4.4.1 对数函数的概念（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

4.4 4.4.1 对数函数的概念 题型一：对数函数的判断 1.（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 2.（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 3.（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 4.（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 题型二：对数型函数的定义域 1.（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 2.（（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 3.（24-25高三上·河北沧州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ,解得且， 所以函数的定义域为. 故选:D. 4.（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为 故选：B 题型三：求对数函数的解析式 1.（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数函数的解析式、对数的运算 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 2.（23-24高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 3.（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题、求幂函数的解析式 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设幂函数，将点的坐标代入幂函数，求出的值，可得出幂函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 4.（23-24高三上·上海静安·阶段练习）点，都在同一个对数函数上，则t= . 【答案】9 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】设出函数解析式，利用得出解析式，代入可得答案. 【详解】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得； 因为也在函数上，所以，解得. 故答案为：9 题型一：判断对数型函数的图象形状 1.（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【知识点】对数型函数图象过定点问题、判断对数型函数的图象形状 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 2.（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】对数型函数图象过定点问题、判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状、对数型复合函数的单调性 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 3.（24-25高一上·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．   C．  D．   【答案】C 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 4.（24-25高一上·上海·单元测试）对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、二次函数的图象分析与判断 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 题型二： 求分段函数解析式或求函数的值、对数的概念判断与求值 1.（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B 2.（2025·广东茂名·一模）已知函数，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数值、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：C 3.（23-24高一下·广东湛江·期末）设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数的概念判断与求值、对数的运算 【分析】根据给定的分段函数，判断代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 4.（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据给定条件，依次判断代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 题型三：对数型复合函数的单调性 1.（23-24高二下·四川·期中）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域、复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】由，则，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则是增函数， 又在上单调递减， 所以的单调递减区间是. 故选：A. 2.（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 3.（23-24高一上·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、解不含参数的一元二次不等式、由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 故选：D 4.（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数，下列说法错误的是（  ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于原点对称 D．在上单调递增 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数的性质一一判断即可. 【详解】函数，则，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 又， 所以的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确； 因为，又在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故D正确. 故选：B 题型四：对数型函数在实际问题中的应用 1.（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【知识点】利用对数函数的性质综合解题 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 2.（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用对数函数的性质综合解题 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 3.（23-24高一上·全国·课后作业）某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年15%的比例降低,要将当前的患病率降低一半,需要多少年? 【答案】4年 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【解析】根据题意设今年的患病率为a,经x年后的患病率为当前的一半.则,再求解即可. 【详解】解:设今年的患病率为a,经x年后的患病率为当前的一半.则,即.∴大约需要4年. 【点睛】本题主要考查了指数函数的模型运用与对数的运算,属于基础题. 4.（24-25高一上·全国·课后作业）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、利用对数函数的性质综合解题 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 1.（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、简单的对数方程、简单的指数方程 【分析】分两种情况，得到方程，求出答案. 【详解】由，得或，解得或， 故选：AC 2.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 3.（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数函数的概念判断与求值 【分析】首先判断函数的周期，再利用周期求函数值. 【详解】由条件可知，，且， 即，即， 那么，所以函数是周期为4的函数， . 故选：B 4.（24-25高一上·全国·课后作业）若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】简单的对数方程、对数的运算性质的应用、求对数函数的解析式、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据点求得对数函数为，再代入点运算即可. 【详解】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得， 所以， 代入点可得，则， 可得，所以. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.4 4.4.1对数函数的概念 题型一：对数函数的判断 基础达标题 题型二：对数型函数的定义 域 题型三：求对数函数的解析 式 题型一：判断对数型函数的 图象形状 4.44.4.1 题型二：求分段函数解析式 对数函数的概 或求函数的值、对数的概念 能力提升题 判断与求值 念 题型三：对数型复合函数的 单调性 题型四：对数型函数在实际 问题中的应用 拓展培优题 A 基础达标题 题型一：对数函数的判断 1.（23-24高一上·全国·课后作业)下列函数，其中为对数函数的是() A.y=logi(-x)B.y=2l0g,(l-x)C.y=Inx D.y=log(dra)x 2.(24-25高一上·全国·课前预习)下列函数是对数函数的是() A.y=log（5+x(a>0且a≠1) B.y=log) C.y=l0g;(-x) D.y=logV3(x>0且x≠1) 3.(24-25高一上·全国课前预习)下列函数是对数函数的是() A.y=log,2 B.y=log;x C.y=2l0g;(x+3)D.y=logx+1 4.(2024高一，全国·专题练习)已知函数①y=4;②y=10g.2;③y=-l0gx;④ y=log2√；⑤y=logx+1;⑥y=log2x+1.其中是对数函数的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①②③ B.③④⑤ C.③④ D.②④⑥ 题型二：对数型函数的定义域 1.(23-24高二下四川南充阶段练习)函数y=1og1-的定义域为《) x+4 A.-0,-4u-4,1 B.-0,-1)U(-1,4 C.（-o0,1 D.(1,+o 2.(24-25高一上辽宁葫芦岛期末)已知函数y=∫(2x+1的定义域为[-1,2]，则函数 f(x) y=log (x+2) 的定义域为() A.【-1,2] B.（-1,2 c.【-l,5 D.（-1,5 3(2425商三L河北池州期中)函数f-一+h(2x+2列的定义域为() A.(1,+0) B.(0,-1)UL,+o)C.(-oo,1D D.(-1,1)U(L,+o) 4.(23-24高一上湖北荆门期末)函数y= =x的定义域为() lgx A.(0,1 B.(0,1 C.(1,+o) D.0,1U1,+0 题型三：求对数函数的解折式 1.(24-25高一上·全国·课后作业)已知对数函数的图象过点M(9,-2),则此对数函数的解 析式为() A.y=log2x B.y=log;x C.y=logx D.y=logx 2 2.(23-24高一上全国课后作业)若函数f(x)=log。x+a2-3a+2是对数函数，则a的值 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是() A.1或2 B.1 C.2 D.a>0且a≠1 3.(24-25高一上，湖南邵阳·开学考试)函数y=log（3x-5)+√2的图象恒过定点P,点P在 幂函数f(x的图象上，则(9=() A吉 B.3 C.3 D.9 4.(23-24高三上·上海静安阶段练习)点P(16,2),Q1,1og23)都在同一个对数函数上，则 B 能力提升题 题型一：判断对数型函数的图象形状 1.(2024广东深圳二模)已知a>0,且a≠1，则函数y=1ogx+的图象一定经过(） 、a A.一、二象限B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限 2.(24-25高三上广西贵港开学考试)已知函数f(x=a-2(a>0,且a≠1)的图象不经过 第一象限，则函数8x=1og(x+2)的图象不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(24-25高一上·全国课前预习)函数y=x+a与y=l0g,x的图象只可能是下图中的() 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 4.(24-25高一上·上海单元测试)对数函数y=log。xa>0且a≠1)与二次函数 y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是() D 题型二：求分段函数解折式或求函数的值、对数的概念判断与求值 1.(24-25高三上·福建宁德开学考试)已知f(x)= [e-2,x<4 1og,(r-1),x≥4' 则f(f(6)等于() B. e C.1 D.2 3,x<1 2.(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)= 1og,(x+8),x≥1' 则f(-1+f(1)=() B.3 c.3 D. 10 3 3.(23-24高一下·广东湛江期末)设函数f(x)= Ara） A.1 B.2 C.0 D.-1 4.(2025·吉林长春.模拟预测)已知f(x)= log2x,x> 4,x≤0 0,则f3》=() A号 1 C.3 D.3 题型三：对数型复合函数的单调性 1.(23-24高二下·四川期中)函数f(x)=1nx2-4x-12)的单调递减区间为( A.-0,-2 B.-0,2) C.2,+0 D.6,+0 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(23-24高一下湖南长沙期中)若函数f(x)=ln「(a-1)x+1在(2,3)上单调递减，则实 数a的取值范围是() A.（-0,1 B [到 C. 3.(23-24高一上湖北期末)若函数f(x)=1og1(-x2+6x-5列在区间(3m-2,m+2)内单调 递增，则实数m的取值范围为() c[] n.B2 4.(24-25高三上北京房山期中)已知函数f(x)=n1+x 1-x 下列说法错误的是() A.f(x)的定义域为-1，) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.fx)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 题型四：对数型函数在实际问题中的应用 1.(23-24高二下·浙江绍兴阶段练习)现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500 年，该元素的存品为原来的一半)，某生物标本中该放射性元素面初始存量为，经检测现 50) 在的存量兮，据此准测该生物距今约为〔）（参考数病：1g203f10=m(2 A.2700年 B.3100年 C.3500年 D.3900年 2.(多选题)(2024湖南长沙模拟预测)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子 核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生B衰变，其半衰期是12.43年样本中 氚的质量N随时间t(单位年)的衰变规律满足N=,·224，其中N,表示氚原有的质量， 则()（参考数据：lg2≈0.301） A.1=12.431og:N B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 2 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N。,则x>16 3.(23-24高一上·全国·课后作业)某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 以每年15%的比例降低，要将当前的患病率降低一半，需要多少年？ 4.(24-25高一上全国·课后作业)尽管月前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究， 已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之 间的关系为：1gE=4.8+1.5M.2008年5月12日，我国汶川发生了里氏8.0级大地震，它所释 放出来的能量约是2022年9月5日我国泸定发生的里氏6.8级地震释放能量的()倍.（参 考数据：10-5≈32,1018≈63,1019≈79) A.32 B.63 C.79 D.100 拓展培优题 1.(23-24高一上·广东茂名·期末)已知函数f(x)= iog,x>0若f=2,则x=() 2+1,x≤0 A.0 B.2 C.4 D.6 2.(24-25高一上·全国·课堂例题)下列函数中是对数函数的为() A.y=log2 x2 B.y=log;(x-1) 3 C.y=log(xx D.y=log,x 3.(23-24高一上·江西宜春阶段练习)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x=∫(2-x). 当1≤x≤2时，f(x)=log2x+7),则f(2023)=() A.3 B.-3 C.-5 D.5 4.(24-25高一上·全国课后作业)若点P(16,2),9t,l0g,3)都在同一个对数函数的图象上， 则t等于() A.3 B.6 C.9 D.12