15.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步备课（人教版2024）

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·RJ 第十五章　轴对称 15.3　等腰三角形 15.3.2 等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 目 录 CONTENTS 01 学习理解 02 应用实践 03 迁移创新 知识点一　等边三角形的性质 1. 如图，AD是等边三角形ABC的中线.若BD＝ 1cm，则AC的长为(　B　) 第1题图 A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上， ∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为(　D　) A. 25° B. 60° C. 85° D. 95° 第2题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸 片的一角，如图所示，则∠1＋∠2＝ ⁠°. 第3题图 240　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. (2025·兴城期中)如图，△ABC是等边三角形，经过点A的直线l∥BC，过点B作BM⊥AC于点M，交直线l于点N，猜想AC与AN有怎样的数量关系，并说明理由. 解：AC＝AN，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC＝AC，∠ABC＝60°. ∵BM⊥AC， ∴∠CBM＝∠ABM＝ ∠ABC＝30°. ∵直线l∥BC，∴∠ANB＝∠CBM＝30°. ∴∠ANB＝∠ABM. ∴AN＝AB. ∴AN＝AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点二　等边三角形的判定 5. 下列说法：①三个角都相等的三角形是等边三角 形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.其中 正确的有(　D　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6. (2025·沈阳和平区期末)如图，工人在某施工现场 作业，有一个长为1.6米的梯子(图中CM)斜靠在墙 上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不 动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子(图中CN)的倾 斜角为45°，那么MN的长是 米. 1.6　 第6题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方 式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别 为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm. 第7题图 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D为AC的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). ∴∠A＝∠C. ∴BA＝BC. ∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC是等边三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. (2024·泰安中考)如图，直线l∥m，等边三角形 ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若 ∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　B　) A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 第9题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. (2025·哈尔滨月考)如图，△ABC是等边三角形，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝80°，∠BAD＝15°，则∠CDE的度数是(　D　) A. 30° B. 20° C. 35° D. 25° 第10题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. (2025·洛阳期中)如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D，G分别为AC，AE的中点.若AB＝4，则图形ABCDEFG外围的周长为 ⁠. 第11题图 15　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12. 如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴 上，A(－1，0)，过点B作BD⊥AB，垂线BD交x 轴于点D，则点D的坐标为 ⁠. 第12题图 (3，0)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. 教材P93复习题T12典图变式 如图，已知等边三 角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的 一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M. (1)求∠E的度数； (1)解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°. ∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE. 又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE， ∴∠E＝ ∠ACB＝30°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 如图，已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M. (2)求证：M是BE的中点. (2)证明：如图，连接BD，∵等边三角形ABC中， D是AC的中点， (2)证明：如图，连接BD， ∵等边三角形ABC中，D是AC的中点， ∴∠DBC＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°. 由(1)知∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°.∴DB＝DE. 又∵DM⊥BC， ∴M是BE的中点. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. (2025·北京海淀区期中)如图，在等边三角形 ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α(0°＜α＜60°)， 点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点 E，连接AD，AE. (1)依题意补全图形； 解：(1)依题意补全图形 如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)求∠DBC的大小(用含α的代数式表示)； 解：(2)如图，连接CD. 由题意知线段AC和DC关 于射线CP对称， 解：(2)如图，连接CD. 由题意知线段AC和DC关 于射线CP对称， ∴AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α. ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°. ∴BC＝DC，∠BCD＝60°＋2α. ∴∠DBC＝∠BDC＝ [180°－(60°＋2α)]＝60°－α. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关 系，并证明. 解：(3)BD＝2AE＋CE. 证明如下： 如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°， 连接CF，设AD与CP交于点H. ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°. ∴∠ACB－∠ACF＝∠FCE－∠ACF， 即∠BCF＝∠ACE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ∵点A和点D关于射线CP对称， ∴PC是AD的垂直平分线. ∴AC＝DC，AE＝DE，∠ACE＝∠DCE＝α. ∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA. ∴∠CAE＝∠CDE. ∵BC＝AC＝DC， ∴∠CBF＝∠CDE. ∴∠CBF＝∠CAE. ∴PC是AD的垂直平分线. ∴AC＝DC，AE＝DE，∠ACE＝∠DCE＝α. ∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA. ∴∠CAE＝∠CDE. ∵BC＝AC＝DC， ∴∠CBF＝∠CDE. ∴∠CBF＝∠CAE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 在△CBF和△CAE中， ∴△CBF≌△CAE(ASA).∴BF＝AE，CF＝ CE. ∵∠FCE＝60°，∴△CEF是等边三角形. ∴CE＝EF. ∴BD＝BF＋FE＋ED＝2AE＋ CE. 在△CBF和△CAE中， ∴△CBF≌△CAE(ASA). ∴BF＝AE，CF＝CE. ∵∠FCE＝60°， ∴△CEF是等边三角形. ∴CE＝EF. ∴BD＝BF＋FE＋ED＝2AE＋CE. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $