,bd,ad,bc都是整数. .A×B是完美数 21.解：(1)①③④ (2)462c2-(b2+c2-a2)2>0.理由如下： a,b,c是△ABC的三边长， ∴.b+c+a>0,b+c-a>0,a+b-c>0,a-b+c>0. .462c2-(b2+c2-a2)2 =(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2) =[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2] =(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)>0. 22.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)(a+b)(a+3b) (3)图形的总面积为a2+ab+b2, 两个空白三角形的面积分别为)b(a+2b)=2b 1 2a6, .阴影部分的面积为 a24a6+82b-603-2 ∴.a=8(负数舍去) ab=24, .b=3. 23.解：(1)：AD的长为am,AB的长为bm,且a>b, 长方形的周长为8m,面积为3m2, ∴.2(a+b)=8,ab=3,即a+b=4,ab=3. ∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×3=10. (2).a2+ab=10,b2+ab=6, ∴.a2+ab-(b2+ab)=4,a2+ab+b2+ab=16. .a2-b2=4,(a+b)2=16. a>b>0, .(a-b)(a+b)=4,a+b=4. .a-b=1. (3):图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总 周长为50m,长方形水池JWFM(JM>JW)的长为 3m、宽为2m, .∴.50=2(DL+GD)+2(NK+BK) =2[(DL+NK)+(GD+BK)] =2[(b-MF)+(a-JM)] =2[(b-2)+(a-3)] =2(a+b-5). .+b=30. ∴.（a+b)2=900. .长方形ABCD的面积为216m2, .ab=216. .a2+b2=(a+b)2-2ab=900-2×216=468. .(a-b)2=a2+b2-2ab=468-2×216=36. a>b, .a-b=6. (a+b=30, a-b=6. 解得/018， b=12. .AB和AD的长分别为12m,18m. 第十八章学业质量测评卷 1.C2.D3.D4.C5.C6.B7.D8.D9.B 10.A 1(答套不 121313.900 x2-3x 14.2315.-2 16.解：(1)(m+2025)°+√16-(4)1 =1+4-4 =1. (2)(2-12)m2-6mt9 m+3 m+3 =2m+6-12 m+3 m+3 (m-3)2 2(m-3) m+3 m+3 (m-3)2 2 m-3 17.解：(aa2-9 +30 a-3a2-6a+9 a-3 =[a(a-3)a2-9 .a(a+3) (a-3)2(a-3)2 a-3 =f91e9 a-3 -3(a-3)a-3 (a-3)2a(a+3) 3 a2+3a a2+3a-5=0, .a2+3a=5. “原式3-3 a2+3a51 18.解：(1)方程两边同乘(x+2)(x-2), 得3+2(x+2)=x-2. 解得x=-9. 检验：当x=-9时，（x+2)(x-2)≠0. ·20·