第7周无忧小卷过关练-【步步为赢·全程无忧大单元整体设计与评价无忧小卷】八年级上册数学（华东师大版2024）

无忧小卷 八年级数学·HS·上 第七周 无忧小卷过关练 步步为赢 -BUBUWEIYING- 13.1勾股定理及其逆定理 (时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分】 1.已知a,b,c为△ABC的三条边长，满足下列 -3-2 -1 0 1C2 3 条件时，△ABC不是直角三角形的是 A.5+1 B.√5-1 A.∠A+∠B=∠C C.-√5+1 D.-5-1 B.a2-b2=c2 6.“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的 C.a=3,b=4,c=5 会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 注》.赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明 2.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小 了勾股定理，若大正方形的面积是25，小正 于60°”，应先假设这个三角形中( 方形的面积是1，设直角三角形较长直角边 A.有一个内角小于60° 为a,较短直角边为b,则ab的值是（ B.每一个内角都小于60° A.10 B.12 C.14 D.24 C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60° 3.(郑州市九十六中学期中)下列各组数中不 是勾股数的是 ( A.6,8,10 B.0.3,0.4,0.5 第6题图 第7题图 C.9,40,41 D.8,15,17 7.如图，在△ABC中，AB=6,将△ABC绕点B 4.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方 按逆时针方向旋转45°后得到△A,BC,1,则 式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方 阴影部分的面积为 () 形纸片，面积分别是3,4,5,7,9.选取其中三 9T A.9 B.62 C.9√2 块（可重复选取）按下图的方式组成图案， 使所围成的三角形是面积最大的直角三角 8.《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立， 形，则选取的三块纸片的面积分别是 甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而 斜东北与乙会.问甲、乙行各几何？”大意是 A.3,4,5 说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲 B.3,4,7 的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走， C.4,5,9 甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走 D.3,7,9 了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走 5.如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧， 了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的 交数轴于点C,则点C表示的数为() 时间为x,根据题意，可列方程为（) ·25. A.(7x-10)2=102+(3x)2 B.(7x-10)2+(3x)2=102 方程，求得0=：，进而适过计 C.(7x-10)2+102=(3x)2 算就可求出△ABC的面积.根据睿明同学 的方法，若a=14,b=13,c=15,则△ABC D.(7x+10)2=102+(3x)2 的面积为 9.如图，在△ABC中，AD垂直BC于点D,且 AD=BC=4,BC上方有一动点P满足S△PaC SaMc,则PB+PC的最小值为 2 ( 20 c.16 14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以 D.8 △ABC的三边为直角边作三个等腰直角三 角形：△ABD,△ACE,△BCF.若图中阴影 部分的面积S1=65,S2=46,S3=57,则S4= 第9题图 第10题图 10.在△ABC中，AC=BC=10,CD为AB边上 的中线，CD=6,AF平分外角∠BAE,过点 D作DG∥CA交AF于点G,则DG的长为 第14题图 第15题图 ( 15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC A.6 B.7 C.8 D.9 =8,D为AB上一点，连接CD,将△BCD沿 二、填空题（每小题3分，共15分） CD翻折得到△B'CD,过点A作AF∥BC 11.如图，每个小正方形的边长都相等，A,B,C 交DB'于点E,交CB'于点F.若AE=B'E, 是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 则BD的长为 三、解答题（共55分） 16.(9分)已知a=n2+1,b=2n,c=n2-1. (1)当n=4时，若a,b,c为三角形的三边 长，求这个三角形的面积； (2)淇淇发现：当n取大于1的整数时，a, 12.在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 b,c为一组勾股数，你认为淇淇的发现正 为a,b,c,∠C=90°，c=5,△ABC面积为 确吗？请判断并说明理由。 1,则a3b+ab3= 13.睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现 求一个三角形面积的方法：如图，AD是 △ABC的高，AD是Rt△ABD和Rt△ACD 的公共直角边，由勾股定理得AD=AB2- BD=AC2-CD2.设BD=x,可建立关于x的 ·26. 17.（9分)如图，将△ABC分割成四边形ABDE 19.(9分)如图，有人在岸上点C的地方，用绳 和△EDC,∠EDC=90°，DC=3,DE=4,BD 子拉船靠岸.开始时，绳长BC=25米，AC1 =7,AB=8,AE=1,求四边形ABDE的面积 AB且AC=15米，拉动绳子将船从点B沿 BA方向移动到点D后，绳长CD=152米. (1)求AD的长度； (2)求船体的移动距离BD; D (3)若在BD段拉动船的速度为1米/秒， 到达点D后增加了人力，拉动船的速度变 为2米/秒，求把船从点B拉到岸边点A所 用的时间。 B 18.(9分)如图，已知某开发区有一块四边形 空地ABCD,经测量∠ADC=90°，CD=6m, AD=8 m,BC=24 m,AB=26 m, (1)求这块空地的面积； (2)现计划在该空地上种植草皮，若每平 方米草皮需200元，则在该空地上种植草 皮共需多少钱？ ·27 20.(9分)如图，在△ABC中，AB=2AC,AD平 21.(10分)已知：如图，在△ABC中，BC=BA, 分∠BAC,点E在线段AD上.若AE=2,CE BE平分∠CBA交边CA于点E,∠ABC= =1,AB=25 45°，CD⊥AB,垂足为D,F为BC的中点， (1)求证：CE⊥AD; BE与DF,DC分别交于点G,H. (2)求BC的长 (1)求证：BH=CA; (2)求证：BG2=GE2+EA2. ·28·.AE=AF=AB-BE=8-2=6(cm). .AD=AF-DF=6-2=4(cm). 21.(1)证明：如图1，过点P作PF∥AQ交BC于 点F .∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠Q. 图1 点P和点Q同时出发，且移动的速度相同， ..BP=CQ. .AB=AC, .∠B=∠ACB. .∠B=∠PFB. ∴.BP=PF=CQ. .∠PDF=∠QDC, ∴.△DPF≌△DQC(AAS). :PD=DQ. (2)解：线段ED的长度保持不变理由如下： 分两种情况：①若点P在线段AB上， 如图2，过点P作PF∥AC交BC于点F 图2 与(1)同理可知，PB=PF,△DPF≌△DQC, ∴.DF=DC PE⊥BC, .BE=EF. ED=EF+FD=BE+DC=2BC=3; ②若点P在线段BA的延长线上， 如图3，过点P作PM∥AC交BC的延长线于 点M. ∴.∠M=∠ACB. ·9· 图3 又AB=AC, .∠B=∠ACB=∠M. ∴.PM=PB. .PE⊥BM, ∴.BE=EM PM∥AC, .∠MPD=∠CQD. :点P和点Q同时出发，且移动的速度相同， ..BP=CQ. .∴.PM=QC. 又∠PDM=∠CDQ, ∴.△PMD≌△QCD(AAS). ∴.MD=CD. BE=EM,MD=CD, .ED-EM-DM-BC+CM-DM-BC.C 2 Γ22 [-DM=3+ DM-DM=3. 综上所述，线段ED的长度保持不变 第七周无忧小卷过关练 1.D2.B3.B4.C5.B6.B7.C8.A9.A 10.c 11.45°12.1013.8414.381540 1 16.解：(1)当n=4时，a=42+1=17,b=2×4=8,c=42 -1=15. a2=172=289,b2+c2=82+152=289, .a2=b2+c2. “.三角形是直角三角形，且a是斜边长 .8=1 ×8x15=60. (2)淇淇的发现是正确的.理由如下： .b2+c2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+(n2)2-2n2+1 n4+2n2+1, a2=(n2+1)2=n4+2n2+1, .b2+c2=a2. n为大于1的整数， .a,b,c为正整数，此时a,b,c为勾股数 17.解：∠EDC=90°，DC=3,DE=4, .CE=√DC2+DE2=√32+4=5. AE=1, .∴.AC=AE+CE=1+5=6. .AC2=36. BD=7,AB=8, ∴.BC=BD+CD=7+3=10. .AB2=64,BC2=100. .AB2+AC2=BC2, .∴.∠BAC=90°. ∴.S四边形ABDE=SR△ABC-SR:△EDC )AB·AC-DE·DC 21 1x8x6-1x4x3 1 2 =24-6 =18. 答：四边形ABDE的面积是18. 18.解：(1)如图，连接AC. 在Rt△ACD中， AC=√AD2+CD2=√62+82=10(m). 在△ABC中，AB2=262,BC2=242. 102+242=262, ..AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. .S四边形ABcD=S△AcB-S△ACD 1 令2AC·BCAD·CD 2 1 =2X10x242×6x8 =96(m2). (2)200×96=19200(元). 答：在该空地上种植草皮共需19200元. 19.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD=√CD2-AC=√(152)2-152=15（米）. (2)AC=15米，CB=25米，∠CAD=90°， ·.AB=√BC2-AC=√252-152=20（米）. 则BD=AB-AD=20-15=5(米) 答：船体的移动距离BD的长度为5米 (3)5÷1+15÷2=12.5(秒). 答：把船从点B拉到岸边点A所用的时间为 12.5秒. 20.(1)证明：AB=2√5，AB=2AC, .AC=√5 CE=1,AE=2, ..AE2+CE2=AC2. ∴.∠AEC=90. .CE⊥AD (2)解：延长CE交AB于点F,过点B作BH⊥CF 交CF的延长线于点H. AD平分∠BAC, ·.∠CAE=∠EAF. :∠AEC=∠AEF=90°，AE=AE, .△ACE≌△AFE(ASA). ∴.EF=EC=1,AF=AC=√5. .BF=AB-AF=√5.】 ,∴.AF=BF ,∠BHF=∠AEF=90°，∠BFH=∠AFE, ∴.△BHF≌△AEF(AAS). ·10· ∴.BH=AE=2,FH=EF=1. .∴.CH=CE+EF+FH=3. .BC=√CH+BH=√32+22=√13. 21.证明：(1).BA=BC,BE平分∠CBA, .BE⊥AC .∴.∠ECH+∠EHC=90°. :CD⊥AB,∠ABC=45°， ∴.∠DBH+∠DHB=90°，∠DCB=45°. .△BCD是等腰直角三角形，且DB=DC ,∠EHC=∠DHB, ∴.∠ECH=∠DBH. ∠ACD=∠HBD. 在△ACD和△HBD中，{CD=BD, ∠ADC=∠IHDB=90°， ∴.△ACD≌△HBD. .BH=CA. (2)如图，连接CG,AG. ,AB=BC,BE⊥AC, .BE垂直平分AC ..AG=CG. F是BC的中点，BD=CD, .DF垂直平分BC. .BG=CG. ..AG=BG ·在Rt△AGE中，AG2=GE2+AE2, ..BG2=GE2+EA2. 第八周无忧小卷过关练 1.C2.C3.D4.C5.A6.A7.A8.D9.D 10.D 11.3.2512.813.17a14.515.√80 16.解：.C,D两村到E站的距离相等， ·11· .DE=CE. :DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B, ∴.∠A=∠B=90. .AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2. .'AE2+AD2=BE2+BC2. 设AE=xkm,则BE=AB-AE=(25-x)km. DA=15 km,CB=10 km, .x2+152=(25-x)2+102.解得x=10. ∴.AE=10km. 答：E站应建在离A站10km处， 17.解：(1)在Rt△ABC中，AC=900米，BC= 1200米， .AB=√AC2+BC2=√9002+12002=1500（米）. 答：A,B两村之间的距离为1500米. (2)如图，过点C作CD⊥AB于点D. B1 :S△ABC= 2AB CD-GAC. 1 :CD=4C.BC_900x1200=720(米). AB 1500 (3)公路AB有危险而需要封锁理由如下： 由于720米<750米，故有危险，因此AB段公路 需要封锁 如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB 于点E,F,连接CE,CF, 则EC=FC=750米. 在Rt△EDC中，ED=√EC2-CD2=√/7502-720= 210(米). △CEF是等腰三角形， DE=DF-2EF. .EF=2DE=2×210=420(米) 答：需要封锁的路段长度为420米 18.解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理得