专题12 图形的轴对称【考点梳理+重点题型+中考真题】 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题12 图形的轴对称 （重难点题型专训） 【知识考点 图形的轴对称】 【解题知识必备】 【知识考点1】轴对称图形与轴对称 1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 【注意】(1)轴对称图形是一个整体图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上.(2)对称轴是一条直线，而不是射线或线段.(3)一个轴对称图形的对称轴可能有1 条，也可能有多条，还可能有无数条. 2.轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫作对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫作对称点 【注意】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 4.轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 5.轴对称图形的性质 轴对称图形的对称轴是连接任何一对对应点的线段的垂直平分线． 【知识考点2】线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.尺规作线段的垂直平分线 （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）连接直线 ，为所求直线． 4.线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识考点3】互逆命题和互逆定理 1.互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 2.互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 轴对称图形的识别 【题型02】 成轴对称的两个图形的识别 【题型03】 根据轴对称图形的性质求解 【题型04】 求对称轴条数 【题型05】 轴对称的实际应用 【题型06】 利用线段垂直平分线的性质求值 【题型07】 线段垂直平分线性质与判定的综合 【题型08】 轴对称与折叠问题 【题型09】 作已知线段的垂直平分线（尺规作图） 【题型10】 写出命题的逆命题 【特训11】 综合提升 【特训12】 直通中考真题 【题型01】 轴对称图形的识别 【例1】（2024-2025七年级下·重庆南岸·期末）方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（   ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 【变式1-1】（2023-2024八年级上·黑龙江绥化·期中）下列标志中，是轴对称图形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2024-2025七年级下·江苏宿迁·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对称弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方将子在、、、中的 处落子，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【题型02】 成轴对称的两个图形的识别 【例2】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024-2025七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型03】 根据轴对称图形的性质求解 【例3】（2024-2025七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则 ． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． （1）若的周长为22，的周长为8，求的长． （2）若，，求∠CDE的度数． 【变式3-3】（2024-2025七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【题型04】 求对称轴条数 【例4】（2024-2025八年级上·云南昭通·阶段练习）下列图形中，对称轴最少的是（   ） A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形 【变式4-1】（2024-2025七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】（2024-2025八年级上·河南漯河·期中）下列图形具有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024-2025七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【题型05】 轴对称的实际应用 【例5】（2023-2024八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在等边三角形网格中，已有三个小等边三角形被涂黑，再将图中其余小等边三角形一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，这样的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式5-2】（2023-2024八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋 是 号袋． 【变式5-3】（2023-2024八年级上·山东德州·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 ． 【题型06】 利用线段垂直平分线的性质求值 【例6】（2024-2025七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024-2025八年级·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式6-2】（2024-2025八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若，，求的长； （3）若的周长为，，求的长． 【题型07】 线段垂直平分线性质与判定的综合 【例7】（2024-2025八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求度数． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 【题型08】 轴对称与折叠问题 【例8】（2024-2025八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处．若，，则的度数为 ． 【变式8-2】（2024-2025七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． （2）深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． （3）结论应用 已知，则______． 【题型09】 作已知线段的垂直平分线（尺规作图） 【例9】（2024-2025七年级下·河南郑州·期末）如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024-2025八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式9-3】（2024-2025八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【题型10】 写出命题的逆命题 【例10】（2024-2025八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知下列命题：①若，则；②若，则；③如果是有理数，那么是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】（2024-2025八年级·陕西渭南·期末）命题“若，则”的逆命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式10-2】（2024-2025八年级·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【变式10-3】（2023-2024八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【特训11】 综合提升 1．（2024-2025七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（2024-2025八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 3.（2024-2025八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是 ． 4．（2024-2025八年级·四川达州·期末）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 5.（2024-2025八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 6.（2024-2025七年级下·广东佛山·期中）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 7．（2024-2025八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① ； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 8.（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【特训12】 直通中考真题 1．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列数学符号是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·中考真题）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ） A．21 B．14 C．13 D．9 5．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 9．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 15．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ． 16．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 17．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 18．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 图形的轴对称 （重难点题型专训） 【知识考点 图形的轴对称】 【解题知识必备】 【知识考点1】轴对称图形与轴对称 1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 【注意】(1)轴对称图形是一个整体图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上.(2)对称轴是一条直线，而不是射线或线段.(3)一个轴对称图形的对称轴可能有1 条，也可能有多条，还可能有无数条. 2.轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫作对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫作对称点 【注意】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 4.轴对称的性质 （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 5.轴对称图形的性质 轴对称图形的对称轴是连接任何一对对应点的线段的垂直平分线． 【知识考点2】线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.尺规作线段的垂直平分线 （1）以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； （2）连接直线 ，为所求直线． 4.线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识考点3】互逆命题和互逆定理 1.互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 2.互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 轴对称图形的识别 【题型02】 成轴对称的两个图形的识别 【题型03】 根据轴对称图形的性质求解 【题型04】 求对称轴条数 【题型05】 轴对称的实际应用 【题型06】 利用线段垂直平分线的性质求值 【题型07】 线段垂直平分线性质与判定的综合 【题型08】 轴对称与折叠问题 【题型09】 作已知线段的垂直平分线（尺规作图） 【题型10】 写出命题的逆命题 【特训11】 综合提升 【特训12】 直通中考真题 【题型01】 轴对称图形的识别 【例1】（2024-2025七年级下·重庆南岸·期末）方格纸的格线上，有八条等长线段形成一个轴对称图形．图中标示了号码的四条线段中，擦去其中两条线段后，得到的图形不是轴对称图形，则擦去的线段是（   ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 【解答】解：擦去①和②，②和③，②和④，剩下的图形是轴对称图形； 擦去①和③，剩下的图形不是轴对称图形； 故选：B． 【变式1-1】（2023-2024八年级上·黑龙江绥化·期中）下列标志中，是轴对称图形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是找到对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后重叠，根据概念一一判断即可； 【解答】解：根据轴对称图形的概念一一判断可知：第1，2，4是轴对称图形，共3个， 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025七年级下·江苏宿迁·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对称弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方将子在、、、中的 处落子，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 【答案】A或C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·山东济宁·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，该图形 轴对称图形（填“是”或“不是”），若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有 种． 【答案】 不是 8 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义求解即可，熟练掌握轴对称图形的定义是解此题的关键． 【解答】解：由轴对称图形的定义并结合图形可得该图形不是轴对称图形， 如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有种， 故答案为：不是，． 【题型02】 成轴对称的两个图形的识别 【例2】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分． 利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【解答】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（2024-2025七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【解答】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【题型03】 根据轴对称图形的性质求解 【例3】（2024-2025七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【解答】（1）解： 、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由题意可得，由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【解答】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． （1）若的周长为22，的周长为8，求的长． （2）若，，求∠CDE的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，再根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可． 【解答】解：（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点A与点E关于对称， ∴， ∵的周长为22，的周长为8， ∴， ∴， ∴． （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式3-3】（2024-2025七年级下·辽宁锦州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【解答】解：①如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述，或或 故答案为：或或． 【题型04】 求对称轴条数 【例4】（2024-2025八年级上·云南昭通·阶段练习）下列图形中，对称轴最少的是（   ） A．圆 B．等边三角形 C．正方形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了求对称轴条数，熟练掌握常见的轴对称图形的对称轴的条数是解题的关键． 分别列出各选项图形的对称轴条数，进行比较即可． 【解答】解：A圆有无数条对称轴； B等边三角形有条对称轴； C正方形有条对称轴； D等腰三角形只有条对称轴； 对称轴最少的图形是等腰三角形， 故选：． 【变式4-1】（2024-2025七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【解答】解：如图所示： 故选：A． 【变式4-2】（2024-2025八年级上·河南漯河·期中）下列图形具有两条对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的对称轴，根据轴对称图形的性质逐一判断即可求解，掌握以上图形的性质是解题的关键． 【解答】解：、该图形只有一条对称轴，不合题意； 、该图形不是轴对称轴图形，不合题意； 、该图形有两条对称轴，不合题意； 、该图形由四条对称轴，不合题意； 故选：． 【变式4-3】（2024-2025七年级下·全国·随堂练习）指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们作出来． 【答案】对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条，图见解析 【分析】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【解答】解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如答图所示． 【题型05】 轴对称的实际应用 【例5】（2023-2024八年级上·广西玉林·期末）如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【解答】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：A． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在等边三角形网格中，已有三个小等边三角形被涂黑，再将图中其余小等边三角形一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，这样的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称的概念解答即可．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：如图所示： 将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有4种，即数字1，2，3，4位置， 故选：D． 【变式5-2】（2023-2024八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋 是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【变式5-3】（2023-2024八年级上·山东德州·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，点的坐标，解题的关键是能够正确找到循环的数值，从而得到规律，按照反弹规律依次画图即可． 【解答】 根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到点之后，再循环反射，每次一循环， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型06】 利用线段垂直平分线的性质求值 【例6】（2024-2025七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键． 连接并延长，交于点D，由线段垂直平分线的性质可知，，即得出，结合三角形外角的性质可求出，即，再根据三角形内角和定理有．由角平分线的定义得出，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图，连接并延长，交于点D． ∵点O是的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 【变式6-1】（2024-2025八年级·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【解答】∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，垂直 平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据题意得到是的垂直平分线，可证，得到，由此可得阴影部分的面积为，由此即可求解． 【解答】解：∵是的对称轴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若，，求的长； （3）若的周长为，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【解答】解：（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 【题型07】 线段垂直平分线性质与判定的综合 【例7】（2024-2025八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【解答】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【解答】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论； （2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案． 【解答】（1）证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：∵，， ， ∵， ， ， ， ． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上 (3)． 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【解答】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【题型08】 轴对称与折叠问题 【例8】（2024-2025八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据三角形内角和定理及平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质可得出，，由，利用平行线的性质可得出，再结合，即可求出的度数，于是得到结论． 【解答】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，． ， ， ， 即， ． ， 故选：A． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处．若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图、理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据翻折变换的性质可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【解答】解：∵，， ∴， ∵将沿着平行于的直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】（2024-2025七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【答案】（1），理由见分析（2）10 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据折叠的性质和平角的定义，推出，即可得出结论； （2）延长交于点，根据翻折的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【解答】解：（1），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）延长交于点，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． （2）深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． （3）结论应用 已知，则______． 【答案】（1）角平分线，；（2）相等，理由见分析；（3）． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据折叠的性质作答即可； （2）设与交于点G，由折叠的性质可知，即，得到，进而得到，即可证明； （3）由三角形内角和得到，再根据三角形外角的性质作答即可． 【解答】解：（1）解：∵折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕， ∴，即是的角平分线； ∵折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上， ∴， 故答案为：角平分线，； （2）相等，理由如下： 如图，设与交于点G， ∵过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 【题型09】 作已知线段的垂直平分线（尺规作图） 【例9】（2024-2025七年级下·河南郑州·期末）如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，则可证明． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出，由作图痕迹可得垂直平分，平分，进而求出，，再利用三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角的性质求出，利用对顶角相等即可得出结果． 【解答】解：如图， ∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式9-2】（2024-2025八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形，请用尺规作图法，在四边形内部求作一点P，使点P到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【解答】解：如图，点P即为所求． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·广东汕尾·期中）如图，海丰县有两所初级中学和两条交叉的公路．图中点，表示初级中学，，表示公路，现计划修建一所青少年综合实践活动基地--耕艺馆，希望耕艺馆到两所初级中学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出这间耕艺馆P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作的垂直平分线和（或的邻补角）的平分线，它们的交点即为点． 【解答】解：如图，点、点为所作． 【题型10】 写出命题的逆命题 【例10】（2024-2025八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知下列命题：①若，则；②若，则；③如果是有理数，那么是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据真命题和假命题的定义，分析出各题设是否能推出结论，根据绝对值的意义，不等式的性质，有理数的定义，全等三角形的性质与判定，利用排除法得出答案． 【解答】解：①若，则，是真命题， 逆命题是若则，是真命题， ②若，则，是真命题， 逆命题是若，则，是假命题， ③如果是有理数，那么是整数，是假命题， 逆命题是如果是整数，那么是有理数，是真命题， ④对应角相等的两个三角形全等，是假命题， 逆命题是两个全等三角形的对应角相等，是真命题， 原命题与逆命题均为真命题的个数是1个； 故选：A． 【变式10-1】（2024-2025八年级·陕西渭南·期末）命题“若，则”的逆命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查写出命题的逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，据此即可得出答案． 【解答】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 【变式10-2】（2024-2025八年级·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【答案】D 【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 【解答】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确， 故选：． 【变式10-3】（2023-2024八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】（1）①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么；（2）不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【解答】解：（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【特训11】 综合提升 1．（2024-2025七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，所以，由“直角三角形两锐角互余”可得，所以，由此可得结论． 【解答】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图， 此时最小． ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2.（2024-2025八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【解答】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故答案为：11． 3.（2024-2025八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，；，D是直线上的一个动点，连结，将沿着翻折得到，当与的边垂直时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分当点在线段上时，当点D在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【解答】解：当点在线段上且时，如图， 由折叠可知：， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴； 当点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ∴； 当点在线段延长线上且时，如图所示， 同理可得； 当点在线段延长线上且时，如图所示， ∴， ∵， ∴； ∴由折叠的性质可得； 综上所述，当与的边垂直时，的度数是或或． 故答案为：或或． 4．（2024-2025八年级·四川达州·期末）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． （1）若，的周长为19，则的长为 ； （2）若，求的度数； （3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）10；（2）45°；（3）点在边的垂直平分线上，见分析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【解答】解：（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 5.（2024-2025八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)③④⑤ (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可； （2）根据“筝形”的性质同（1）得∶得出，由角平分线的性质定理得出，再通过证明可得，再结合运用“筝形”即可证明结论； （3）分“筝形”两种情况，分别根据“筝形”的性质求解即可． 【解答】（1）解：∵“筝形”， ∴①不一定成立；②不一定成立；故①②都是错误的； ∵， ∴垂直平分，故③是正确的； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分和，即④正确； ∵， ∴，故⑤是正确的． 故答案为：③④⑤． （2）证明：在筝形中，， 同（1）得：， ∴， 依题意知：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是筝形． （3）解：分两种情况∶ ①如图：当四边形是筝形且时， ∴； ②如图：当四边形是筝形时且时， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点评】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识以及掌握分类讨论是解题的关键． 6.（2024-2025七年级下·广东佛山·期中）操作实验： 如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称． 所以，所以． 归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等． 根据上述内容，回答下列问题： 思考验证： （1）如图（4），在中，．试说明的理由； 探究应用：如图（5），，垂足为B，，垂足为A，E为的中点，，． （2）与是否相等，为什么？ （3）小明认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由； （4）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见分析；（2）相等，理由见分析；（3）对，理由见分析；（4），理由见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）过A点作于D，证明即可求解； （2）先证明，再根据证明即可求解； （3）可证点A，C在线段的垂直平分线上，进而可说明垂直并且平分线段； （4）由得，等量代换得，从而可证． 【解答】解：（1）如图，过A点作于D， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴． （3）∵E是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴C在线段的垂直平分线上． ∵， ∴A在线段的垂直平分线上． ∴是线段． （4），理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2024-2025八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① ； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【解答】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 8.（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 【解答】证明：（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【特训12】 直通中考真题 1．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列数学符号是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 【解答】解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 3．（2025·四川泸州·中考真题）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ） A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【解答】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 5．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【解答】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【解答】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【解答】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 8．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【解答】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 9．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：A． 10．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【解答】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 11．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【解答】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 12．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【解答】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 13．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【解答】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 14．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【解答】解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 15．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ． 【答案】6 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长． 【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D， ∴BD＝CD， ∵AB＝3.7，AC＝2.3， ∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键． 16．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】23 【分析】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【解答】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 17．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见分析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 18．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【解答】（1）证明：为的中点， ． ； 在和中， ； （2）证明： 垂直平分， ． 学科网（北京）股份有限公司 $