精品解析：广东省肇庆市碧海湾学校等两校2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

2025年广东省两校9月月考 高一年级 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合P=，，则PQ=（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 7. 已知函数满足：关于直线对称，且，当时，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 设，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 10. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 13. 已知集合，且，则实数的取值范围是________． 14. 设为实数中最大的数．若，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}． （1）当m＝3时，求A∩B，A∪B； （2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 17. 已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 18. 若对定义在上的函数，存在.使得恒成立，则的图象关于点对称，已知函数，且. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）求的值； （3）当时，求在上的最小值. 19. 对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质. （1）证明：集合具有性质； （2）若集合具有性质，求的最小值； （3）若集合具有性质，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省两校9月月考 高一年级 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合P=，，则PQ=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的元素用来表示，再利用集合间的基本关系选择正确答案. 【详解】因为，所以． 故选：A. 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 4. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 5. 有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数. 【详解】由题意， 设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A. 【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“”的代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】， 当且仅当时取等号． 故选:C． 7. 已知函数满足：关于直线对称，且，当时，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴方程得到函数为偶函数；根据条件得到函数是周期函数，且，从而根据函数的奇偶性和周期性求的值. 【详解】因为关于直线对称， 所以关于直线对称，即函数为偶函数， 因为，所以函数是周期函数，且， 所以. 故选：B. 8. 设，若，则实数的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误. 对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误. 对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误. 对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确. 故选：ABC. 10. 设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可． 【详解】对A，当时，由得， 又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误； 对B，设，则，则，故B正确； 对C，当时，由，得； 当时，由，得无解；故C正确； 对D，，都有 ，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义域、对数函数的真数、偶次根式被开方式，以及分式函数分母不为零，列出不等式组求解集可得定义域. 【详解】要使函数有意义，则， ，取交集得. 故答案为：. 13. 已知集合，且，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，对B分类讨论，求出m的取值范围. 【详解】因为，所以， 当时，，得，合题意； 当时，即，因为，所以，得， 综上，. 故答案为：. 14. 设为实数中最大的数．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分和讨论，当时利用基本不等式得到，，再对两不等式相乘得，同理当时，利用该方法亦可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}． （1）当m＝3时，求A∩B，A∪B； （2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；（2）[﹣2，2]． 【解析】 【分析】（1）m＝3时，得到集合A＝{1＜x＜5}，然后进行交集、并集的运算即可； （2）根据p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，得到不等式组，解出即可． 【详解】（1）当m＝3时，A＝{x|1＜x＜5}； ∴A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}； （2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集； ∴，解得：﹣2≤m≤2， 当时，，当时，，A是B的真子集都成立， 所以实数m的取值范围是：[﹣2，2]． 16. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 17. 已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】解析：（1）．， ， （） 即或 在上单调递增，为偶函数 即 （2） ，，， ∴ （3）由题可知， ， 当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值是2． 18. 若对定义在上的函数，存在.使得恒成立，则的图象关于点对称，已知函数，且. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）求的值； （3）当时，求在上的最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）8102； （3）2. 【解析】 【分析】（1）设并判断其奇偶性，利用奇偶性推证对称性； （2）由（1）所得对称性求函数值； （3）单调性定义判断函数的区间单调性，利用单调性求最值. 【小问1详解】 由题设，的定义域为，设， 因为， 所以，的图象关于点对称， 故函数的图象是中心对称图形. 【小问2详解】 由（1）知，，都有成立，又， 所以 . 【小问3详解】 ，且， 因为， 所以， 又，所以，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增，故在上的最小值为. 19. 对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质. （1）证明：集合具有性质； （2）若集合具有性质，求的最小值； （3）若集合具有性质，求的最大值. 【答案】（1）证明：要证明集合具有性质， 即证明，都有， 因为，所以. 因为，所以， 所以，都有， 即集合具有性质. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义可得，证明，都有，进而结合作差法求证即可； （2）由，令，结合新定义可得，成立，进而结合对勾函数的性质求解即可； （3）由新定义可得，分析易得，进而结合基本不等式可得的最小值为1，令，，易得，令，，进而利用导数求解可得的最大值为，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， ， 令，则， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又集合具有性质， 于是，有， 即， 即，成立， 令，， 因为函数在上单调递减，且， 所以，则， 所以，当且仅当时等号成立； ，当且仅当或时等号成立， 则，即的最小值为. 【小问3详解】 因为集合具有性质， 由题意，得， 都有， 即， 注意到 所以， 又， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值为1. 又，当且仅当时等号成立，则， 又， 令，，则，即， 则，即， 所以 ， 令，， 则，即函数在上单调递增， 又，所以， 当且仅当或时等号成立， 所以的最大值为，又的最小值为1， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $