专题09 全等三角形模型之半角模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 5 15 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级上·重庆·期中）如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、． (1)当绕点旋转到时如图，证明：； (2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 例2（24-25七年级下·山东·期末）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 例3（24-25·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例4（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例5（24-25八年级上·贵州·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 例6（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明；②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（    ） 平分；平分；；的周长正方形边长的倍 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）附加题： 【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为90°）中，E、F分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路． 大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接；（2）求证：． 【问题应用】在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于E、F两点且，则五边形的周长_____________． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 4．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且．①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明．②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 7．（24-25九年级上·北京·期中）阅读下列材料： 问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°． 判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）如图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是 ； （2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为 ，△EFC的周长为 ；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，求△AEF的面积．写出解答过程． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期中）综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】（1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】（2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 9．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证    (1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整． 证明：延长至点P，使，连接，如图1， (2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系 ，若正方形的周长为4，则的周长是 ：(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 11.（2024七年级下·成都市·专题练习）操作：如图①，是正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、边于M、N两点，连接． 探究：线段、、之间的关系，并加以证明． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）； （2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ①（如图②）；②（如图③）． 附加题：若点M、N分别是射线、上的点，其它条件不变，再探线段、、之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由． 13．（24-25八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 15.（24-25八年级下·贵州·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 16.（24-25八年级上·河南郑州·期末） 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 5 15 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形，， ，E、B、N三点共线， ，，，，， ，，，， ；故答案为：； （2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，，E在上， 四边形是正方形，，， ，，，， ，，； （3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ，， E、B、N三点共线， ，，，，． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级上·重庆·期中）如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、． (1)当绕点旋转到时如图，证明：； (2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，见解析 【详解】（1）证明：如图， ∵把绕点顺时针旋转，得到，≌，，， 四边形是正方形，，， 点、、三点共线．， 又，在与中，，≌，， ，，，． （2）证明：如图，把绕点顺时针旋转，得到， ≌，，， 四边形是正方形，，， 点、、三点共线．， 又，在与中，，≌，， ，． （3）解： 理由如下：如图，在线段上截取，连接， 在与中，，≌，，． 在和中，，≌，，． 例2（24-25七年级下·山东·期末）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：，证明：延长到，使， ，， 在和中，，，，， ，，，， 在和中，，，， ，； （2）解：，证明：延长到，使，连接， ，， ，，， ，，， 在和中，，，，， ，，，， ，， 在和中，，，， ，； （3）解：，证明：在上截取，连接， ，，， ，，，， 在和中，，， ，，，， 在和中，，，， ，． 例3（24-25·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN， 由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，，， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°， ∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN =30°，∴∠NBM=∠NBH， 在△NBM与△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x， ∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°， ∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选：C． 例4（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例5（24-25八年级上·贵州·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，，． ．．． 又，，， ．．故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，，， 在与中，，．． ，．，即． 在与中，，． ，即，． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接． ，，． 在与中，．． ．． ，∴．，，． 例6（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明；②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 【答案】【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】 【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形，，， 点、分别为、中点，，， ，，； （2）解：．证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ，，点、、共线，，， ，即． 在和中， ，， ，； （3）解：①（2）中的结论不成立．证明：如图所示． ，把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，点、、在一条直线上．，，． 又，． ，．． 在和中，，．． ，，∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为； ②，证明：如图所示． 由①知，，∴， ∴，∴； [模型建立]成立，如图，． 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上，，， ，， ，，，， ，∴（2）中的结论还成立，； [拓展应用]解：是边长为的等边三角形，，， ，， ，，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ，，，， ，，，，， 的周长． 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（    ） 平分；平分；；的周长正方形边长的倍 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵将绕点顺时针旋转了，∴，，，，∴，∴三点共线， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，，， ∴平分，故正确； ∵，∴，∴平分，故正确； ∴的周长， ，故正确；综上可知：正确，故选：． 2．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）附加题： 【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为90°）中，E、F分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路． 大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接；（2）求证：． 【问题应用】在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于E、F两点且，则五边形的周长_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【问题应用】 【详解】解：【问题发现】（1）与可以看作绕点A旋转的关系． ∴延长到点G，使，连接，故答案为：； （2）证明：由（1）的，∵四边形是正方形， ∴，，∴ 在和中，，∴， ∴，∴ ∵，∴ 在和中，，∴，∴∴； 解：【问题应用】将绕点A顺时针旋转得到，    ，，，，， ，∴M、B、E三点共线， ，，， ，，，， ∴五边形的周长（）， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】成立，见解析 【详解】解：成立．证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ，、、三点共线， ，， ，，，，． 4．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． (1)【提出问题】，，之间的数量关系为______； (2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形，，，∴， ，，， ，，， ，， ，故答案为：； （2）解：成立，理由如下：延长到点，使，连接， ∵，∴，∴， ，，，， ，，，， ，，； （3）解：延长到点，使，连接，则， 与互补，， ，，，，， ，，， ，，， 的周长为，故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2），理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中， 在和中 6．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且．①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明．②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 【答案】①它们的关系为．证明见解析；②当秒时周长为，当时，不存在；当秒时，周长为 【详解】①它们的关系为．理由如下：如图1，延长到点G，使，连结， 又， ，， ， 又， 即 ②依题意得，记的周长， ，，， （I）当秒时，点在线段上，点在上， 由①知 ， II）当时，点与点重合，不存在. III）当时，点在延长线上，点在延长线上， 如图2，在上取点G，使，连结， 同理可得， 综上所述，当秒时周长为， 当时，不存在. 当秒时，周长为． 7．（24-25九年级上·北京·期中）阅读下列材料： 问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°． 判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）如图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是 ； （2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为 ，△EFC的周长为 ； （3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，求△AEF的面积．写出解答过程． 【答案】（1）；（2）5，10；（3）△AEF的面积为15．解答过程见解析． 【详解】解：（1），理由如下： ∵将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH∴ △ ADF≌ △ ABH ∴ ∠ DAF=∠ BAH，AF=AH∴∠FAH=90°∴∠EAF=∠EAH=45° 在△FAE和△HAE中， AF=AH；∠FAE=∠HAE；AE=AE ∴△FAE≌△HAE（SAS）∴EF=HE=BE＋HB ∴EF=BE＋DF （2）∵△FAE≌△HAE，AG、AB分别是△FAE与△HAE的高 ∴ AG=AB=5 在△AEG与△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°；AE=AE；AG=AB ∴ Rt△AEG≌ Rt△ABE（HL）∴EG=BE 同理GF=DF ∴△EFC的周长=EC＋EF＋FC=EC＋EG＋GF＋FC=EC＋BE＋DF＋FC=BC＋CD=10 （3）将△AEF置于图2中， ∵EG=2，GF=3∴BE=2，DF=3，EF=5 设AB=x，则CE=x－2，CF=x－3 在△CEF中，∵∠C=90° ∴故解得（舍去）， ∴AB=6∴AG=AB=6∴ 8．（24-25八年级下·山西朔州·期中）综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】（1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】（2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1）成立，见详解；（2），见详解 【详解】解：（1）成立． 证明：如图，将绕点顺时针旋转得到．， ∴，，，， ∵，．，，三点共线． ，， ，，，，； （2）结论：．证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形，，， 平分，，， 在和中，，． ，． 9．（24-25七年级下·山东泰安·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析（2），，图见解析（3），理由见解析 【详解】（1） 证明：如图2，平分， ， ，，，，， ，，，，，， ，． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，，， 在与中，，，， ，，，即， 在与中，，，， ，． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证    (1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整． 证明：延长至点P，使，连接，如图1， (2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系 ，若正方形的周长为4，则的周长是 ：(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，2(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：延长至点P，使，连接，如图1，       ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴， ∵在和中，∴，∴， ∵，∴， （2）如图2所示，延长至P，使得，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∵在和中， ∴，∴，∵，∴， ∵正方形的周长为4，∴，∴； （3），理由如下：解：如图3，在上截取，连接，    由（1）知，∴，， ∴，∵，∴． 在和中，∴，∴， 即，∴． 11.（2024七年级下·成都市·专题练习）操作：如图①，是正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、边于M、N两点，连接． 探究：线段、、之间的关系，并加以证明． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）； （2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ①（如图②）；②（如图③）． 附加题：若点M、N分别是射线、上的点，其它条件不变，再探线段、、之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由． 【答案】探究：，见解析；附加题：，图见解析，理由见解析 【详解】（探究）证明：， 如图，延长至，使，连接，∵的等边三角形，∴， ∵，，∴，∴． ∵，∴，∴，， ∵，，∴， 即，∴．∴． （附加题），证明如下：证明：如图，在上截取，使，连接 ∵，，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴． ∴．∴． ∵，∴．∴，即． 13．（24-25八年级下·广东·专题练习）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或或 【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接， ∵∴ ∴，∴∴． ∵，∴．∴． ∵．∴；故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到G，使，连接 ∵，∴ ∵∴∴， ∴∴． ∵，∴．∴． ∵．∴； （3）若如图1，则结论成立，若如图3，则或 证明：在上截取，使，连接． ∵，∴． ∵∴∴ ∴．∴ ∵，∴∴． ∵∴．同理可得： ∵∴．故答案为：或或． 15.（24-25八年级下·贵州·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析 【详解】解：（1）， 理由如下：沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，，∴， ∵，，，∴，∴，， ∵，，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，，∴； （2）设，则， ∴ 的周长为：，故答案为：8； （3），理由如下：如下图中，在上截取，使，连接，    ∵，，∴， 在与中，，∴，∴，， ∴，∴， ∵，，∴，∴，且，∴． 16.（24-25八年级上·河南郑州·期末） 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（） 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，∴，， ∴， ∵，∴， 在和中， ，∴， ∴， ∵，∴，故答案为：，，，； （）仍然成立，理由如下：如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ，∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，，∴， ∴， ∵，∴，∴（）中的结论仍然成立； （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴ 的周长为，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $