1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 导学案 2025-2026学年北师大版 数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，通过预习导学中表格填写、直角三角形三边关系回顾（含30°三角形1∶2∶√3、等腰直角三角形1∶1∶√2）搭建支架，引导学生从已有知识自主探索函数值推导过程，衔接前后知识脉络。 以素养目标为引领，设置预习填空、合作探究任务驱动（含梯子靠墙、拉船靠岸等实际问题）及变式训练，培养学生抽象能力与几何直观（数学眼光）、运算能力（数学思维）、模型意识与应用意识（数学语言），助力自主与合作学习，提升学习效率与应用能力。

1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 素养目标 1.经历探索特殊角30°、45°、60°的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义,发展观察、分析的能力. 2.会进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.会根据30°、45°、60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小. ◎重点::探索30°、45°、60°角的三角函数值;能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 【预习导学】 知识点一：30 °,45 °,60 °角的三角函数值 阅读教材本课时“例1”前面的内容,并回答下列问题. 填写下面的表格. 角度 sin α cos α tan α 30° 45° 60° 　　当角度在0°~90°间变化时,正切值、正弦值都随着角度的增大(或减小)而　　　　(或　　　　);余弦值随着角度的增大(或减小)而　　　　(或　　　　).  知识点二：与特殊角有关的三角函数计算   阅读教材本课时的“例1、例2”,完成下列填空. 1.在“例1”中,实数的运算顺序是先　　　　,再　　　　,最后　　　　.sin260°表示　　　　.  2.若sin α=,则α=　　　　;若cos α=,则α=　　　　;若tan α=,则α=　　　　.  1.在含30°的直角三角形中三边的比是　　　　.  2.等腰直角三角形的三边之比为　　　　.  3.计算:sin245°+cos245°-tan 60°. 【合作探究】 任务驱动一：(1)已知∠A是锐角,且cos A=,则∠A=　　　　,sin A=　　　　;  (2)已知∠B是锐角,且2cos B=,则∠B=　　　　;  (3)已知∠A是锐角,且3tan A -=0,则∠A=　　　　.  任务驱动二：计算: (1)2sin230°·tan 30°+cos 60°·tan 60°; (2)sin245°-tan230°+. 变式训练　计算-3tan 30°的值为　　　　　　　.  方法归纳交流　解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,与特殊角三角函数值有关的运算,先写出每个锐角函数值,然后转成具体的实数运算,应注意运算的顺序和计算的方法. 任务驱动三：在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,cos A=,sin B=,则△ABC的形状是 (　　) A.钝角三角形　　　　　　B.锐角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 任务驱动四：如图,在一间教室内有一个长为2a(a>0)米的梯子斜靠在墙上,梯子的倾斜角为60°.如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子的倾斜角为45°,则这间教室的宽AB的长度为　　　　　　米.  任务驱动五：如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米的速度收绳.问:8秒后船向岸边移动了多少米? 　 1.已知α为锐角,且cos(90°-α)=,则α=　　　　.  2.计算:2tan 45°--2sin260°+. 　 　　　　 参考答案 【预习导学】 知识点一 增大　减小　减小　增大 知识点二 1.乘方　乘除　加减　(sin 60°)2 2.45°　60°　30° 对点自测 1.1∶2∶ 2.1∶1∶ 3.解:原式=1-. 【合作探究】 任务驱动一 (1)60°　 (2)30° (3)30° 任务驱动二 解:(1)原式=×+×=. (2)原式=-+=1. 变式训练　2- 任务驱动三 C 任务驱动四 (a+a) 任务驱动五 解:在Rt△ABC中,=sin 30°, ∴BC==10米, ∴AB=5米. 收绳8秒后,绳子BC缩短了4米,只有6米, 这时,船到河岸的距离为==米. 船向岸边移动了5-≈5.3米. 素养小测 1.45° 2.解:原式=2×1--2×2+ =2-2-+ =0. 学科网（北京）股份有限公司 $