4.2.2 指数函数的图象和性质 （第1课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，通过手机电量衰减、疫情传播模型等现实情境导入，类比幂函数研究方法构建“背景→概念→图像与性质→应用”的学习支架，帮助学生衔接旧知。 其特色在于以真实情境激发探究兴趣，培养数学眼光，通过对比y=2^x与y=(1/2)^x的图像对称性及分类讨论底数a的取值，发展数学思维，题型训练涵盖定义域值域、单调性等，规律方法总结系统，助力学生用数学语言表达问题，既提升学生探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

第 4 章 4.2.2 指数函数的图象和性质 人教A版2019必修第一册 第1课时 指数函数的图象和性质 学习目标 1.指数函数的图象和性质 2.不同底指数函数图象的相对位置 3.学会绘制指数函数的图象，并能描述其特征。 4.能够运用指数函数解决简单的实际问题。 目录 CATALOG 01.指数函数的图象 03.题型强化训练 02.指数函数的性质 04.小结及随堂练习 01 指数函数的 图象和性质 4.2.2 指数函数的图象和性质 导入新知 研究函数的一般方法： 背景 概念 图像与性质 应用 为了研究指数函数，下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，首先作出指数函数图像，然后借助指数函数的图像研究指数函数性质． 导入新知：手机电量衰减问题 【情境】“同学们，你们的手机电量从100%用到50%，所用时间与从50%用到25%一样吗？” 【追问】“若电量每天剩余比例相同，这种衰减规律用怎样的函数刻画？它的图象长什么样？” 导入新知：疫情传播模型 【情境】“假设某病毒每2天传播人数翻倍，最初1人感染，x天后感染人数y=2x。 这个函数的图象如何？ 能否预测第10天人数？” 学习新知 x y -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 0.25 0.5 1 2 4 1 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y=2x的图像． 学习新知 x y -2 0.25 -1.5 0.35 -1 0.5 -0.5 0.71 0 1 0.5 1.41 1 2 1.5 2.83 2 4 x y -2 -1.5 2.83 -1 -0.5 1.41 0 0.5 0.71 1 1.5 0.35 2 4 2 1 0.5 0.25 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数是指数函数求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 指数函数的判定与求值 学习新知 学习新知 1 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由对称性求函数的解析式、求指数函数解析式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 学习新知 学习新知 选取a的若干值，用信息技术画图，发现指数函数的图像按底数的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型. 因此，指数函数的性质也可以分0<a<1和a>1两种情况进行 研究． y=2x y=3x y=4x 学习新知 a>1 0<a<1 图像 定义域 值 域 过定点 性质 单调性 取 值 分 布 奇偶性 x y o 1 x y o 1 R (0,+∞) (0,1) 在R上是增函数 在R上是减函数 当x<0时,0<y<1；当x>0时,y>1. 当x<0时,y>1；当x>0时,0<y<1. 既不是奇函数也不是偶函数 指数函数y=ax的图像和性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 指数型函数图象过定点问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 指数型函数图象过定点问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 指数型函数图象过定点问题 学习新知 1. 指数函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx 的图象下图，试判断a、b、c、d、1之间的大小关系。 y=ax y=bx y=cx y=dx 思考下列问题： 学习新知 练习1 右图是指数函数: ① y=ax，② y=bx, ③y=cx, ④ y=d x 的图象，则a,b,c,d与1的大小关系是 ( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 【解析】画出直线x=1与四个指数函数的交点从下往上依次为(1,b)，(1,a)，(1,d)，(1,c)，所以有0<b<a<1<d<c . 函数y=ax在y轴右侧的图像，底数越大，图像越高(底大图高). 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断指数函数的单调性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求指数函数在区间内的值域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由指数（型）的单调性求参数 02 指数函数的性质 4.2.2 指数函数的图象和性质 学习新知 学习新知 应用新知 判断一个函数是不是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数． 学习新知 应用新知 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 学习新知 学习新知 总结新知 指数型函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域：①换元，t＝f(x)． ②求t＝f(x)的定义域为x∈D． ③求t＝f(x)的值域为t∈M． ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 学习新知 03 题型强化训练 4.2.2 指数函数的图象和性质 能力提升 题型一　指数函数的图象 【例题1】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c 能力提升 题型一　指数函数的图象 解析 解法一：由图象可知③④的底数必大于1， ①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交 点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从 而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．所以a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 能力提升 【感悟提升】　识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 能力提升 题型二　与指数函数有关的定义域和值域问题 能力提升 1．函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 能力提升 2．y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法 (1)求函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(x)的定义域中． (2)求函数y＝f(ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f(x)的值域． 提示：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 能力提升 题型三　指数函数图象的应用 能力提升 【感悟提升】　指数函数图象的应用问题 (1)定点问题：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． (2)变换问题：利用图象的平移变换、翻折变换求参数． 04 小结及随堂练习 4.2.2 指数函数的图象和性质 总结新知 总结新知 1. 指数函数概念：形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函数. 2. 指数函数的图像与性质: a>1 0<a<1 图像 定义域 值 域 过定点 性质 单调性 取 值 分 布 奇偶性 x y o 1 x y o 1 R (0,+∞) (0,1) 在R上是增函数 在R上是减函数 当x<0时,0<y<1；当x>0时,y>1. 当x<0时,y>1；当x>0时,0<y<1. 既不是奇函数也不是偶函数 总结新知 3. 指数函数性质的应用 （1）比较大小： 同底构造指数函数，同指构造幂函数，利用函数的单调性比较大小; 底不同指不同利用中间值． （2）解指数型不等式： 化同底，利用单调性确定指数的大小． （3）求指数型函数的值域： 利用指数函数的单调性求值域； 换元转化为求二次函数的值域． 练习（第115页） C 练习（第115页） 练习（第115页） 3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 所以该湖泊的蓝藻变为原来的6.16倍． 作业 (1)整理本节课的题型； (2)课本P118的习题4.2 1—4题&6题、10题 4.2.2 指数函数的图象和性质 练习（第118页） 练习（第118页） 练习（第118页） 3．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图． 习题4.2（第118页） 习题4.2（第118页） 2．一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式． 习题4.2（第118页） 习题4.2（第118页） 习题4.2（第118页） 5．求下列函数可能的一个解析式：（1）函数 f (x)的数据如下表： x 0 1 2 f (x) 3.50 4.20 5.04 习题4.2（第118页） 5．求下列函数可能的一个解析式：（2）函数 g (x)的图象如下表： 习题4.2（第118页） 习题4.2（第118页） 7．当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的反射性探测器能测到碳14吗？ 习题4.2（第118页） 8．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x． （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和． 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄． 习题4.2（第118页） 习题4.2（第118页） 习题4.2（第118页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】（多选题）函数 是指数函数，则 的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】由指数函数的定义知 且 ， 解得 . 故选：ACD. 【练习2】在① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，y是关于x的指数函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数， ②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ③中 的系数是-1，所以不是指数函数； ④中底数-4﹤0，所以不是指数函数.故选：B. 【练习3】若函数 与 的图象关于直线 对称，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】设函数 图像上的点为 ，关于直线 对称的点为 ，将点 代入函数 的解析式可得： ， 故 ， 故选：D． 【练习4】（多选题）设函数 （ ，且 ），若 ，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由 得 ，即 ， 所以 是偶函数，且在 单调递减，在 单调递增， 故 ， ， ，所以 正确. 故选： 【练习5】对任意实数 且 关于x的函数 图象必过定点(    ) A． B． C． D． 【解析】∵ 且 ，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数 是指数函数， 过定点(0，1)，则 过定点(0，5). 故选：C. 【练习6】函数 的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【解析】当 时， ， 则函数 的图象恒过定点 ． 故选：C. 【练习7】已知函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ,若图象还过点 ，则 （    ） A． B．0 C．2 D．4 【解析】由函数 （ ，且 ）恒过定点 ，可得 ， ∵函数图象过点 ，∴ ，解得 ， 故 ．故选：C． 【练习8】设 ， ，如果函数 满足 ， 那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数 为单调函数，且 ， 故函数 为单调递减函数，那么 . 故选：A 【练习9】函数 在区间 ， 上的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【解析】 函数 在区间 ， 上单调递减， ， ， 故函数 在区间 ， 上的最小值为 ， 故选：B. 【练习10】若函数 在 上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数 在 上单调递增，而函数 是R上的增函数， 则函数 在 上单调递增，于是 ， 所以a的取值范围为 ． 故选：D 例1下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 其中一定为指数函数的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的定义判断即可； 【详解】解：形如 EMBED Equation.DSMT4 且 为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0， 且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数， ①③④⑤都不是指数函数，故选：B. 【变式】下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 且 【答案】AD 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】利用指数函数的定义直接判断. 【详解】由指数函数的定义知，A、D选项是指数函数.选项B： ，不是指数函数. 选项C： 不是指数函数.故选：AD. 例2函数 （ 且 ）的图象恒过定点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质，令 ，即可得出结果. 【详解】令 得 ，则 ，即函数 （ 且 ）的图象 恒过定点P的坐标为 .故选B. 【点睛】本题主要考查求指数型函数所过定点，属于基础题型. 【变式2】函数 且 的图象恒过定点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质确定正确答案. 【详解】当 时， ，所以函数 且 的图象 恒过定点 .故答案为： 例3　函数 的值域为 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数值域等知识直接计算求解. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ， 即函数 的值域为 . 故答案为： 【变式3】设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B= A．（﹣1,3] B．[﹣1,3] C．{1,2,3} D．{0,1,2,3} 【答案】C 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、交集的概念及运算 【分析】根据指数函数的值域，即可由集合的交集即可求得结果. 【详解】∵集合A={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，B={x|﹣2≤x≤3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B={1,2,3}，故选：C. 【点睛】本题考查集合的交运算，涉及指数函数值域，属基础题. 【练习】求下列函数的定义域、值域： (1)y＝eq \f(3x,1＋3x)；(2)y＝4x－2x＋1 解：(1)函数的定义域为R. ∵y＝eq \f(3x,1＋3x)＝eq \f(（1＋3x）－1,1＋3x)＝1－eq \f(1,1＋3x)， 又3x>0， ∴1＋3x>1， ∴0<eq \f(1,1＋3x)<1， ∴－1<－eq \f(1,1＋3x)<0， ∴0<1－eq \f(1,1＋3x)<1， ∴函数的值域为(0，1)． (2)函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)， ∵2x>0， ∴当2x＝eq \f(1,2)，即x＝－1时，y取最小值eq \f(3,4)， ∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)). (2024·广西柳州高级中学高一上期中)要使f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x＋1)＋t的图象不经第一象限， 则t的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D．(－∞，－1] 解析 函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x＋1)＋t的图象与y轴的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)＋t))，且为减函数，要使f(x)的图象不经过第一象限，则eq \f(1,2)＋t≤0，解得t≤－eq \f(1,2).故选B. $