4.4.2对数函数的图象和性质（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

该高中数学课件围绕对数函数展开，通过“探究”让学生选取不同底数画图象，观察共性总结性质，涵盖定义域、值域、单调性、过定点及与指数函数互为反函数，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合pH值计算、GDP增长等实际问题，培养“用数学的语言表达现实世界”，题型分类与易错点分析发展“数学思维”。探究式学习和例题解析帮助学生构建知识体系，提升创新意识与解题能力，教师可高效开展教学。

人教版2019高一数学（必修一）第四章 指数函数与对数函数 4.4对数函数 4.4.2对数函数的图象和性质 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.通过具体对数函数图象，掌握对数函数的图象和性质特征，并能解决问题。 2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。 情景导入 与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图像研究其性质．请完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像． x y = log2x 0.5 1 2 4 6 8 16 -1 0 1 2 2.6 3 4 新知探究 思考 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ x y o 1 由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。根据这种对称性，就可以利用y=的图象画出y=的图象画出y=的图象 为了得到对数函数x(a>0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察. 6 选取底数a (a>0，且a≠1) 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y=logax ，(a>0，且a≠1) 的值域和性质吗？ 选取底数a (a>0,且a≠1) 的若干个不同的值，发现对数函数y = logax ,(a>0,且a≠1) 的图象按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型，因此，对数函数的性质可以分为0<a<1和a>1两种情况进行研究． 探究 7 一般地，对数函数的图象和性质如表所示. 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 性质 (1)过定点(1，0)，即x=1时，y=0 （2)减函数 （2）增函数 课本例题 例3：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 ； ∴ log23.4< log28.5 解（1）:用对数函数的单调性 考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是增函数； ∵3.4<8.5 例3：比较下列各组中，两个值的大小： （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 解（2）：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7 例3：比较下列各组中，两个值的大小： （3） log a 5.1与 log a 5.9 （a＞０，且a≠１） 解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的 两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论 当a > 1时, 因为y=log a x是增函数， 且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ； 当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数， 且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ； 胃酸中氢离子的浓度是2.5X摩尔/升，胃酸的pH是多少? 前面根据指数与对数间的关系，由y=(x≥0）得，由函数定义可知x=y∈(0，1]是一个函数。这样，由指数函数y=,x∈[0，+∞)可得到对数函数x=y∈(0，1]，这个对数函数的定义域(0，1]、值域 [0，+∞)分别是指数函数y=，x∈[0，+∞)的值域和定义域。这时就说函数x=y∈(0，1]是函数y=，x∈[0，+∞)的反函数 通常，我们用x表示自变量，y表示函数.为此，把x=y写成y=x，这样，对数函数y=x，x∈(0，1]是指数函数y=，x∈[0，+∞)的反函数.同时，指数函数y=，x∈[0，+∞)也是对数函数y=，x∈[0，+∞)的反函数，因此，指数函数y=，x∈[0，+∞）与对数函数y=，x∈[0，+∞)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 探究 对于指数函数y=，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗?它们的定义域、值域之间有什么关系?它们也互为反函数吗? 一般地，指数函数y=(a>0，且a≠1)与对数函数y=x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 课本练习 题型分类讲解 题型1 对数函数的图象 1.已知点在函数 的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是( ) A A. B. C. D. 解析 点在函数的图象上, . 当时,, 点 也在该函数的图象上,故A符合题意； 当时, ,故B不符合题意； 当时, ,故C不符合题意； 当时, ,故D不符合题意.故选A. 2.（多选）［四川部分学校2025高一期末联考］函数 的图象可以为( ) ACD A. B. C. D. 解析 由题意得函数的定义域为, .①当时，函数单调递增，且，又 ，故A满足题意，B不满足题意.②当时，函数单调递减，且，又 ，当时， ，故C满足题意；当时，，故D满足题意.故选 . 归纳总结 底数和对数函数且 单调性的关系 （1）当时,对数函数为增函数；（2）当时,对数函数 为减函数. 19 3.［广东茂名2025高一期末］如图，①②③④中不属于函数 , , 对应图象的一个是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 解析 根据题意函数,,中两个底数 ，函数单调递增，根据增长规律，“在第一象限内，自左向右底数越来越大”，知③对应，④对应 .由于函数，则它与的图象关于轴对称，且①与④关于 轴对称.故函数 对应的图象为①.则②不属于函数,, 对应图象的一个.故选B. 规律方法 对数函数且底数的大小决定了图象相对位置的高低,不论是 还是 ,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数都逐渐变大. 20 题型2 对数函数的性质 4.［天津西青区2025高一期中］函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 解析 由题意得，解得或，所以函数 的定义域为 .故选B. 链接教材 此题目由教材P140第1题拓展而来,求对数型函数的定义域时,需要注意底数大于0且不等于1,且真数大于0，若有根号、分母还需要注意根号里的数大于或等于0、分母不等于0等. 21 5.［浙江杭州重点中学2024高一期中联考］函数 的值域为( ) C A. B. C. D. 解析 , 设,则 , 故函数的值域为 .故选C. 6.［湖南长沙雅礼中学等2025高一期末联考］已知偶函数在单调递减， ， 若，则实数 的取值范围是______. 解析 因为偶函数在单调递减，，所以在 上单调递增， ，所以等价于，所以 ， 所以，解得.所以实数的取值范围是 . 22 题型3 对数函数与指数函数互为反函数 7.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当 时，，则 ( ) D A. B.4 C. D.5 解析 由于函数的图象与函数的图象关于直线对称,则,所以当 时,,则.又为奇函数,则 .故选D. 名师点拨 同底的指数函数与对数函数互为反函数,互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 23 8.［湖北武汉部分学校2025高一联考］函数与的图象关于直线 对称， 则 的单调递增区间是______. 解析 因为与的图象关于直线对称，所以 ， 所以 ， 由可得，即函数的定义域为 ， 令，因为函数在上单调递增，在 上单调递减， 外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为 . 24 9.若，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 解析 当时,,解得,所以此时的取值范围为 ; 当时,,解得,所以此时的取值范围为 . 综上,实数的取值范围是 .故选D. 易错警示 底数的范围不同决定了函数的单调性不同,所以一定要对底数进行讨论. 易错点1 忽略对底数的讨论（导致单调性的不同）而致错 25 易错点2 忽略与对数有关的复合函数中的真数大于0而致错 10.若函数在区间内单调递增，则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 解析 设,因为,,所以在上单调递减,而 在区间内单调递增,故为减函数,故.又在上满足 恒成 立,故,故 ,故选B. 易错警示 本题考查了复合函数单调性的相关知识,同时也考查了对数函数定义域的要求,而同学们在做题时 常常丢掉定义域的限制条件,属于易错题型.考虑复合函数的单调性需遵循“同增异减”原则,即内 层函数和外层函数单调性相同时,复合函数才会单调递增,作为对数函数的底数,所以有 ,所以 内层函数单调递减,则外层函数需单调递减,还需保证真数在定义域上恒大于0,即保证真数部分最小 值大于0即可. 26 11.［天津静海区一中2025高一月考］已知函数在 上单调递减， 则实数 的取值范围为______. 解析 设， . 由函数在 上单调递减， 得函数在上单调递减，且 ， 故解得 . 故的取值范围为 . 易错警示 求解与对数函数有关的含参数的复合函数问题时,参数不但要结合复合函数单调性的性质列出不等 式求取值范围,还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件. 27 易错点3 忽略分段函数的定义域分界点而致错 12.已知函数满足时恒有成立，那么实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 解析 因为函数满足时恒有 成立,所以函数 在上单调递增,所以 解得 .故选D. 易错警示 分段函数单调性的一致性,要求端点值的大小关系也是确定的. 28 课堂小结 (1)对数函数的图象性质； (2)比较对数式大小的类型及处理方法. 说明：画对数函数 的图象，可以抓住三个关键点： ，采用“三点法”来画简图. 1.在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象，并说明它们的关系. 解：在同一平面直角坐标系中，函数 ， 的图象如图所示.它们的图象关于x轴对称. （2） 函数 在 上是减函数. 又 . （3）当 时，函数 在 上是增函数. EMBED Equation.DSMT4 . 当 时，函数 在 上是减函数. EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 2.比较下列各题中两个值的大小： ； （2） ； （3） ； 解：（1） 函数 在 上是增函数. 又 EMBED Equation.DSMT4 . (2) ∴ 经过4年该地区GDP 能达到 3900亿元人民币. 3.某地去年的GDP （国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%． (1)设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式； (2)经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？ 解： (1)由题意得, . $