专题05 绝对值的秘密避坑指南与题型全归纳——2025-2026学年苏科版七年级上学期数学同步培优题型全归纳

2025-2026学年七年级上学期（2024苏科版） 专题05 绝对值的秘密避坑指南与题型全归纳 - 2 - - 2 - - 3 - - 5 - 【题型1】 直接求一个数的绝对值 - 5 - 【题型2 】 给一个数的绝对值求原数 - 5 - 【题型3 】 含绝对值的符号化简问题 - 2 - 【题型4】 根据绝对值判断取值范围 - 2 - 【题型5 】 含绝对值的数大小比较 - 2 - 【题型6】 利用绝对值的非负性求值 - 2 - 【题型7】 利用绝对值的非负性求最大值 - 2 - 【题型8 】 利用绝对值的非负性求最小值 - 2 - 【题型9 】 利用分类讨论解决绝对值问题 - 2 - 【题型10 】绝对值的几何意义 - 2 - 【题型11 】 绝对值在生活实际中的应用问题——误差问题 - 4 - 【题型12 】 绝对值在生活实际中的应用问题——路程、油耗问题 - 5 - - 7 - · 理解绝对值的概念、代数意义和几何意义，会求一个数的绝对值，能根据绝对值求原数； · 能根据绝对值的几何意义理解绝对值的非负性，并能根据绝对值的非负性求字母的值，能利用绝对值的非负性求解最小值和最大值问题； · 能利用绝对值的概念解决生活中简单的实际问题，感悟数学对生活的意义。 考点 考点详解 避坑指南 绝对值的概念 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。 （1）绝对值首先表示一个距离，所以求任何数的绝对值都不能写负数； （2）绝对值表示的是某个数的点到原点的距离，不是别的点，一定是原点，即0； （3）绝对值既然表示一个距离，距离吗，肯定不可能是负数，这样就理解了绝对值的非负性。 绝对值的表示方法 数的绝对值记作 由于绝对值符号是两竖杠，像数字1，所以书写一个数的绝对值时，一定要注意将绝对值符号写得稍长，而且要与数字1区分开，否则易出现错误。 绝对值的代数意义 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理。 （1）求一个数的绝对值时，首先要分清绝对值符号内是正还是负； （2）对绝对值内部含有字母的情况，不能确定正负，可以分三类讨论； 绝对值的几何意义 的几何意义： 数轴上表示数的点到原点的距离。 一个数的绝对值的大小就代表了表示这个数的点到原点的距离的远近；绝对值越大，说明表示该数的点离原点越远；绝对值越小，说明表示该数的点离原点越近。 绝对值的性质 非负性 即任何数的绝对值总是正数或0即非负数，也就是无论 绝对值的非负性可以通过绝对值的几何意义或者概念理解，既然绝对值具有非负性，所以，求任何数的绝对值都不能写负数。 绝对值的作用 1.利用绝对值比较两个有理数的大小： 同为正号：绝对值大的数大； 同为负号：绝对值大的反而小； 2.计算数轴上两个点之间的距离； 3.利用非负性求最值问题； 4.行程或距离计算； 3.生活中误差的判断； （1）利用绝对值比较两个负数大小时与比较两个正数大小结论完全相反，这是最易犯错的，千万要注意这个“坑”； （2）生活中有关行程问题或油耗问题时要注意区分什么时候不用绝对值计算，什么时候用绝对值计算：求回到什么位置不需要用绝对值，而要求油耗多少时，就要用到绝对值，因为油耗问题与方向无关，只与绝对值即路程有关； （3）涉及道误差时，一般都是绝对值越小的越接近标准． 典例1．一个数的绝对值是5，则这个数是 ； 【答案】 【知识点】绝对值的概念和代数意义 【分析】本题主要考查了绝对值的概念和代数意义．绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，给出数轴上一个点，它到原点的距离是确定的，只有一个结果；而反过来，给出一个数的绝对值，求这个数时，通常都是两个答案（除了0之外），因为数轴上到原点的距离等于5的点有两个，原点左边一个，原点右边一个5，这是最易出错的地方。 【详解】（1）解：因为数轴上到原点的距离等于5的点有两个， 原点左边一个对应的是，原点右边一个对应的是5，………避坑指南：根据绝对值求原来的数，通常为2个答案，0除外，这是最易错的地方 即=5，，所以这个数应为 典例2．已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据数轴可知m是正数，n是负数，然后根据绝对值的意义可进行求解； （2）由（1）可分别得出和的值，然后问题可求解； （3）由（2）及有理数的运算可进行求解 【详解】（1）解：因为m在原点右侧，，所以；………避坑指南：通常根据绝对值求原来的数是两个答案，但这里限制了该数在原点右侧，所以只有一个，左侧的负数舍去了 因为n在原点左侧，，所以． （2）解：由（1）可知：，， ∴， 因为， 所以． （3）解：由（2）可得：． 典例3．阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 【答案】阅读理解：、、画图见详解；归纳：、；应用：、、或 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，一个数的绝对值就是这个数对应的点到原点的距离．根据题目的阅读理解，直接得出结果． 【详解】阅读理解：类似的，它在数轴上的意义表示的点与表示的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离： 归纳：它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离为1，………避坑指南：此处根据题目所给信息，应将改写成，一定要理解材料中所给绝对值的几何意义的本质。 ， 或， a的值为或． 【题型1】 直接求一个数的绝对值 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优 ——重点、热点、难点题型全归纳 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1．的绝对值是（　　）． A． B． C． D． 2．的绝对值是（　　） A．8 B． C．6 D． 3．化简： ． 4．计算： ． 5． ，绝对值等于6的数有 ． 【题型2 】 给一个数的绝对值求原数 6．一个数的绝对值是3，则这个数可以是（   ） A．3 B． C．3或 D． 7．绝对值是的数是（    ） A． B． C． D． 8．若一个数的绝对值等于的绝对值，则这个数是 ． 9．绝对值是7的正数是 ． 10．若，则 ． 【题型3 】 含绝对值的符号化简问题 11．化简下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．化简： ， ． 13．化简： ． 14．化简： ； ； ． 15．化简 ， ， ， ， ． 【题型4】 根据绝对值判断取值范围 16．若，则的取值是（     ） A． B． C．或 D．或 17．若为任意有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0 18．如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 19．若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 20．选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 【题型5 】 含绝对值的数大小比较 21．比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 22．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 23．比较大小： ． 24．比较大小： ； ； ．（填“>”“<”或“=”） 25．比较大小： （填“”“”或“＝”）． 【题型6】 利用绝对值的非负性求值 26．若与的值互为相反数，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 27．已知，则 ． 28．已知，则的值为 ． 29．若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为 ． 30．若与互为相反数，则 ． 【题型7】 利用绝对值的非负性求最大值 31．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D．0 32．若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 33．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 34．当 时，有最大值，这个最大值是 ． 35．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【题型8 】 利用绝对值的非负性求最小值 36．如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 37．已知是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．4 C．9 D．13 38．当 时，式子有最小值． 39．的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 40．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【题型9 】 利用分类讨论解决绝对值问题 41．已知，， (1)当时，求的值； (2)若a和b互为相反数且，求值. 42．（1）若a为最大的负整数，b为绝对值最小的数，c为最小的正整数，则的值是________； （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求代数式值． 43．若，互为相反数，，互为倒数，，求值． 44．（1）已知，，且，求的值； （2）已知a和b互为相反数，的绝对值等于2，求式子：的值． 45．已知：，是有理数，而且，，且，求的值． 【题型10 】绝对值的几何意义 46．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； （3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ； （4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ． 47．阅读材料：我们知道，若点在数轴上分别表示有理数（如下图所示），两点间的距离表示为，则，所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若点表示，点表示1，则________． (2)若点表示，则点表示的数是________． (3)若，求的值． 48．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：    (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 49．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和7两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)试用数轴探究：当时，m的值为 ． 50．探究活动： 【阅读】 我们知道，表示数轴上的的点到原点的距离，表示数轴上表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义． 【探索】 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示2和的两点之间的距离是________；数轴上两个点A，分别用数，表示，那么A，两点之间的距离为________． (2)数轴上表示和的两点A，之间的距离是________，如果，那么的值为________． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使所表示的点到表示5和的点的距离之和为7，所有符合条件的整数有________． 【题型11 】 绝对值在生活实际中的应用问题——误差问题 51．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 52．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 53．检测4瓶牛奶，下面是4瓶牛奶的质量，其中超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 54．下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 55．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【题型12 】 绝对值在生活实际中的应用问题——路程、油耗问题 56．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从地出发到收工时，记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)收工时，小队在地的什么方向？距离A地多远？ (2)若小队从地出发，检修结束后直接回到地，求该小队当天行走的总路程． 57．快递员骑车从邮递站出发，先向东骑行到达A小区，继续向东骑行到达B小区，然后向西骑行到达C小区，最后回到邮递站． (1)以邮递站为原点，以向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)快递员一共骑行了多少千米？ 58．小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米） (1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？ (2)小李当天走过的路程是多少？ 59．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 60．某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下（单位：克）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72 (1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），则比赛的标准质量为________克，请你把表格补充完整； 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 (2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克，那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明理由． 1．绝对值等于它本身的数是（   ） A．正数 B．负数 C．正数和零 D．负数和零 2．的值是（   ） A． B． C． D． 3．绝对值不大于4的整数有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．9 4．已知a、b是有理数，，且，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若，且，那么（　　） A．m一定是正数 B．m一定是0 C．m一定是负数 D．这样的m不存在 6．有理数中绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D．不存在 7．若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数 8．，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 9．如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 10．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 11．化简： ． 12．若，则 . 13．比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 14．求下列各数的绝对值： （1） ， ， ； （2） ； （3） ， ， ． 15．当 时，式子有最小值为 ． 16．（1）若，求的值； （2）已知，，且，求的值． 17．已知有理数a，b在数轴上的位置，a在原点左侧，b在原点右侧，且，． (1)求a和b的值； (2)比较和的大小； 18．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． $2025-2026学年七年级上学期（2024苏科版） 专题05 绝对值的秘密避坑指南与题型全归纳 - 2 - - 2 - - 3 - - 5 - 【题型1】 直接求一个数的绝对值 - 5 - 【题型2 】 给一个数的绝对值求原数 - 2 - 【题型3 】 含绝对值的符号化简问题 - 3 - 【题型4】 根据绝对值判断取值范围 - 2 - 【题型5 】 含绝对值的数大小比较 - 2 - 【题型6】 利用绝对值的非负性求值 - 4 - 【题型7】 利用绝对值的非负性求最大值 - 4 - 【题型8 】 利用绝对值的非负性求最小值 - 3 - 【题型9 】 利用分类讨论解决绝对值问题 - 4 - 【题型10 】绝对值的几何意义 - 6 - 【题型11 】 绝对值在生活实际中的应用问题——误差问题 - 9 - 【题型12 】 绝对值在生活实际中的应用问题——路程、油耗问题 - 9 - - 11 - · 理解绝对值的概念、代数意义和几何意义，会求一个数的绝对值，能根据绝对值求原数； · 能根据绝对值的几何意义理解绝对值的非负性，并能根据绝对值的非负性求字母的值，能利用绝对值的非负性求解最小值和最大值问题； · 能利用绝对值的概念解决生活中简单的实际问题，感悟数学对生活的意义。 考点 考点详解 避坑指南 绝对值的概念 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。 （1）绝对值首先表示一个距离，所以求任何数的绝对值都不能写负数； （2）绝对值表示的是某个数的点到原点的距离，不是别的点，一定是原点，即0； （3）绝对值既然表示一个距离，距离吗，肯定不可能是负数，这样就理解了绝对值的非负性。 绝对值的表示方法 数的绝对值记作 由于绝对值符号是两竖杠，像数字1，所以书写一个数的绝对值时，一定要注意将绝对值符号写得稍长，而且要与数字1区分开，否则易出现错误。 绝对值的代数意义 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理。 （1）求一个数的绝对值时，首先要分清绝对值符号内是正还是负； （2）对绝对值内部含有字母的情况，不能确定正负，可以分三类讨论； 绝对值的几何意义 的几何意义： 数轴上表示数的点到原点的距离。 一个数的绝对值的大小就代表了表示这个数的点到原点的距离的远近；绝对值越大，说明表示该数的点离原点越远；绝对值越小，说明表示该数的点离原点越近。 绝对值的性质 非负性 即任何数的绝对值总是正数或0即非负数，也就是无论 绝对值的非负性可以通过绝对值的几何意义或者概念理解，既然绝对值具有非负性，所以，求任何数的绝对值都不能写负数。 绝对值的作用 1.利用绝对值比较两个有理数的大小： 同为正号：绝对值大的数大； 同为负号：绝对值大的反而小； 2.计算数轴上两个点之间的距离； 3.利用非负性求最值问题； 4.行程或距离计算； 3.生活中误差的判断； （1）利用绝对值比较两个负数大小时与比较两个正数大小结论完全相反，这是最易犯错的，千万要注意这个“坑”； （2）生活中有关行程问题或油耗问题时要注意区分什么时候不用绝对值计算，什么时候用绝对值计算：求回到什么位置不需要用绝对值，而要求油耗多少时，就要用到绝对值，因为油耗问题与方向无关，只与绝对值即路程有关； （3）涉及道误差时，一般都是绝对值越小的越接近标准． 典例1．一个数的绝对值是5，则这个数是 ； 【答案】 【知识点】绝对值的概念和代数意义 【分析】本题主要考查了绝对值的概念和代数意义．绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，给出数轴上一个点，它到原点的距离是确定的，只有一个结果；而反过来，给出一个数的绝对值，求这个数时，通常都是两个答案（除了0之外），因为数轴上到原点的距离等于5的点有两个，原点左边一个，原点右边一个5，这是最易出错的地方。 【详解】（1）解：因为数轴上到原点的距离等于5的点有两个， 原点左边一个对应的是，原点右边一个对应的是5，………避坑指南：根据绝对值求原来的数，通常为2个答案，0除外，这是最易错的地方 即=5，，所以这个数应为 典例2．已知有理数m，n在数轴上的位置如图所示（m在原点右侧，n在原点左侧，且），且，． (1)求m和n的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据数轴可知m是正数，n是负数，然后根据绝对值的意义可进行求解； （2）由（1）可分别得出和的值，然后问题可求解； （3）由（2）及有理数的运算可进行求解 【详解】（1）解：因为m在原点右侧，，所以；………避坑指南：通常根据绝对值求原来的数是两个答案，但这里限制了该数在原点右侧，所以只有一个，左侧的负数舍去了 因为n在原点左侧，，所以． （2）解：由（1）可知：，， ∴， 因为， 所以． （3）解：由（2）可得：． 典例3．阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 【答案】阅读理解：、、画图见详解；归纳：、；应用：、、或 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，一个数的绝对值就是这个数对应的点到原点的距离．根据题目的阅读理解，直接得出结果． 【详解】阅读理解：类似的，它在数轴上的意义表示的点与表示的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离： 归纳：它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离为1，………避坑指南：此处根据题目所给信息，应将改写成，一定要理解材料中所给绝对值的几何意义的本质。 ， 或， a的值为或． 【题型1】 直接求一个数的绝对值 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优 ——重点、热点、难点题型全归纳 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1．的绝对值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数． 【详解】的绝对值是6． 故选：A． 2．的绝对值是（　　） A．8 B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 3．化简： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】此题考查了绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 4．计算： ． 【答案】2025 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：2025． 5． ，绝对值等于6的数有 ． 【答案】 7 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值运算，熟记绝对值代数意义是解决问题的关键．根据绝对值的代数意义直接求解即可得到答案． 【详解】解：； ， ∴绝对值等于6的数有， 答案：7，． 【题型2 】 给一个数的绝对值求原数 6．一个数的绝对值是3，则这个数可以是（   ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴一个数的绝对值是，则这个数是或． 故选C． 7．绝对值是的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：绝对值是的数为， 故选：C． 8．若一个数的绝对值等于的绝对值，则这个数是 ． 【答案】7或 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，先求出的绝对值是，再根据一个数的绝对值等于的绝对值，故这个数的绝对值等于，然后解得这个数是7或，即可作答． 【详解】解：依题意，的绝对值是， ∵一个数的绝对值等于的绝对值， ∴这个数的绝对值等于， ∴这个数是7或， 故答案为：7或 9．绝对值是7的正数是 ． 【答案】7 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查正数和负数及绝对值，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数及绝对值的定义即可求得答案． 【详解】解：绝对值是7的正数是7， 故答案为：7． 10．若，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，因为，故，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 【题型3 】 含绝对值的符号化简问题 11．化简下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 3 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的化简．直接利用绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 12．化简： ， ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的相关知识：要化简这两个式子，根据相反数和绝对值的相关知识来进行计算．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；根据绝对值的定义：正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；即可解答． 【详解】解：①； ②； 故答案为：． 13．化简： ． 【答案】6 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题考查了绝对值，相反数的多重符号化简，熟练掌握化简是解题的关键．根据绝对值，相反数的多重符号化简解答即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 14．化简： ； ； ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：，，， 故答案为：，，2． 15．化简 ， ， ， ， ． 【答案】 0 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义“”进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：；0；；；． 【题型4】 根据绝对值判断取值范围 16．若，则的取值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义． 根据绝对值的非负性得到，进而可知． 【详解】∵， ∴， ∴， 即或， 故选：D． 17．若为任意有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的性质，根据任意一个数的绝对值是非负数求解即可． 【详解】解：若为任意有理数，则， ∴， 即若为任意有理数，则一定是负数或0， 故选：D． 18．如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性，利用绝对值的非负性质即可完成解答． 【详解】解：A．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； B．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； C．当x为有理数时，，因此不一定比0大．故本选项不合题意； D．由可得，因此一定比0大．故本选项符合题意． 故选：D． 19．若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 20．选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，相反数的含义，根据，再进一步分析可得答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 故答案为：，，， 【题型5 】 含绝对值的数大小比较 21．比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值，比较有理数的大小．先化简多重符号、绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”比较大小即可． 【详解】解：A．，错误，不合题意； B．，错误，不合题意； C．，错误，不合题意； dD．，即，正确，符合题意； 故选：D． 22．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题考查了求绝对值，化简多重符号，有理数的大小比较． 化简两数后比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 23．比较大小： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总是比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：、分子相同，分母不同，且， ， ， ． 故答案为：． 24．比较大小： ； ； ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 > > < 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查有理数比较大小. 比较大小需要先化简各表达式，再比较数值大小；分三步处理每组数值，分别处理符号、绝对值，最后比较结果. 【详解】解：①∵左边，右边，且 ②∵左边，右边且 ③∵左边右边且 故答案为： 25．比较大小： （填“”“”或“＝”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，先化简，，再结合负数小于0，0小于正数，进行分析，即可作答． 【详解】解：，， ∴， 即， 故答案为： 【题型6】 利用绝对值的非负性求值 26．若与的值互为相反数，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的非负性，熟练掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键. 【详解】解：与互为相反数， ； 由于绝对值非负，故两个绝对值均为0， 即：， ， 解得：， 故答案为：D. 27．已知，则 ． 【答案】 3 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，根据绝对值的非负性质可得出，，进而可求出a，b的值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为： 28．已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性、代数式求值． 根据绝对值的非负性求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 29．若与互为相反数，则的值在数轴上对应的数应为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了互为相反数的性质，非负数的性质，数轴上的点表示数，由与互为相反数，则，得，，然后代入，再结合数轴即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴， ∴在数轴上对应的数应为， 故答案为：． 30．若与互为相反数，则 ． 【答案】/ 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握相反数的定义和绝对值的非负性是解题的关键．先根据相反数的定义和绝对值的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【题型7】 利用绝对值的非负性求最大值 31．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．4050 C．20 D．0 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是解题的关键．本题考查绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出正确答案． 【详解】解：因为绝对值具有非负性， 所以， 有最大值， 所以当时，式子有最大值，最大值为2025． 故选A． 32．若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性，可得，故当取最小值时，式子取最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性，是任意的有理数， ∴， ∴的最小值是， ∴当取最小值时，式子有最大值，此时的值是， 故选：A． 33．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据绝对值的非负性得到，进而求解即可． 【详解】解：∵为有理数，式子存在最大值， ∵ ∴ ∴ ∴的最大值是2024． 故选：A． 34．当 时，有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 3 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的非负性，即，通过分析绝对值式子的取值来确定原式的最值． 根据绝对值的非负性，求出取最小值时的值，再求出的最大值． 【详解】解：因为绝对值的性质是，对于， 当，即时，能取到最小值0， 把代入，可得， 所以的最大值是3． 故答案依次为：． 35．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【知识点】绝对值非负性、绝对值的几何意义 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 【题型8 】 利用绝对值的非负性求最小值 36．如果是有理数，那么的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】要找到表达式的最小值，需分析绝对值的取值范围及其对表达式的影响。 【详解】解：因为当最小时，的值最小， 所以当时，的最小值是. 故选C. 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，解题的关键是理解任意一个数的绝对值都是非负数. 37．已知是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．4 C．9 D．13 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题考查了绝对值的性质，任意数的绝对值都是非负数，据此可得可得最小，即，由此求出的最小值是9 【详解】解：由是有理数，有最小值，可得最小，即， ∴，的最小值是9， 故选C 38．当 时，式子有最小值． 【答案】2 【知识点】绝对值非负性 【分析】根据，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，得到时，取得最小值， 解得， 故答案为：2． 39．的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．利用绝对值的定义解答． 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为． 故选：B． 40．已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题主要考查了绝对值非负性和解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ， ∴与互为相反数 ∴． 【题型9 】 利用分类讨论解决绝对值问题 41．已知，， (1)当时，求的值； (2)若a和b互为相反数且，求值. 【答案】(1)10或 (2)10或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义 【分析】（1）先根据绝对值的意义可得，．再根据有理数乘法的符号法则可得，或，．然后分两种情况进行计算即可； （2）根据相反数的意义和可得，，或，．然后分两种情况进行计算即可． 本题考查了绝对值的性质，相反数的性质，有理数乘法的符号法则，以及有理数的混合运算法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，． ①当，时， ； ②当，时， ． ∴的值为10或． （2）解：∵a和b互为相反数，且， ∴，，或，． ①当，时， ； ②当，时， ． ∴的值为10或． 42．（1）若a为最大的负整数，b为绝对值最小的数，c为最小的正整数，则的值是________； （2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求代数式值． 【答案】（1）0；（2）8或0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数，相反数，绝对值． （1）根据负整数，正整数，绝对值的意义可得：，，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得：，，，然后分两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵a为最大的负整数，b为绝对值最小的数，c为最小的正整数， ∴，，， ∴， 故答案为：0； （2）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，， ∴，，， 当时，； 当时，； 综上所述：代数式为8或0． 43．若，互为相反数，，互为倒数，，求值． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、有理数的乘方运算、倒数 【分析】本题主要考查的是求代数式的值，根据相反数、绝对值、倒数、有理数的乘方得到 ，然后代入数值进行计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，， ， ． 44．（1）已知，，且，求的值； （2）已知a和b互为相反数，的绝对值等于2，求式子：的值． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值非负性、相反数的定义、有理数的减法运算 【分析】（1）根据绝对值的意义得到，，再由绝对值的非负性得到，则，据此代值计算即可； （2）根据相反数的定义和绝对值的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）∵a和b互为相反数，的绝对值等于2， ∴， ∴或， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，绝对值的非负性，相反数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 45．已知：，是有理数，而且，，且，求的值． 【答案】的值为或． 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数减法，首先依据绝对值的定义求得、，结合条件，进行分两种情况计算即可，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算及分类讨论思想． 【详解】∵，， ∴；； ∵， ∴，，则； ，，则； ∴的值为或． 【题型10 】绝对值的几何意义 46．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； （3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ； （4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ． 【答案】（1）3，3；（2）3，3；（3）4，4；（4） 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （2）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （3）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （4）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：（1）由题知， 数轴上表示2和5的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （2）由题知， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （3）由题知， 数轴上表示1和的两点之间的距离是：，． 故答案为：4，4 （4）根据以上规律可知， 数轴上表示a和b的两点之间的距离 故答案为： 47．阅读材料：我们知道，若点在数轴上分别表示有理数（如下图所示），两点间的距离表示为，则，所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若点表示，点表示1，则________． (2)若点表示，则点表示的数是________． (3)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)2或 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴与有理数，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离为4，分两种情况进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的意义，得到数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离为4，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：3 （2）由题意，点表示的数是或； 故答案为：2或； （3）表示数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离为4， ∴或    ； 故或． 48．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：    (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【答案】(1)， (2)， (3)整数x有，，0，1，2． 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，由可得到x在到2之间，即可得出结论． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 49．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和7两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)试用数轴探究：当时，m的值为 ． 【答案】(1)4，5 (2) (3)或3 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴与有理数，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式进行表示即可； （3）根据绝对值的意义，得到数轴上表示数的点到1的距离为2，进行求解即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：4，5； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （3）∵表示数轴上表示数的点到1的距离为2， ∴或． 故答案为：或3． 50．探究活动： 【阅读】 我们知道，表示数轴上的的点到原点的距离，表示数轴上表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义． 【探索】 (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示2和的两点之间的距离是________；数轴上两个点A，分别用数，表示，那么A，两点之间的距离为________． (2)数轴上表示和的两点A，之间的距离是________，如果，那么的值为________． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使所表示的点到表示5和的点的距离之和为7，所有符合条件的整数有________． 【答案】(1)3；5； (2)；1或 (3)，，0，1，2，3，4，5 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义和有理数的减法． （1）根据数轴，可表示出两点之间的距离为； （2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （3）利用数轴可知，在点5和之间的所有整数都符合条件（包括5和）． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是； 数轴上两个点A，分别用数，表示，那么A，两点之间的距离为． （2）数轴上表示和的两点A，之间的距离是， 如果，则， ， 或 那么的值为1或， 故答案为：；1或． （3）找出所有符合条件的整数，使所表示的点到表示5和的点的距离之和为7， 利用数轴可知，在点5和之间的所有整数都符合条件， 所有符合条件的整数有，，0，1，2，3，4，5． 【题型11 】 绝对值在生活实际中的应用问题——误差问题 51．质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，结果第一个，第二个，第三个，第四个，则抽查的这四个零件中，质量最好的零件是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴质量最好的零件是第四个． 故选：D． 52．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数和它们的绝对值．从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近． 【详解】解：，，，， ∵ ∴从轻重的角度看，最接近标准的是C． 故选：C． 53．检测4瓶牛奶，下面是4瓶牛奶的质量，其中超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．根据正数与负数表示的意义结合绝对值越小越接近标准可判定求解． 【详解】解：∵，，，， ∵最小， ∴最接近标准， 故选：C． 54．下面是4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的足球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值的其他应用、有理数大小比较的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数．先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近，从而可得答案． 【详解】解：，，且． 离标准最近． 故选：B． 55．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 【题型12 】 绝对值在生活实际中的应用问题——路程、油耗问题 56．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从地出发到收工时，记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)收工时，小队在地的什么方向？距离A地多远？ (2)若小队从地出发，检修结束后直接回到地，求该小队当天行走的总路程． 【答案】(1)收工时，小队在地正东方，距离地 (2)该小队当天行走的总路程为 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加减运算，绝对值的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将从地出发到收工时行走记录相加，根据计算的结果和题中规定的正方向即可确定出检修小队在地的哪一边以及距离地的距离； （2）把记录的数的绝对值相加，再加上收工后从终点返回A地的路程，求出总路程即可． 【详解】（1）解：， 故收工时，小队在地正东方，距离地； （2）， 答：该小队当天行走的总路程为． 57．快递员骑车从邮递站出发，先向东骑行到达A小区，继续向东骑行到达B小区，然后向西骑行到达C小区，最后回到邮递站． (1)以邮递站为原点，以向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)快递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)6千米 (3)18千米 【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． （1）根据已知条件在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出算式，即可得出答案； （3）根据题意列出算式，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：A点对应数字是2，B点对应数字是5，C点对应数字是． 所以C小区离A小区距离； （3）解：（千米）． 答 快递员一共骑行了18千米． 58．小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米） (1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？ (2)小李当天走过的路程是多少？ 【答案】(1)小李在站台的正东方向，离站台1千米 (2)小李当天走过的路程是19千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正数和负数的意义，以及绝对值，熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义是解题的关键． （1）先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定巡视在出发点的方向，相距多少千米； （2）把已知数据的绝对值相加，即可得到答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小李在站台的正东方向，离站台1千米； （2）解：（千米）， 答：小李当天走过的路程是19千米． 59．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)南，5千米 (2)升 【知识点】求一个数的绝对值、正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出地在地的哪个方向，它们相距多少千米即可． （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解： ， ， 地在地正南方向，它们相距； （2） ， 汽车行驶平均耗油升， 汽车行驶平均耗油升， 即这天汽车共耗油升． 60．某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下（单位：克）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72 (1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），则比赛的标准质量为________克，请你把表格补充完整； 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 (2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克，那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)70，1.3，，2； (2)见解析． 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数与负数、有理数的运算；正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据第3枚的质量及与标准质量的差求出标准质量的克数，再依次求出其他枚与标准质量的差即可； （2）计算点心的总质量，判断是否在克的范围内，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得标准质量为（克）， 则第枚的质量为； 第4枚的质量为； 第6枚的质量为． （2），，所以一盒点心的总质量合格标准为克． 克． 因为，所以这盒点心的总质量是合格的． 1．绝对值等于它本身的数是（   ） A．正数 B．负数 C．正数和零 D．负数和零 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值等于它本身的数是正数和零即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：绝对值等于它本身的数是正数和零， 故选：C． 2．的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 本题考查了绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和性质． 【详解】解：． 故选：． 3．绝对值不大于4的整数有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 根据绝对值的定义，每个正整数和对应的负整数均满足条件，再加上0，即可确定总数． 【详解】绝对值不大于4的整数有，共9个， 故选：D． 4．已知a、b是有理数，，且，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，数轴表示数，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，结合两数的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：由于，即a为非正数，b为非负数， 又∵， ∴，且， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 5．若，且，那么（　　） A．m一定是正数 B．m一定是0 C．m一定是负数 D．这样的m不存在 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质以及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和有理数大小比较的方法是解题的关键．根据、的大小关系和绝对值的大小关系，分情况讨论的正负性来判断选项． 【详解】解：假设是正数，因为，根据正数的绝对值性质，此时，但题目中，矛盾．故A项错误． 若，因为，所以，那么，，即，与不符．故B项错误． 综合对A、B选项的分析可知，不能为正数或0，所以一定是负数．故C项正确． 由选项C可知，这样的存在．故D项错误． 故选：C． 6．有理数中绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a在数轴上的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值等于它的相反数（即正数），零的绝对值还是零作答即可． 【详解】解：∵正数的绝对值是正数，负数的绝对值等于它的相反数（即正数），零的绝对值还是零， ∴有理数中绝对值最小的数是， 故选：C 7．若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是正数 D．一定是负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是它本身”是解题的关键. 【详解】解：当时，，既不是正数，也不是负数，选项A错误，不符合题意； 题目说的是有理数并没有规定正负，有理数包括正数、负数和，可能是正数、负数、，选项B错误，不符合题意； 当时，，；此时一定为负数，选项C错误，不符合题意； 根据绝对值的非负性可知：，则一定为负数，选项D正确，符合题意； 故选：D ． 8．，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，当时，，，据此可判断A、B、C，由绝对值的非负性即可判断D． 【详解】解：如果m是一个有理数，那么不是负数， 当时，，， ∴四个选项中，只有D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 10．如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据绝对值的非负性得到，进而求解即可． 【详解】解：∵为有理数，式子存在最大值， ∵ ∴ ∴ ∴的最大值是2024． 故选：A． 二、填空题 11．化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 12．若，则 . 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值相等的数有两个即可解． 【详解】 或 故答案为：． 13．比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【答案】 > > 【分析】本题主要考查绝对值及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＞，＞． 14．求下列各数的绝对值： （1） ， ， ； （2） ； （3） ， ， ． 【答案】 2 8.2 0 3 0.2 8.2 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0依次求解即可． 【详解】解：（1）为正数，则，故答案为：2； 为正数，则，故答案为：； 为正数，则，故答案为：8.2； （2）0的绝对值是0，则，故答案为：0； （3）为负数，其相反数为3，则，故答案为：3； 为负数，其相反数为0.2，则，故答案为：0.2； 为负数，其相反数为8.2，则，故答案为：8.2． 15．当 时，式子有最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，理解非负性是解题的关键．由绝对值的非负性可得，从而可得当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，即， ∴的最小值为，此时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 三、解答题 16．（1）若，求的值； （2）已知，，且，求的值． 【答案】（1）或； （2）或 【分析】此题考查了绝对值和有理数的加减，解题的关键是正确理解绝对值的意义，熟练掌握有理数的加减法法则． （1）利用绝对值定义求出的值，然后代入即可求值； （2）利用绝对值定义求出的值，然后根据，代入即可求值． 【详解】解：（1）∵， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值为或， （2）∵，， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或． 17．已知有理数a，b在数轴上的位置，a在原点左侧，b在原点右侧，且，． (1)求a和b的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值，数轴求解即可； （2）根据有理数的加减运算求解即可； （3）根据绝对值，有理数的减法求解即可． 【详解】（1）解：， ， a在原点左侧， ， ， ， b在原点右侧， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较，有理数的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识，绝对值的定义，有理数的大小比较和有理数的运算法则． 18．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4，；②4；；2． 【分析】问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①分三种情况讨论：x在之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧；②根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值． 本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是， 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； 问题3：①设点A、B、C在数轴上分别表示数、、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得； 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，； ②对于， 当的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当的值取在不小于且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；；2． $