第一次月考复习冲刺（培优篇）（第19章实数+第20章二次根式） 【精英班课程】2025-2026学年 沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（培优篇） 一、选择易错题 1．下列说法中，不正确的是（） A．4的平方根是 B．8的立方根是 C．64的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】C 【分析】根据平方根和立方根的定义进行计算，一个正数的平方根有正负两个，正的平方根是该数的算术平方根，所有实数的立方根只有一个，然后进行逐一判断即可． 【解析】A. 4的平方根是，原选项不合题意； B. 8的立方根是2，原选项不合题意； C. 64的立方根是，原选项符合题意； D.的算术平方根是，原选项不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A. 正实数、零和负实数统称实数，原说法错误； B. 正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误； C. 正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误； D. 无理数和有理数统称实数，说法正确； 故选：D． 3．要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数， 故选：D． 4.下列运算一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方根、立方根的定义判断即可． 【解答】解：．，此选项错误，不符合题意； ．，此选项正确，符合题意； ．，此选项错误，不符合题意； ．，此选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查算术平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题． 5.已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（    ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数大小，平方根，代数式求值．先通过估算无理数求得到a、b值，再代入求出代数式值，然后根据平方根定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵a是的整数部分，b是的小数部分 ∴， ∴ ∴的平方根 故选：D． 6．下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 7.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 8．若，那么（　　） A． B． C． D．a为一切正实数 【分析】根据二次根式的性质，列出不等式进行求解即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．已知实数、、在数轴上如图，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，立方根，绝对值，实数与数轴，熟练掌握相关性质是解题的关键．由数轴易得，则，，然后利用立方根的定义，绝对值的性质，二次根式的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴易得， 则，， 原式 ， 故选：D． 10．把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义得出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 11．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 12. 在下列各式中，二次根式的有理化因式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案． 【详解】∵， ∴二次根式的有理化因式是：. 故选C. 13. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤即可解答． 【详解】解：∵与不能合并， ∴错误， ∴故项不符合题意； ∵， ∴正确， 故项符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，分母有理化的步骤，掌握对应法则是解题的关键． 二、填空易错题 14.的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求算术平方根、平方根，熟记平方根、算术平方根的定义与求法是解决问题的关键．先求出、，再由算术平方根及平方根的求法求解即可得到答案． 【详解】解：， 的算术平方根是； ， 的平方根是； 故答案为：；． 15.的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根以及立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是； ∵，的立方根是， ∴的立方根是， 故答案为：，． 16.当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 17．已知a，b为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，非负数的性质，先根据算术平方根的非负性计算出a和b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意，得且， 因为两个非负式，之和为0， 所以且 所以， 所以． 18.若，则 ． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：有意义， ， 原等式变形为， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 19.等式成立的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 利用二次根式的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵， 要使有意义， 则， 解得：， 故答案为：． 20.当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21.解不等式：的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式，二次根式的运算． 根据解不等式的步骤求解，最后将分母进行有理化，即可解答． 【详解】， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 即． 故答案为： 22.已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意，先求出，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到． 23．若，则化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质．先根据二次根式的性质化简，再算乘除法，即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 24．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 25．规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：， （1）填空 （2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了新定义运算、估算无理数大小，正确理解题意是解题关键． （1）结合，得，即有，根据题意即可获得答案； （2）首先根据估算无理数大小的方法确定，进而可知，根据题意即可获得答案； （3）根据符号的定义可知，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（1）1；（2）；（3）． 3、 计算题 26.解方程：． 【答案】 【分析】先把看成一个整体，求出它的值，然后再求原方程的值 【详解】原方程变形为 解得 原方程的解为： 【点睛】本题考查了立方根，将看成一个整体是解题的关键． 27. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题关键．根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 28计算： 【详解】解：（1） ； 29. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简，将分母有理化，然后合并同类二次根式得到答案． 【详解】解： ． 30. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘除混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式被开方式非负、二次根式乘法运算法则及二次根式除法运算法则等，熟练掌握二次根式性质及乘除运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式性质化简，再结合二次根式乘除运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ； 另一种解法： 原式 ． 31.计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可 【详解】解：∵ ∴， ∴ 32.解不等式： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元一次不等式： （1）先化简二次根式和计算二次根式除法，再计算二次根式加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 33.若为实数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， ∴ ． 34.先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 35. 已知，求代数式 的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，因式分解等知识．熟练掌握分母有理化，利用二次根式的性质进行化简，因式分解是解题的关键． 利用二次根式性质进行化简，进行因式分解可得化简结果，分母有理化可得的值，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， 将代入得，原式． 36.已知，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键． 四、几何图形问题 37.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据数轴得，然后利用二次根式的性质得到，再去绝对值，合并即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：7． 39.如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；根据算术平方根的概念可求，再根据数轴上距离的概念可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 39.如图1，一个边长为5的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形的四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形．对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论I：若阴影小正方形的边长为2，则大正方形的边长为； 结论Ⅱ：若大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长是 A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】结论I：根据题意可算出四个完全相同的直角三角形的面积和，再根据折叠的性质得到折叠后的三角形面积不变，以此即可算出大正方形的面积，继而求得其边长； 结论Ⅱ：设阴影小正方形的边长为x，则大正方形的面积为，进而求得其边长，再根据边长为正整数，且边长大于5，可得或，以此算出x的值，再进一步计算即可． 【详解】结论I：∵一个边长为5的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为2， ∴四个完全相同的直角三角形的面积和为， 由翻折的性质可得，翻折后的三角形面积等于翻折前的三角形面积， ∴图2中8个完全相同的直角三角形的面积和为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长，故I正确； 结论Ⅱ：设阴影小正方形的面积为x， 则大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的边长为正整数，边长大于5且小于8， ∴或， ∴或， ∴阴影小正方形的边长为1或，故Ⅱ不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，找到翻折后的大正方形的面积与原来正方形的面积关系式解题关键． 40．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 41如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】(1)4 (2)阴影部分的面积和边长分别为8、 (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）解：棱长为， 每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是， 所以魔方的一面四个小正方形的面积为， ； 正方形的边长为； （3）解： 正方形的边长为， 点与重合， 点在数轴上表示的数为． 【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 42. 同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． （1）直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． （2）现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】（1）8， （2）过道的宽度为 2 米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设正方形的边长为米，则， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， ∴，， 故答案：8，． 【小问2详解】 解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为2米． 五、应用题 43．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 44.某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为． （1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？ （2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？ 【分析】（1）设长方形围场长为米，则其宽为米，根据长方形面积列出方程求出的值，进而可知长方形长与宽； （2）由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 【解答】解：设长方形围场长为米，则其宽为米，根据题意， 得：， 解得：或（舍， 长，宽， 答：改建后的长方形场地的长和宽分别为米、米； （2）设正方形边长为，则， 解得：或（舍， 原正方形周长为120米， 新长方形的周长为， ， 栅栏不够用， 答：这些金属栅栏不够用． 【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键． 六、规律探究题 45．，，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：， ， ，      ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果． 46.学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 47.观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字规律，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合已有的式子过程，直接写出第5个等式，即可作答． （2）根据前5个等式的特征，得出，运用平方差公式进行化简，得即可作答． （3）结合前面的结论得，则原式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； （2）解：依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）解：由（2）得 ∴ ． 七、阅读理解题 48.观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： … (1)求的倒数； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； (3)利用上面的结论，求下列式子的值： 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是∶ （1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可； （2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解∶ ， 的倒数是； （2）解：观察已知式子可得，； （3）解∶ 原式 ． 49.读下列解题过程：．请解决下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①________； ②________； (2)求的值； (3)________． 【答案】(1)①，② (2)． (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化的法则． （1）利用分母有理化的步骤进行化简即可； （2）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可； （3）先对二次根式进行分母有理化，再进行二次根式的加减即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：，； （2）解：原式； （3）解： ． 故答案为：． 50．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 51.【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 【答案】(1)5， (2) 【详解】（1）解：，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； ……， 以此类推，可知，， ；， （负值舍去）； 故答案为：，； （2）解：， ． 52．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数x，y满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【详解】（1）解：，， 即， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ①，同理②， ∴①②得：， ， ． 六、综合压轴题 53.对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)x的值为1 【分析】本题考查了新定义、实数的大小比较、求不等式组的解集，理解新定义是解题的关键． （1）先比较的大小关系，再根据新定义即可求解； （2）根据，可得，求解不等式组即可得出答案； （3）根据新定义可得，则，得出关于的不等式组，求解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴x的范围为； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为1． 54.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 55.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 56.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺（培优篇） 一、选择易错题 1．下列说法中，不正确的是（） A．4的平方根是 B．8的立方根是 C．64的立方根是 D．的算术平方根是 2．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 3．要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 4.下列运算一定正确的是　　 A． B． C． D． 5.已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（    ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 6．下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8．若，那么（　　） A． B． C． D．a为一切正实数 9．已知实数、、在数轴上如图，则（   ） A．0 B． C． D． 10．把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 11．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 12. 在下列各式中，二次根式的有理化因式是( ) A. B. C. D. 13. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空易错题 14.的算术平方根是 ；的平方根是 ． 15.的算术平方根是 ，的立方根是 ． 16.当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）． 17．已知a，b为实数，且，求的值． 18.若，则 ． 19.等式成立的条件是________． 20.当时，化简的结果是 ． 21.解不等式：的解集是____________． 22.已知，且，则的值为 ． 23．若，则化简为 ． 24．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 25．规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：， （1）填空 （2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 3、 计算题 26. 解方程：． 27. 计算： 28计算： 29. （2024—25学年杨浦区八年级上期中）计算：． 30. 计算： 31.计算：； 32.解不等式： 33.若为实数，求的值． 34.先化简，后求值：，其中，． 35. 已知，求代数式 的值． 36.已知，求的值． 四、几何图形问题 37.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 ． 39.如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 39.如图1，一个边长为5的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形的四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形．对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论I：若阴影小正方形的边长为2，则大正方形的边长为； 结论Ⅱ：若大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长是 A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 40．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 41如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 42. 同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． （1）直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． （2）现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 五、应用题 43．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 44.某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为． （1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？ （2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？ 六、规律探究题 45．，，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 46.学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 47.观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 七、阅读理解题 48.观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： … (1)求的倒数； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； (3)利用上面的结论，求下列式子的值： 49.读下列解题过程：．请解决下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①________； ②________； (2)求的值； (3)________． 50．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 51.【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 52．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 解决问题： (1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (2)计算：； (3)设实数x，y满足，求的值． 六、综合压轴题 53.对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 54.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 55.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 56.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $