专题04 圆 16大题型（期中专项训练）九年级数学上学期人教版

专题04 圆 题型1 圆的基本性质 题型9 切线判定与性质综合（重点） 题型2 垂径定理及应用（常考点） 题型10 三角形的内切圆（常考点） 题型3 点与圆上一点最值问题（重点） 题型11 正多边形与圆的综合（常考点） 题型4 圆周角定理（常考点） 题型12 弧长的计算 题型5 圆内接四边形（常考点） 题型13 扇形面积的计算（常考点） 题型6 点与圆的位置关系的判定 题型14 圆锥的侧面积（常考点） 题型7 三角形的外接圆（常考点） 题型15 不规则图形的阴影面积（重点） 题型8 直线与圆的位置关系的判定 题型16 圆锥侧面最短路径问题（重点） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆的基本性质（共4小题） 1．在中，是直径，于，若，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质； 连接，求出半径，可得，，则垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴, ∴，， ∴, 又∵， ∴， 故选：C． 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，圆的基础知识，先结合等边对等角，三角形内角和性质，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则所对的圆心角等于 故选：D 3．如图，是的弦，过圆心O，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，连接，先根据等边对等角，从而得到，再利用等腰三角形的定义和三角形外角的性质得到的度数即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为邻边作矩形，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，矩形的性质，连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 垂径定理及应用（共5小题） 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 3．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 4．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及垂径定理的应用．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接．根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上， 设圆心是，连接． 根据垂径定理，得米， 设圆的半径是米，根据勾股定理， 得， 解得． 故选：C． 5．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 题型三 点与圆上一点最值问题（共4小题） 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 2．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， 当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， ∵， ∴当点E，P，M三点共线时，取得最小值，此时为， ∵点E是上动点， ∴当E与点O重合时，最小，此时为， ∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值， ∵矩形中，，以A为圆心，2为半径作． ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】∵， ∴当时，， 解得：， ∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O点为AB的中点，   又∵圆心C坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC长度=， ∵O点为AB的中点，E点为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， 即：OE=BD， ∵D点是圆上的动点， 由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， ∴BD的最小值为4， ∴OE=BD=2， 即OE的最小值为2， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值. 【详解】∵抛物线与轴交于、两点 ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 在直角三角形COB中 BC= ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点 ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP 又∵P在圆C上，且半径为， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大 此时BP=BC+CP= OQ=BP=. 故选：C. 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况. 题型四 圆周角定理（共6小题） 1．如图，是的直径，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆周角定理;利用圆周角定理求出可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 3．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 4．如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用圆周角定理可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，从而可得，进而可得，最后根据圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． 故选：A． 5．如图，A，B，C是上的点，，，交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，关键是熟练掌握圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得出，平行线性质得出，结合三角形内角和定理即得． 【详解】解：，， ∴， ∵， ． 故选：D． 6．如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直径所对圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得的度数，根据平行线的性质，可得的度数，从而可得的度数，根据圆周角定理，即可得的度数． 【详解】解：∵在中，是的直径，是上的一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理． 题型五 圆内接四边形（共4小题） 1．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角和为．根据已知条件，通过圆内接四边形对角互补即可计算出未知角的度数． 【详解】四边形是的内接四边形， ， ， ， 故选：D． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，E 在上 ， 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据是的直径，，可得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：连接，如图 ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故选C． 3．如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补得到，由，等量代换得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 4．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 题型六 点与圆的位置关系的判定（共4小题） 1．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【详解】解：的半径为3，， 点A到圆心的距离大于半径， 点在圆外， 故选：B． 2．若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 3．已知半径为5的的圆心为平面直角坐标系的原点O，则点和的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得点到圆心的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点与的位置关系． 【详解】解：点的坐标为， 由勾股定理得，点到圆心的距离， 点在上， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键. 4．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 题型七 三角形的外接圆（共3小题） 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 题型八 直线与圆的位置关系的判定（共3小题） 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，；直线和圆相切，；直线和圆相离，（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）求解． 【详解】解：由题意知， ∵的半径为，线段，， ∵点A到圆心O的距离，大于圆的半径， ∴点A在圆的外部， ∵点B到圆心O的距离，等于圆的半径， ∴点B在圆上， ∵点A在圆外，点B在圆上， ∴直线会与圆O相交或相切． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 3．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 题型九 切线判定与性质综合（共4小题） 1．如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 2．如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线． (2)已知：，，求的半径是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】（1）过点O作于点E，连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质结合角平分线的性质定理，得出，即是的半径，即证是的切线； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可求出，，再根据含30度角的直角三角形的性质得出，即得出答案． 【详解】（1）证明：过点O作于点E，连接， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线． 与O相切于点D， ∴， ，即是的半径， 是的切线； （2）解：∵为等腰三角形，O是底边的中点， ∴是的平分线，，， ∴． ∴． ∵， ， 的半径是． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质和判定，角平分线的性质定理，含30度角的直角三角形的性质，连接常用辅助线是解题关键． 3．如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．    (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，为的直径，所以，则，即可证明与相切； （2）由，得，则，所以，再根据等角的余角相等证明，则． 【详解】（1）连接，则， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的半径的外端，且， ∴与相切．    （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证； （2）连接，设，证明，可得，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    平分， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接，如图，    设 ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 题型十 三角形的内切圆(共3题） 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 题型十一 正多边形与圆的综合（共5题) 1．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可． 【详解】解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，      ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， ∵过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为， 故选：D． 4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点，    ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 题型十二 弧长的计算（共3题） 1．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 2．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 先根据弧长公式计算出点P绕滑轮中心旋转了的路径，即半径为12厘米圆心角为的弧长，然后根据动滑轮省一半的力，则重物上升的高度为弧长的一半，计算即可． 【详解】解：点的路径长为（厘米）， 重物上升的高度为（厘米）． 故选：B． 3．如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式．连接，根据正五边形内接于，可以求出，根据弧长公式即可求出的长度． 【详解】解：连接， 正五边形内接于， ， 的长， 故选：A． 题型十三 扇形面积的计算（共3题） 1．如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先利用圆周角定理得出，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设， 根据题意可列方程为：， 解得：， 则， 大扇形的半径为，扇面的宽度为， ， 则 ．     故答案为：． 3．如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约66cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形中，，， ∴，， ∵车轮的直径为26英寸，约66cm， ∴车轮的半径约， ∴需要的铁皮面积约是， 故选：A 题型十四 圆锥的侧面积（共3题） 1．将一个底面半径为的圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的弧长，圆锥底面圆周长是其侧面展开图得到的扇形弧长，据此可得答案． 【详解】解：， ∴这个扇形的弧长是， 故选：B． 2．将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为， 又∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可． 本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径是r，则， 解得， ∴扇形的半径是4． 故答案为：4． 题型十五 不规则图形的阴影面积（共3题） 1．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 2．如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键．连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 则， 故选：A． 3．如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形与弓形相等，由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，三点共线， ∵四边形是正方形，点E，F分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ，，， ， 则弓形与弓形相等， ． 故选：B． 题型十六 圆锥侧面最短路径问题（共2题） 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键． 2．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． $专题04 圆 题型1 圆的基本性质 题型9 切线判定与性质综合（重点） 题型2 垂径定理及应用（常考点） 题型10 三角形的内切圆（常考点） 题型3 点与圆上一点最值问题（重点） 题型11 正多边形与圆的综合（常考点） 题型4 圆周角定理（常考点） 题型12 弧长的计算 题型5 圆内接四边形（常考点） 题型13 扇形面积的计算（常考点） 题型6 点与圆的位置关系的判定 题型14 圆锥的侧面积（常考点） 题型7 三角形的外接圆（常考点） 题型15 不规则图形的阴影面积（重点） 题型8 直线与圆的位置关系的判定 题型16 圆锥侧面最短路径问题（重点） 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆的基本性质（共4小题） 1．在中，是直径，于，若，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．4 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的弦，过圆心O，且，若，则的度数为 ． 4．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为邻边作矩形，连接．若，，则的长为 ． 题型二 垂径定理及应用（共5小题） 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 3．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 4．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 5．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 题型三 点与圆上一点最值问题（共4小题） 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 题型四 圆周角定理（共6小题） 1．如图，是的直径，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，A，B，C是上的点，，，交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型五 圆内接四边形（共4小题） 1．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，E 在上 ， 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型六 点与圆的位置关系的判定（共4小题） 1．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 2．若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知半径为5的的圆心为平面直角坐标系的原点O，则点和的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 4．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 题型七 三角形的外接圆（共3小题） 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 题型八 直线与圆的位置关系的判定（共3小题） 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 3．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 题型九 切线判定与性质综合（共4小题） 1．如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 2．如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线． (2)已知：，，求的半径是多少？ 3．如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．    (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 4．如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出半径的长． 题型十 三角形的内切圆(共3题） 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 题型十一 正多边形与圆的综合（共5题) 1．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 题型十二 弧长的计算（共3题） 1．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 3．如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型十三 扇形面积的计算（共3题） 1．如图，点，，是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 3．如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约66cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（   ） A． B． C． D． 题型十四 圆锥的侧面积（共3题） 1．将一个底面半径为的圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长是（   ） A． B． C． D． 2．将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 题型十五 不规则图形的阴影面积（共3题） 1．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十六 圆锥侧面最短路径问题（共2题） 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 2．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． $