第一次月考复习冲刺（提高篇）（第19章实数+第20章二次根式） 【精英班课程】2025-2026学年 沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（提高篇） 一、选择精选 1．若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（    ） A． B．5 C．5或 D．或 2.下列判断正确的是（    ） A．的立方根是 B．49的算术平方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 3.下列说法正确的是　　 A．只有0的平方根是它本身 B．无限小数都是无理数 C．不带根号的数一定是有理数 D．任何数都有平方根 4.在，，，，这几个数中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 7.以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 8.已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 8.下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 10.下列式子：．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11.下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　） A．和 B．和 C．和 D．和 12．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 13．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 14．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．若，则的值为（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 16.16的算术平方根是 ；2的平方根是 ；的立方根是 ． 17．若的平方根只有一个，则x的值是 ． 18．已知长方形的长和宽分别为a，b且a，b满足，求这个长方形的面积． 19.实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 20.代数式有意义，则x的取值范围是 ． 21．计算的结果是 ． 22.比较大小： ． 23.如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 24．已知：，，则 ． 25.若最简二次根式与是同类根式，则______． 26.计算：_____________． 三、填选压轴精选 27.若m满足关系式，则m＝　　． 28．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…， 则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 29．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 31.化简 ． 32.已知：，则 ． 33．已知，则（   ） A． B． C． D． 34.已知a+b＝﹣5，ab＝2，且a≠b，则的值是（　　） A． B． C． D． 四、计算题 35．求的值． (1)； (2)． 36．设实数，化简 37.计算： (1)； (2)． 38.计算： 39.计算： 40.先化简，再求值：已知,求的值 五、应用题 41.已知的算术平方根是2，的立方根等于本身，且的小数部分为c． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 42．已知实数的整数部分为，小数部分是；实数的整数部分为，小数部分是． (1)直接写出，，，的值； (2)求的值的平方根； (3)求的值． 43.如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？若能，试求出剪出的长方形的长与宽；若不能，请说明理由． 44，小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片． （1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案； （2）若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 六、几何图形问题 45.如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    46．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．    (1)这个魔方的棱长为______． (2)图1的侧面有一个正方形，求这个正方形的面积和边长． (3)将正方形放置在数轴上，如图2所示，点A与数3表示的点重合，则D在数轴上表示的数为______． 47.数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远．例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示．    (1)由图2，你能得到的数学等式为： ； (2)观察图3，解决以下问题：若，求的值． 七、规律探究与阅读理解题 48.观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 49. 小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 50.请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式 的值； (2)已知，求代数式的值． 51．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 八、综合压轴题 52.阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有___________．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 53.对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（提高篇） 一、选择精选 1．若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（    ） A． B．5 C．5或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．本题先依据平方根的性质求得的值，然后再进行计算即可． 【详解】解: ∵是的一个平方根， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴ 当，时，， 当，时，． 故选：D． 2.下列判断正确的是（    ） A．的立方根是 B．49的算术平方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的概念及求法，熟记立方根、平方根及算术平方根的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、的立方根是，判断正确，符合题意； B、49的算术平方根是，判断错误，不符合题意； C、的立方根是，判断错误，不符合题意； D、的平方根是，判断错误，不符合题意； 故选：A． 3.下列说法正确的是　　 A．只有0的平方根是它本身 B．无限小数都是无理数 C．不带根号的数一定是有理数 D．任何数都有平方根 【分析】根据平方根、有理数、无理数的意义分析判断即可． 【解答】解：、正数的平方根有2个，只有0的平方根是它本身，故本选项正确，符合题意； 、无限小数中的无限循环小数是有理数，故本选项错误，不合题意； 、不带根号，但是无理数，故本选项错误，不合题意； 、因为负数没有平方根，故本选项错误，不合题意． 故选：． 【点评】本题考查平方根、有理数、无理数的意义，熟悉它们的定义是解题的关键． 4.在，，，，这几个数中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有：开方开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如(相邻两个之间依次增加个). 【详解】解：是有限小数，可以化为分数的形式，是有理数， 是分数，是有理数， 是开方开不尽方的数，是无理数， 是整数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 综上所述，无理数有个． 故选：B． 5．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 6.下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根以及算术平方根的定义．直接利用立方根以及算术平方根的定义计算得出答案． 【详解】解：A、正确，本选项不符合题意； B、正确，本选项不符合题意； C、原计算错误，本选项符合题意； D、正确，本选项不符合题意； 故选：C． 7.以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以先求出的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数． 【详解】A．=25，，不符合题意； B．，不符合题意； C．，，符合题意； D．，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键． 8.已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 8.下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，，不是二次根式，不符合题意； 故选B． 10.下列式子：．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、立方根等知识点，根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：中，最简二次根式有，，一共2个， 故选：B． 11.下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　） A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．判断同类二次根式需将各选项化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同，根据同类二次根式的概念逐个判断即可． 【详解】A： 已是最简形式， 是整数，不是二次根式，故该选项不符合题意； B： 和 的最简形式分别为 和 ，被开方数不同，故该选项不符合题意； C：，，两者化简后均为的倍数，被开方数均为3，是同类二次根式，故该选项符合题意；   D：，，被开方数分别为和，不同，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 13．化简结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，平方差公式，通过分母有理化，将原式中的分母根号消去，转化为有理数形式． 【详解】解： ． 故选A． 14．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 15．若，则的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由0＜a＜1，可得＞1＞a＞0，根号内变形后利用二次根式的性质进行化简即可求得答案． 【详解】解：∵0＜a＜1， ∴＞1＞a＞0， ∴原式= = = =-2a， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确分析出＞1＞a＞0是解题的关键． 二、填空题 16.16的算术平方根是 ；2的平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，求一个数的立方根． 分别根据算术平方根、平方根、立方根的定义作答即可． 【详解】解：16的算术平方根是4；2的平方根是；的立方根是． 故答案为：4，，． 17．若的平方根只有一个，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的性质，根据0的平方根是0，只有一个，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根只有一个， ∴， ∴； 故答案为：3． 18．已知长方形的长和宽分别为a，b且a，b满足，求这个长方形的面积． 【答案】6 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，以及列二元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据非负性得到，解方程组即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴长方形的面积为． 19.实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 根据题意判断出，及b的符号，再把原式进行化简，合并同类项即可． 【详解】解：结合数轴，得，， ，， 故答案为： 20.代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意有且， 解得. 故答案为： 21．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 22.比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键在于运用作差法比较．通过作差确定大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故答案为：>． 23.如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的计算以及无理数的判断．解题的关键是按照计算程序的步骤，依次对输入值进行运算并判断结果是否为无理数，直至得到输出结果． 输入后，先求其立方根并判断是否为无理数；若不是，再求该结果的算术平方根并判断；若仍不是，继续按程序循环求立方根并判断，直至得到无理数作为输出． 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 24．已知：，，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，计算出及，再把原式因式分解，代入及即可求解．解题的关键是熟知因式分解的应用． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 25.若最简二次根式与是同类根式，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴； 故答案为9． 26.计算：_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 三、填选压轴精选 27.若m满足关系式，则m＝　　． 【详解】解：由题意可得：1﹣x﹣y≥0且x﹣1+y≥0， ∴x+y＝1，即x＝1﹣y， ∴0， ∴3x+5y﹣2﹣m＝0且2x+3y﹣m＝0， ∴3（1﹣y）+5y﹣2﹣m＝0且2（1﹣y）+3y﹣m＝0， ∴2y﹣m+1＝0且y+2﹣m＝0，解得：m＝3． 故答案为：3． 28．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…， 则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【详解】解：，即时，，此时， ； ，即时，，此时， ； ，即时，，此时， ； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ， ，即时，， ， ， 故答案为：． 29．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数，，， ∴即，， ∴， ∴， 则的立方根为的1， 故选：B． 31.化简 ． 【详解】解：① 故答案为：． 32.已知：，则 ． ②∵ ∴，即 ∴， ∴， ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 33．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 34.已知a+b＝﹣5，ab＝2，且a≠b，则的值是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵a+b＝﹣5，ab＝2， ∴a＜0，b＜0， ∴． 故选：B． 四、计算题 35．求的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）∵， ∴， ， ． 36．设实数，化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，不等式的性质，整式的加减等知识，先根据判断出，，，，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴， ∴ ， 37.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，绝对值的定义求解即可； （2）根据二次根式的混合运算，立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 38.计算： 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式和进行分母有理化，然后去括号后合并同类二次根式． 【详解】原式= = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 39.计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 40.先化简，再求值：已知,求的值 【答案】 【解析】 【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案． 【详解】 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质． 五、应用题 41.已知的算术平方根是2，的立方根等于本身，且的小数部分为c． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根的定义，立方根的性质，无理数的估算，进行求解即可； （2）先代值计算，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∵， ∴的整数部分为3， ∴； （2）由（1）知：，，， ∴， ∴的平方根为． 42．已知实数的整数部分为，小数部分是；实数的整数部分为，小数部分是． (1)直接写出，，，的值； (2)求的值的平方根； (3)求的值． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）估算得出，从而可得，，结合题意即可得解； （2）将（1）中，，，代入所求式子进行计算，再结合平方根的定义计算即可得解； （3）将（1）中，，，代入所求式子进行计算，再结合立方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵实数的整数部分为，小数部分是，实数的整数部分为，小数部分是， ∴，，，； （2）解：由（1）可得：，，，， ， ∴的值的平方根为； （3）解： ． 43.如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？若能，试求出剪出的长方形的长与宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；剪出的长方形的长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出大正方形的边长； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 长方形的长为，宽为， ， ∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键． 44，小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片． （1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案； （2）若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 【分析】（1）直接利用算术平方根的定义正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案． 【解答】解：（1）设面积为的正方形纸片的边长为， ， 又， ， 又要裁出的长方形面积为 若以原正方形纸片的边长为长方形的长， 则长方形的宽为： 可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形； （2）长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为， ， ， 又， ， 长方形纸片的长为， 又 即： 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【点评】此题主要考查了算术平方根，正确开平方是解题关键． 六、几何图形问题 45.如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    【答案】 【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9 ∴， 即， ∴ 故答案为： 46．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．    (1)这个魔方的棱长为______． (2)图1的侧面有一个正方形，求这个正方形的面积和边长． (3)将正方形放置在数轴上，如图2所示，点A与数3表示的点重合，则D在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)6 (2)，边长 (3) 【分析】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系，正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示． （1）根据正方体的体积，求的立方根，即可作答． （2）根据正方形的面积，求的平方根，即可作答． （3）根据数轴上表示实数，在左边的点用减法表示，即可作答． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， ∴， 故答案为：6； （2）解：， ∵边长乘边长， ∴边长； （3）解：∵，点A为3， ∴点D代表的数为， 故答案为：． 47.数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远．例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示．    (1)由图2，你能得到的数学等式为： ； (2)观察图3，解决以下问题：若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积： （1）两种方法表示出整个长方形的面积，即可得出结果； （2）两种方法表示出整个正方形的面积，得到关系式，变形求值即可． 【详解】（1）解：由图2可得：； 故答案为： （2）由图3，可得到： ， ， ， ， ． 七、规律探究与阅读理解题 48.观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字规律，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的式子过程，直接写出第5个等式，即可作答． （2）根据前5个等式的特征，得出，运用平方差公式进行化简，得即可作答． （3）结合前面的结论得，则原式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； （2）解：依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）解：由（2）得 ∴ ． 49. 小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，一元二次方程，平方差公式，先计算，然后得，则可以求出，再平方，最后解一元二次方程并检验即可，熟练掌握知识点应用是解题的关键． 【详解】解： 又由，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可得: 整理得：，解得：或， 经检验或是原方程的解, 故答案为：或． 50.请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式 的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)2028 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，运用整体思想准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 51．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 八、综合压轴题 52.阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 53.对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)6 (2)10，11 (3)12 【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：6； （2）解：∵， ， 解得：， ∴整数的值为 10，11 ； （3）解：， ， ， 原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $